例說不定積分計算解題

邢春峰　袁安鋒　綦春霞

摘要：對幾組不定積題目分進行分析、歸納，給出求某些不定積分計算的一些技巧。

關鍵詞：不定積分；積分方法；技巧

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）13-0283-02

不定積分是高等數學的重要內容，是學習定積分和多元函數積分學的基礎。不定積分的計算具有一定的靈活性，要學好這部分內容，必須熟悉基本積分公式、基本運算性質、基本積分方法、一定的解題策略，并能對被積函數進行適當的代數或三角的恒等變形，或對被積表達式進行湊微分、變量置換等的變形。當然，有些積分題目的方法也不是一成不變的，關鍵還是要注意分析題目的形式，平時大膽試用各種解題方法。下面通過幾組類似積分的比較來看一看積分計算中的解題方法的靈活性和技巧性.

例1 求不定積分（1） tanxdx；（2） tan2xdx；（3） tan3xdx；（4） tan4xdx。

解 （1） tanxdx= dx=- d（cosx）=-ln|cosx|+C；（用湊微分法）

（2） tan2xdx= （sec2x-1）dx=tanx-x+C；（三角恒等變形后積分）

（3） tan3xdx= tanx（sec2x-1）dx= tanxd（tanx）- tanxdx= tan2x+ln|cosx|+C；（三角恒等變形后積分）

（4） tan4xdx= tan2x（sec2x-1）dx= tan2xd（tanx）- tan2xdx= tan3x-tanx+x+C。（三角恒等變形后積分）

例2 求不定積分（1） secxdx；（2） sec2xdx；

（3） sec3xdx；（4） sec4xdx。

解 （1） secxdx= dx=

d（secx+tanx） ln|secx+tanx|+C；（用湊微分法）

（2） sec2xdx=tanx+C；（應用積分公式）

（3） sec3xdx= secxd（tanx）=secxtanx- tanxd（secx）=secxtanx- secxtan2xdx=secxtanx- sec3xdx+ secxdx=secxtanx+ln|secx+tanx|- sec3xdx，

所以 sec3xdx= secxtan+ ln|secx+tanx|+C；（用分部積分法）

（4） sec4xdx= sec2xd（tanx）= （1+tan2x）d（tanx）=tanx+ tan3x+C。（用湊微分法）

例3 求不定積分（1） lnxdx；（2） xlnxdx；（3） dx；（4） dx。

解 （1） lnxdx=xlnx- xd（lnx）=xlnx-x+C；（用分部積分法）

（2） xlnxdx= lnxd（x2）= x2lnx- x2d（lnx）= x2lnx- xdx= x2lnx- x2+C；（用分部積分法）

（3） dx= lnxd（lnx）= ln2x+C；（用湊微分法）

（4） dx= d（lnx）=ln|lnx|+C。（用湊微分法）

例4 求不定積分（1） （1+2x）10dx；（2） x（1+2x）10dx；（3） x（1+x2）10dx。

解 （1） （1+2x）10dx= （1+2x）10d（1+2x）= （1+2x）11+C；（用湊微分法）

（2） x（1+2x）10dx1+2x=t （t-1）t10 dt= （t11-t10）dt= t12- t11+C= （1+2x）12- （1+2x）t11+C；（用第二類換元積分法）

（3） x（1+x2）10dx= （1+x2）10d（1+x2）= （1+x2）11+C。（用湊微分法）

例5 求不定積分（1） dx；（2） dx；（3） dx；（4） dx。

解 （1） dx x=2tant= 2sec2tdt= sectdt=ln|sect+tant|+C=ln| +x|+C；（用第二類換元積分法）

（2） dx= d（x2+4）+ +C；（用湊微分法）

（3） dx x=2sect 2secttantdt= sectdt=ln|sect+tant|+C=ln| +x|+C；（用第二類換元積分法）

（4） dx= d（x2-4）= +C。（用湊微分法）

大家也可以嘗試著做下面幾組求不定積分的題目：

1.（1） sinxdx；（2） sin2xdx；（3） sin3xdx；（4） sin4xdx。

2.（1） cosxdx；（2） cos2xdx；（3） cos3xdx；（4） cos4xdx。

3.（1） cotxdx；（2） cot2xdx；（3） cot3xdx；（4） cot4xdx。

4.（1） cscxdx；（2） csc2xdx；（3） csc3xdx；（4） csc4xdx。

5.（1） exdx；（2） xexdx；（3） x2exdx；（4） xe dx。

6.（1） dx；（2） dx；（3） dx；（4） dx。

7.（1） dx；（2） dx；（3） dx；（4） dx。

8.（1） dx；（2） dx；（3） dx；（4） x dx。

通過上面每道例題中幾個不同形式積分的比較可以看出，被積函數稍微變化一點，積分方法可能就完全不一樣，因此，在學習不定積分計算時，一定要注意比較，這樣才能很順利地掌握各種積分方法。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學：上冊[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]馮偉杰，魏光美，李美生，吳紀桃.高等數學習題課教材[M].北京：清華大學出版社，2012.

[3]王景克.高等數學解題方法與技巧[M].北京：中國林業出版社，2001.endprint