一道不定積分題目的多種解法

邢秀俠

摘要：本文對一個不定積分的例子給出了八種不同的解法，這些解法充分體現(xiàn)了了第一類換元法、第二類換元法（包括三角代換、根式代換）、分部積分等典型的形式積分法的綜合應(yīng)用，對工科大學(xué)生學(xué)習(xí)不定積分的形式積分法具有啟發(fā)意義。

關(guān)鍵詞：原函數(shù)；不定積分；第一類換元；第二類換元；三角代換；根式代換；分部積分

中圖分類號：G642.4 文獻標(biāo)志碼：B 文章編號：1674-9324（2015）13-0178-02

在高等數(shù)學(xué)課程中，不定積分是較難的部分，它作為微分的逆運算，比求極限、判斷連續(xù)、求微分（或求導(dǎo)）要難很多。首先，求極限、判斷連續(xù)、求微分（或求導(dǎo)）部分都有相應(yīng)的四則運算法則、復(fù)合函數(shù)的法則，對基本初等函數(shù)都有很明確的結(jié)論，甚至對高等數(shù)學(xué)課程的主要研究對象——初等函數(shù)都有一套明確的處理套路，主要依據(jù)就是相應(yīng)部分的四則運算法則、復(fù)合函數(shù)的法則和對基本初等函數(shù)的明確結(jié)論。但對不定積分，我們僅有四則運算法則的一部分，即加減部分：代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和。沒有對應(yīng)的乘積和商的積分性質(zhì)，也沒有復(fù)合函數(shù)的積分性質(zhì)。即便對基本初等函數(shù)，我們也不能簡單地推出它們的積分公式。除了常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和一部分三角函數(shù)（包括正余弦函數(shù)）以外，剩下的基本初等函數(shù)的積分公式均是通過湊微分和分部積分的高等積分技巧推出的。對于一般的初等函數(shù)，相對統(tǒng)一的結(jié)論主要有兩個：（1）連續(xù)函數(shù)都存在原函數(shù)，即初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)存在原函數(shù)，（2）基本初等函數(shù)、有理函數(shù)、三角有理函數(shù)以及所有能轉(zhuǎn)化成上述函數(shù)的初等函數(shù)一定可以積出來。至于如何求一般的初等函數(shù)的原函數(shù)或不定積分，則沒有統(tǒng)一的套路。只能總結(jié)出幾類典型的形式積分法，主要包括：第一類換元、第二類換元法、分部積分法、有理函數(shù)的積分。這些技巧適用于不同類的被積函數(shù)，學(xué)生學(xué)習(xí)時面對不同的被積函數(shù)，如何正確選擇適當(dāng)?shù)姆e分法是關(guān)鍵，也是難點。因此，教師在教學(xué)和考試中，選擇恰當(dāng)?shù)睦邮鞘株P(guān)鍵的。例子要具有典型的特點，盡量可以一題多解，啟發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維。

下面，本文來介紹一個例子，這個例子有多種解法，這些解法中融合了第一類換元法（也稱湊微分法）、第二類換元法（包括三角代換、根式代換和非典型代換）、分部積分等典型的形式積分法，充分體現(xiàn)了這些積分法的綜合應(yīng)用，是一個很具有啟發(fā)性的例子。

例 dx.

法一：此法利用了第一類換元法。

解：原式=- dx+ dx

=- d（2x-x ）+ dx

=- +arcsin（x-1）+C

法二：此法利用了第二類換元法中的根式代換。

解：設(shè) =t則x=1+ ，dx= dt，（x=1- 時類似，略）此時

dx=- dt=- dt- 1dt=-arcsint-t+C=-arcsin - +C

法三：此法利用了第二類換元法中的根式代換。

解：設(shè)2x-x =t，則x=1+ ，dx=- dt，（x=1- 時類似，略）

dx=- dt

=- dt- dt

=- d（ ）- =-arcsin - +C

=-arcsin - +C

法四：此法綜合利用了第二類換元法中的根式代換和三角代換的思想。

解： dx= dx

設(shè) = sint，t∈[0， ），則x=2sin t，dx=4sin t cos t dt，此時

dx=4 sin t dt =2 1-cos 2t dt=2（t- sin 2t）+C=2t-2sin t cos t+C=2arcsin - +C（利用sin t= ，cos t= 回代得）

法五：此法利用了第二類換元法中的根式代換和分部積分法的循環(huán)型。

解： dx= dx

設(shè) =t，則x=t ，dx=2t dt ，此時

dx= dt

=-2 dt+4 dt

=-2 dt+4arcsin

對上式中第一項利用分部積分，得

dt=t - td（ ）

=t + dt

=t - dt+2 dt

=t - dt+2 dt

= t + dt

= t +arcsin +C

回到原題，有

dx= dx

=-2（ t +arcsin +C）+4arcsin

=-t +2arcsin +C

=- +2arcsin +C

法六：此法利用了第二類換元法中的根式代換和三角代換。

解：注意到法五中第一步作了根式代換后出現(xiàn)的積分 dt也可以用三角代換來解決，其余部分與法五同，略。

對于積分 dt，作三角代換t= sinu，u∈[- ， ]，則dt= cosudu，此時

dt= 2cos u du= 1+cos 2u du

=u+ sin 2u+C=u+sin u cos u+C

=arcsin + t +C？搖？搖 （利用sinu= ，cosu= 回代得）

回到原題，有

dx=- +2arcsin +C

法七：此法使用了第二類換元的根式代換和分部積分或三角代換，但是根式代換的具體形式不同。

解： dx= dx

設(shè) =t，則x=2-t ，dx=-2t dt，此時上式右端 dx=-2 dt

接下來，對于右端積分或者同法五利用分部積分，或者同法六利用第二類換元法中的三角代換，得

原式= dx=-2 dt

=-2[arcsin + ]+C

=-2arcsin - +C

致謝：本文作者受到“北京高等學(xué)校青年英才計劃項目（Beijing Higher Education Young Elite Teacher Project）”（No. YETP1593）資助。

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上）[M].北京：高等教育出版社，第五版，2002.

[2]范周田，張漢林.高等數(shù)學(xué)（上）[M].北京：機械工業(yè)出版社，第二版，2012.endprint