一道不定積分題目的多種解法

邢秀俠

摘要：本文對一個不定積分的例子給出了八種不同的解法，這些解法充分體現了了第一類換元法、第二類換元法（包括三角代換、根式代換）、分部積分等典型的形式積分法的綜合應用，對工科大學生學習不定積分的形式積分法具有啟發意義。

關鍵詞：原函數；不定積分；第一類換元；第二類換元；三角代換；根式代換；分部積分

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2015）13-0178-02

在高等數學課程中，不定積分是較難的部分，它作為微分的逆運算，比求極限、判斷連續、求微分（或求導）要難很多。首先，求極限、判斷連續、求微分（或求導）部分都有相應的四則運算法則、復合函數的法則，對基本初等函數都有很明確的結論，甚至對高等數學課程的主要研究對象——初等函數都有一套明確的處理套路，主要依據就是相應部分的四則運算法則、復合函數的法則和對基本初等函數的明確結論。但對不定積分，我們僅有四則運算法則的一部分，即加減部分：代數和的積分等于積分的代數和。沒有對應的乘積和商的積分性質，也沒有復合函數的積分性質。即便對基本初等函數，我們也不能簡單地推出它們的積分公式。除了常函數、冪函數、指數函數和一部分三角函數（包括正余弦函數）以外，剩下的基本初等函數的積分公式均是通過湊微分和分部積分的高等積分技巧推出的。對于一般的初等函數，相對統一的結論主要有兩個：（1）連續函數都存在原函數，即初等函數在定義區間內存在原函數，（2）基本初等函數、有理函數、三角有理函數以及所有能轉化成上述函數的初等函數一定可以積出來。至于如何求一般的初等函數的原函數或不定積分，則沒有統一的套路。只能總結出幾類典型的形式積分法，主要包括：第一類換元、第二類換元法、分部積分法、有理函數的積分。這些技巧適用于不同類的被積函數，學生學習時面對不同的被積函數，如何正確選擇適當的積分法是關鍵，也是難點。因此，教師在教學和考試中，選擇恰當的例子是十分關鍵的。例子要具有典型的特點，盡量可以一題多解，啟發學生的發散思維。

下面，本文來介紹一個例子，這個例子有多種解法，這些解法中融合了第一類換元法（也稱湊微分法）、第二類換元法（包括三角代換、根式代換和非典型代換）、分部積分等典型的形式積分法，充分體現了這些積分法的綜合應用，是一個很具有啟發性的例子。

例 dx.

法一：此法利用了第一類換元法。

解：原式=- dx+ dx

=- d（2x-x ）+ dx

=- +arcsin（x-1）+C

法二：此法利用了第二類換元法中的根式代換。

解：設 =t則x=1+ ，dx= dt，（x=1- 時類似，略）此時

dx=- dt=- dt- 1dt=-arcsint-t+C=-arcsin - +C

法三：此法利用了第二類換元法中的根式代換。

解：設2x-x =t，則x=1+ ，dx=- dt，（x=1- 時類似，略）

dx=- dt

=- dt- dt

=- d（ ）- =-arcsin - +C

=-arcsin - +C

法四：此法綜合利用了第二類換元法中的根式代換和三角代換的思想。

解： dx= dx

設 = sint，t∈[0， ），則x=2sin t，dx=4sin t cos t dt，此時

dx=4 sin t dt =2 1-cos 2t dt=2（t- sin 2t）+C=2t-2sin t cos t+C=2arcsin - +C（利用sin t= ，cos t= 回代得）

法五：此法利用了第二類換元法中的根式代換和分部積分法的循環型。

解： dx= dx

設 =t，則x=t ，dx=2t dt ，此時

dx= dt

=-2 dt+4 dt

=-2 dt+4arcsin

對上式中第一項利用分部積分，得

dt=t - td（ ）

=t + dt

=t - dt+2 dt

=t - dt+2 dt

= t + dt

= t +arcsin +C

回到原題，有

dx= dx

=-2（ t +arcsin +C）+4arcsin

=-t +2arcsin +C

=- +2arcsin +C

法六：此法利用了第二類換元法中的根式代換和三角代換。

解：注意到法五中第一步作了根式代換后出現的積分 dt也可以用三角代換來解決，其余部分與法五同，略。

對于積分 dt，作三角代換t= sinu，u∈[- ， ]，則dt= cosudu，此時

dt= 2cos u du= 1+cos 2u du

=u+ sin 2u+C=u+sin u cos u+C

=arcsin + t +C？搖？搖 （利用sinu= ，cosu= 回代得）

回到原題，有

dx=- +2arcsin +C

法七：此法使用了第二類換元的根式代換和分部積分或三角代換，但是根式代換的具體形式不同。

解： dx= dx

設 =t，則x=2-t ，dx=-2t dt，此時上式右端 dx=-2 dt

接下來，對于右端積分或者同法五利用分部積分，或者同法六利用第二類換元法中的三角代換，得

原式= dx=-2 dt

=-2[arcsin + ]+C

=-2arcsin - +C

致謝：本文作者受到“北京高等學校青年英才計劃項目（Beijing Higher Education Young Elite Teacher Project）”（No. YETP1593）資助。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學（上）[M].北京：高等教育出版社，第五版，2002.

[2]范周田，張漢林.高等數學（上）[M].北京：機械工業出版社，第二版，2012.endprint