超級(jí)畫板輔助數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)的應(yīng)用與探究

何彩　許暉

摘要：數(shù)形結(jié)合思想貫穿著整個(gè)初高中，它不僅是一種巧妙的解題方法，還是一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，只有當(dāng)思維圖式形成，才能真正做到方法的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；問題解決；超級(jí)畫板

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）14-0182-02

在科技發(fā)達(dá)的今天，創(chuàng)新型人才是社會(huì)的爭(zhēng)搶者，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才也是素質(zhì)教育所倡導(dǎo)的教育目的，教師在教學(xué)過程中不但要教會(huì)學(xué)生知識(shí)與能力，發(fā)展學(xué)生的智力，還應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的非智力因素與辯證思維能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想的重要性

數(shù)學(xué)是研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。坐標(biāo)軸的誕生使得數(shù)成為形的抽象概括，形成為數(shù)的直觀表現(xiàn)。

二、數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)途徑

如何培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想？通過什么途徑進(jìn)行培養(yǎng)？在傳統(tǒng)的教學(xué)中往往通過粉筆、黑板、模具等進(jìn)行展示，缺少精確度與柔美性，老師畫得辛苦，學(xué)生看得痛苦，尤其當(dāng)遇見空間幾何體與球體中動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡時(shí)，教師就更難在黑板上進(jìn)行演示。

三、問題解決教學(xué)的意義

數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解決問題，問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題解決作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)實(shí)踐性環(huán)節(jié)，能使學(xué)習(xí)者深入地理解數(shù)學(xué)概念，全面系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

四、問題解決中數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)的過程

問題解決作為個(gè)人的認(rèn)知行為活動(dòng)，近年來已被國(guó)內(nèi)外心理學(xué)家從多角度對(duì)其進(jìn)行了全面的研究，并取得了豐碩的成果。其中巴浦洛夫提出的三條經(jīng)典條件反射學(xué)習(xí)律給予筆者很大啟示：（1）消退律；（2）泛化律；（3）分化律。他強(qiáng)調(diào)，一個(gè)刺激如果得不到強(qiáng)化，那么之前形成的聯(lián)結(jié)就會(huì)消退，如果施與之前刺激類似的刺激進(jìn)行強(qiáng)化，則對(duì)這一系列的刺激都會(huì)得到加強(qiáng)。因此，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，需要用同一系列的刺激，從簡(jiǎn)到繁不斷地進(jìn)行強(qiáng)化，在泛化的過程中達(dá)到鞏固。結(jié)合這一理論筆者將問題解決教學(xué)歸納為四個(gè)過程：表征問題，解答問題，思路總結(jié)，思想遷移。在這四個(gè)過程中逐步進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，那么如何利用超級(jí)畫板在這四個(gè)過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想？以下用一案例進(jìn)行分析。

案例：求函數(shù)y=|x+2|+|x+1|+|x|+|x-1|+……+|x-2011|的值域。

題目剛被展示出來，學(xué)生已經(jīng)噓聲一片，該題難度較大，確實(shí)很難解出，筆者試圖先用簡(jiǎn)單形式進(jìn)行誘導(dǎo)，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知。

先求函數(shù)y=|x+5|+|x-3|的值域：

絕對(duì)值在高中課本中是非常重要的知識(shí)點(diǎn)，每一個(gè)絕對(duì)值都可展成兩個(gè)不同的式子，如|x+5|=x+5 x≥-5-x-5 x<-5，對(duì)此要解決該問題，需要同時(shí)滿足兩個(gè)絕對(duì)值的展開式，則必須進(jìn)行分類討論，解題過程如下：（1）當(dāng)x∈（-∞，-5）時(shí)，y=-（x+5）-（x-3）=-2x-2，在此分類下即求一次函數(shù)y=-2x-2在定義域x∈（-∞，-5）內(nèi)的值域，此時(shí)y∈（8，+∞）。（2）當(dāng)x∈[-5，3]時(shí)，y=（x+5）-（x-3）=8，在此分類下即求常函數(shù)y=8在定義域x∈[-5，3]內(nèi)的值域，此時(shí)y∈[8，+∞）。（3）當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，y=（x+5）+（x-3）=2x+2，在此分類下即求一次函數(shù)y=2x+2在定義域x∈（3，+∞）內(nèi)的值域，此時(shí)y∈（8，+∞）。對(duì)三個(gè)分類下分別求出的值域取并集可得：y∈[8，+∞）。即為該題的結(jié)果y∈[8，+∞）。

在數(shù)形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生在直觀的教學(xué)中感受絕對(duì)值的幾何意義，從而更加深刻地認(rèn)識(shí)到將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來的過程，達(dá)到對(duì)知識(shí)的理解與運(yùn)用，用超級(jí)畫板動(dòng)態(tài)演示解決問題的過程如下：

1.表征問題：由數(shù)到形的轉(zhuǎn)變。絕對(duì)值|a-b|的幾何意義是：數(shù)軸上a，b兩點(diǎn)之間的距離。y=|x+5|+|x-3|即求數(shù)軸上任意一點(diǎn)與-5的距離加上與3的距離的和的所有取值。這樣就將抽象的代數(shù)語言與直觀的圖形語言進(jìn)行溝通，達(dá)到以形表數(shù)的目的。

