追溯高中數學美的源泉 助力高中數學教學

張健

摘要：高中學生還不是發明家，但不一定未來不是。從學生到發明家有個過程，在高中階段對學生適時地進行創造美的意識培養，應是這個過程中不可缺少的一環。數學的產生源于美，數學的發展趨于美，因此培養學生對數學美進行鑒賞、發現的能力以及創造美的意識成了我們從事數學教學工作的人的重要任務，這就要求我們在教學活動中要時時處處、不懈努力地為學生展示數學中的美，鼓勵學生大膽發現數學中的美，最終形成創造數學美的意識，只有這樣才能更好地完成素質教育的任務。

關鍵詞：美的發現；美的培養；美的創造

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）30-0230-02

凡接觸過數學的人，都有感受到美的經歷。在數學教學中，使學生了解數學的美學價值，提高審美情趣，是數學課程目標的重要組成部分。數學美是數學本身的某種客觀品性（如簡單性、對稱性、相似性等）被人感知而產生認可的心理體驗。古希臘數學家普洛克拉斯說：“哪里有數，哪里就有美。”德國數學家彭加勒說：“數學家們非常重視他們的方法和理論是否優美。”在高中數學中處處展現著數學的美，教師在數學教學中正確把握數學美，引導學生去認識美、發現美、欣賞美、創造美，找出發揮數學美的功能的途徑，將會有效地提高數學教學的效果，提高學生的數學素養。追溯高中數學美的源泉，助力高中數學教學是每一個數學教師應盡的責任，更是素質教育的必然要求。

一、把努力發現高中數學教材中美的諸多品性作為我們課前準備的出發點

1.數學的產生源于美。我們都知道人類知識的產生是人類心理活動的結果，而人的心理活動是人腦對客觀現實的能動反映。人的大腦天天都在接受大量的外界刺激，但真正能夠留下來，經得住我們進行分析、綜合并上升為理論知識的刺激卻不多。那么到底哪些刺激被保留下來了呢？我認為應該是那些對人腦作用之后給人以美的感受的刺激。而這些富有美感的刺激能夠成為形成知識的一分子，還要經得起人類實踐的檢驗以確定其是否有用之后，才最終流傳下來，因此知識是美的。那么作為人類文化知識重要組成部分的數學，也應該而且當然是富有美感的。

2.數學本身的發展完善趨于美。數學知識結構的組建體現著美感。人類最早認識的數是自然數、正數、零，以后才有了負數，這就是對稱美的一種體現。復數的產生出現于求形如x2=-1的方程的根的問題。我們知道該方程在實數范圍內無解，而要讓它有解，必然引入使它的平方等于-1的新數——i.復數產生的關鍵一點是對方程x2=-1“有解”與“無解”的認識，這又體現出對稱美的作用。進一步看，復數的研究內容與實數的研究內容的相似，又體現出了它們極端的統一性，給人以和諧美的感受。可見數學知識隨著人類對美的追求在不斷完善和發展，而同時與之伴隨而來的副產品——數學思想方法又何嘗不具有美的因素呢？分解與組合的思想、數形結合的思想、割與補的思想、特殊化與整體性思想，甚至靜與動的思想等等。

3.發現教材美的諸多品性能夠達到課前準備的目的。由以上分析可以發現我們上課所用的課本應是前人的思維在感受美的條件下的產物。它本身并不是美，所以教材中所內含的美的品性需要我們去發現。發現它的美的因素，就等于找到了它之所以現在還存在于課本上的原因，就等于清楚地看到了前人為之用盡心力進行思考的理由，當然就能更深地把握教學大綱中所要求我們達到的教學目的，所要仔細分析的重點與難點問題，因為這正是前人在美的感召下已經達到的目的，已經排解了的重點和難點問題。例如看過高一代數第一章函數一節的人，無不為函數符號“y=f（x）”的簡單之美而感嘆不已，它已簡單到不能再簡的地步了，甚至可以說它就是函數定義最美的“速寫”：不論變量x在某個范圍（定義域）內如何變化，在f（對應法則）的“加工制作”下，與另一個范圍（值域）內的變量y產生了聯系。這個符號正是體現出了函數的三個組成部分之間的那種依存關系，這也是函數這節課要講的重點問題。另一方面，要真正體會它的簡單之美，還在于“f”的萬能性。它能代表所有的函數，不論它是有解析式的，還是沒有解析式的，也不論是連續的，還是分段的，等等，這就要求上課時要舉出形形色色的例子來反映這一點，而要列舉的函數不正是課本上的例題嗎？這是因為前人正是總結了上述形形色色的函數實例，發現了它們本質上的相似之處，或者已體驗了它們的相似美之后，才抽象出了那個如此簡單的函數符號！