2.解答問題：以形解數(shù)的體現(xiàn)。筆者在超級(jí)畫板中繪制出數(shù)軸及點(diǎn)A（-5，0），B（3，0），在數(shù)軸上任取一點(diǎn)C，測(cè)量|AC|，|BC|，|AC|+|BC|的長(zhǎng)度（如圖1）。拖動(dòng)C點(diǎn)在數(shù)軸上來回運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生觀察|AC|，|BC|，|AC|+|BC|的值的變化，筆者提問：C點(diǎn)在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)與在A，B兩點(diǎn)之外運(yùn)動(dòng)時(shí)|AC|+|BC|的值有什么變化？并誘導(dǎo)學(xué)生討論C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，|AC|+|BC|的值達(dá)到最小。學(xué)生通過觀察，很容易知道：當(dāng)C點(diǎn)在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，|AC|+|BC|=8恒成立，當(dāng)C點(diǎn)從A點(diǎn)開始往-∞運(yùn)動(dòng)，或C點(diǎn)從B點(diǎn)開始往+∞運(yùn)動(dòng)時(shí)，|AC|+|BC|的值比8逐次增大，當(dāng)C點(diǎn)在A，B兩點(diǎn)間的任何位置處時(shí)，|AC|+|BC|的值達(dá)到最小，最小值為8，在這個(gè)過程中，筆者試圖讓學(xué)生從動(dòng)態(tài)的“形”中體會(huì)到|AC|+|BC|的不同變化，學(xué)生通過觀察可直接得出結(jié)果|x+5|+|x-3|≥|AC|+|BC|min=8。即|x+5|+|x-3|≥8。學(xué)生將絕對(duì)值式的代數(shù)語言與數(shù)軸上點(diǎn)之間的距離產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，從而在大腦編碼中形成數(shù)形結(jié)合圖式。

3.思路總結(jié)：由形到數(shù)的回歸。筆者誘導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：求解y=|x-a|+|x-b|，（a

4.思想遷移：數(shù)形結(jié)合思想的強(qiáng)化。通過超級(jí)畫板的演示，讓數(shù)與形之間完美地結(jié)合。學(xué)生興趣大增，心情異常興奮，不禁大贊超級(jí)畫板的神奇。此時(shí)筆者繼續(xù)對(duì)題目升華，將題目改為：求函數(shù)y=|x+5|+|x-3|+|x+2|的值域。筆者組織學(xué)生小組合作，組間討論，并讓學(xué)生自己動(dòng)手演示（如圖2），筆者提問：C點(diǎn)在A，D，B三點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，|AC|+|BC|+|DC|的值發(fā)生了什么變化，它的最小值又為多少？達(dá)到最小值時(shí)C點(diǎn)在什么位置？學(xué)生積極討論，類比剛學(xué)習(xí)的知識(shí)，很快就可以得出結(jié)論：當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與D點(diǎn)重合時(shí)，|AC|+|BC|+|DC|的值達(dá)到了最小，最小值為8，C點(diǎn)從D點(diǎn)開始往-∞運(yùn)動(dòng)，或C點(diǎn)從D點(diǎn)開始往+∞運(yùn)動(dòng)時(shí)，|AC|+|BC|+|DC|的值逐次比8增大，函數(shù)y=|x+5|+|x-3|+|x+2|的值域?yàn)閧y|y≥8}。在此過程中，筆者用類似的刺激對(duì)學(xué)生進(jìn)行誘導(dǎo)，學(xué)生很快達(dá)到了知識(shí)的遷移，數(shù)形結(jié)合思想得到了再次的加強(qiáng)，思想的遷移初見成效。筆者誘導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：求解y=|x-a|+|x-b|+|x-c|，（a

筆者繼續(xù)組織學(xué)生討論y=|x+5|+|x-3|+|x+2|+|x-1|的值域，學(xué)生的積極性大增，興趣達(dá)到至高點(diǎn)，爭(zhēng)先搶后地要親自操作（如圖3），學(xué)生用類似的方法可找到|AC|+|BC|+|DC|+|EC|的最小值為11，取最小值時(shí)C點(diǎn)再D，E之間的任何位置。即y=|x+5|+|x-3|+|x+2|+|x-1|的值域?yàn)閧y|y≥11}，可見用超級(jí)畫板演示數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)這一類似刺激與數(shù)形結(jié)合思想的聯(lián)結(jié)已經(jīng)得到了泛化，并在學(xué)生的頭腦中形成了固定的圖式，數(shù)形結(jié)合思想達(dá)到了鞏固與加強(qiáng)。

學(xué)生總結(jié)出：求解y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|，（a

筆者用超級(jí)畫板對(duì)y=|x+5|+|x-3|+|x+2|+|x-1|+|x+1|進(jìn)行驗(yàn)證（如圖4），猜想正確。數(shù)形結(jié)合思想得到泛化并鞏固。

筆者鼓勵(lì)學(xué)生猜想并驗(yàn)證得：對(duì)于

|x-a|+|x-b|+|x-c|+……+|x-n|，（a

原題：求函數(shù)y=|x+2|+|x+1|+|x|+|x-1|+……+|x-2011|的值域。便可得到解決，最小值m=（1005-1004）+（1006-1003）+……+（2008-1）+（2009-0）+[2000-（-1）]+[2011-（-2）]=2019054，則值域?yàn)閧y|y≥2019054}。

五、結(jié)束語

超級(jí)畫板的動(dòng)態(tài)演示使學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想得到了強(qiáng)化與鞏固，而數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)也絕非一日之功，需要在今后的學(xué)習(xí)中不斷加強(qiáng)練習(xí)與探索。

參考文獻(xiàn)：

[1]張同君.中學(xué)數(shù)學(xué)解題探究[M].東北師范大學(xué)出版社，2001.

[2]張景中.動(dòng)態(tài)幾何教程[M].科學(xué)出版社，2007.