二、把對學生進行發現、認識數學美的能力培養作為課堂教學的主要任務

多數學生普遍感到數學太抽象，不容易理解，解題總是模仿老師不行，不模仿也不行，總感到對它花去了許多不見成效的時間而不值得。與之對應的是多數教師也認為教數學太疲憊，太費腦筋，講多了時間不允許，講少了學生不會，那只能是增加授課時間，搶占學生的自習時間。如何改變這種教與學的被動局面，如何走出這顯而易見的惡性循環？我認為關鍵是讓學生體會到所學知識已經具有的美的因素，喚起學生為獲得美感去主動學習的激情。即在四十五分鐘內，在老師的指導參與下，濃縮走過前人為獲得美的知識所走過的艱難而有意義的歷程。學生為何會出現上述左右為難的尷尬局面呢？關鍵是由于我們給予學生的往往是前人奮斗的結果——知識，它本身并不一定就是美，激勵前人奮進的美的因素以及奮進過程中所享受到的美感，我們沒能讓學生親身經歷，而灌輸給他們的都是些枯燥而抽象難懂的符號、公式及原理等，學生哪來的學習熱情？

例如在立體幾何第一章“三垂線定理”一節的講授中，我采取了以下安排：

第一，在引入這節課要繼續研究線線垂直的判定的必要性之后，先出示了以下兩個練習題，讓學生按照以前證明線線垂直的方法進行證明：

已知點P為△ABC所在平面外一點，點O是點P在平面ABC上的射影.

練習1：如果點O為△ABC的垂心，試證PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB；

練習2：如果PA⊥BC，PB⊥AC，試證O為△ABC的垂心.

（這一步的目的是讓學生進一步體會前面證明線線垂直都要不厭其煩地證明線面垂直的那個過程，而這個過程也正是前人想克服該問題的弊端推出三垂線定理之前所經歷過的）

第二，與學生一起分析并指明兩個練習所證明的問題本質：練習1是“若斜線PA的射影AO與其在同一平面內的直線BC垂直，那么斜線PA也與BC垂直”；練習2是“若斜線PA垂直于平面內的直線BC，那么斜線PA的射影AO也與直線BC垂直”。然后把這兩個問題加以抽象得到兩個命題（即三垂線定理及其逆定理的敘述），接著提出“如何證明這兩個命題”的問題，并在黑板上作出課本中的插圖，學生一定會發現答案已經顯示在兩個練習題的證明之中了。

（這一步重演了前人經歷困惑發現了類似問題的驚人的相似之處，感受到它們相似美后最終導致定理的產生過程）

三、把對學生進行創造數學美的意識培養作為完成素質教育任務的重要橋梁

高中學生還不是發明家，但不一定未來不是。從學生到發明家有個過程，在高中階段對學生適時地進行創造美的意識培養，應是這個過程中不可缺少的一環。由前所述，數學的產生源于美，數學的發展趨于美，因此培養學生對數學美進行鑒賞、發現的能力以及創造美的意識成了我們從事數學教學工作的人的重要任務，這就要求我們在教學活動中要時時處處、不懈努力地為學生展示數學中的美，鼓勵學生大膽發現數學中的美，最終形成創造數學美的意識，只有這樣才能更好地完成素質教育的任務。

給學生所提供的美的素材不是無處可尋的，問題是我們能否發現問題中所蘊含的美的品性，而不一定就是極富美感的圖形或式子。比如上面所述的“三垂線定理”一節，在課堂的末尾，進行課堂小結和作用布置以后，我就提出了下面的問題讓學生課下思考：“前面我們在講垂線段與斜線段長定理時，已發現點P在平面ABC的射影O為△ABC的外心時應滿足的條件，今天我們又知道了點O為△ABC的垂心時所滿足的一個條件，那么點O為△ABC的內心時又滿足什么條件？如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，點O為△ABC的什么心？這些問題都涉及到點P在平面ABC的射影與△ABC的關系，課下我們應該仔細研究研究。”你看，問題的提出顯然與這節課很有聯系，學生不會覺得突然，而且問題本身又帶有明顯的統一性，暗示著如果認真研究，將會得到和諧美的心理體驗，這正是創造數學美的前奏。及時地鼓勵與指導學生去創造數學中含有美質的東西，應該是我們在素質教育中起主導作用的一種體現。學生發現數學中極富美感的問題，往往局限于表面現象美的陳述，如果老師能夠及時地幫助他們對問題本身所含美的本質進行分析，學生才能獲得深層次的數學美的體驗。

有人提出把美的教育作為現代教育改革的突破口，我同意這種觀點，因為抓住了這一點，我們的課前準備將踏踏實實地落到了實處；對學生實施數學美育的培養是一個復雜的漸進過程，不能一蹴而就，要堅持經常和長期的滲透。它需要廣大數學教師在教學的實踐中不斷地探索研究，數學的美豐富多彩，廣博精深，滲透的途徑和渠道頗多，有待我們進一步地探索。數學的美就在我們的身邊，只要我們認真地去品味，其中的價值將是不可估量的！

參考文獻：

[1]云杉.高中數學教學中的美學滲透[Z].

[2]吳振奎，吳旻.數學中的美[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2011.