關于小學數學五年級“游戲公平性”教學的思考

余建淳

摘要：如果不深思、不深刻鉆研教材，不刨根問底地探尋知識的來龍去脈，教學經驗豐富的教師也容易犯“科學性”的錯誤。在一次“中小學課堂教學有效銜接主題研討活動”中，我便犯了這樣的錯誤。筆者研究的內容是五年級上冊的《可能性——游戲公平》。該內容要求學生能計算簡單事件發生的可能性大小；經歷具體的活動，體驗事件發生的等可能性、游戲規則的公平性。筆者想通過本次研究，讓學生知道游戲規則的公平性是建立在每個人獲勝的可能性相等的基礎上。

關鍵詞：可能性；公平性；科學性

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2015）13-0224-02

【案例回放】

（課的最后一個環節：自主創作）

（一）出示情境：四人玩游戲

師：“現在4位小朋友玩游戲，在商量誰先走。”

“如果現在以轉盤為例，你能給他們設計一個公平的方案嗎？”

（出示轉盤）

（二）學生進入電腦自主創作系統設計方案

（說明：同桌兩人一臺電腦，電腦中有學生自主學習的課件。這環節中學生可以自主把一個圓等分若干份，可以進入畫圖軟件涂色）

（三）匯報方案

（一般的學生都是設計成4的倍數，其中有位同學將轉盤設計成了9份）

展示方案（見圖）。

這時有個學生站起來說：“老師，她這個方案不公平的，這里一共9份。”

其他學生也竊竊私語、紛紛交流。

“那我們請這位學生自己介紹一下方案，好不好？”

（這個想法也是我事先沒預設到的，不知道學生怎么想，先采用緩兵之計）

這位學生說：“老師，我是把它平均分9份，這樣的話四個人分別選紅、黃、黑、綠四種顏色，每個人轉到的可能性都是2/9，如果轉到藍色重新轉。”

師：“哦，她是這樣想的，哪位同學明白他的意思？”

生2：“她的意思是平均分成9份，如果轉到藍色重新轉一次。”

老師：“那你們看這個方案公平嗎？”

生3：“我覺得是公平的，因為每人選中的可能性一樣。”（大部分同學紛紛點頭表示贊同）

生4：“我覺得不公平，因為那個人轉到藍色重來的話，他就多一次機會了。”

（這時又有部分同學立場發生變化了，也認為不公平了）

生5：“老師，我有不同意見。你看，如果一開始轉到紅色，他的可能性是2/9；如果他第一次轉到藍色，第二次選中的話，他的可能性就變成了3/9了，所以不公平。”

生6：“對對，如果他一直轉到藍色，總是重來，那他的機會很多，所以不公平。”

這時我提醒大家：“通過今天的學習，大家認為在什么情況下就會公平？”

生：“只要大家發生的可能性一樣就可以了。”

這時另外一個學（下稱生B）說：“我認為是公平的，因為四個人一共8份，每人都有2份，藍色不用管，那么每個人選中的可能性都是2/8，所以是公平的。”

師：“每個人選中的可能性一樣不一樣？他認為每人可能性是2/8？”（時間關系，學生在迷糊中認同可能性一樣）

生：“是2/9。”

師：“那我們看，黃色選中的可能性是多少？紅色、黑色、綠色呢？”

生：“它們都是2/9，所以是公平的。”

……下課時間到，在倉促之中，匆匆結束了。觀看結束后，一位專家（某師范學院教授，下稱F教授）對此規則也提出了否定的看法。F教授說：“一個圓平均分成9份，藍顏色是1/9，你到了最后的結論是紅顏色2/9，黃顏色2/9也是公平的。但是有兩三個同學站起來講我搖到藍色，再搖一次，也就是搖到紅的就算了，搖到藍的再搖一次，學生認為這樣也是公平的。但是你老師沒有提出這樣公不公平，拋開了藍顏色1/9。學生說搖到藍的再搖一次，也是公平的，你沒有告訴學生這是不公平的。學生回去就會帶著這樣一個疑問或想法，再搖一次也是公平的。其實再搖一次概率越來越小，乘法原理。”本來對于學生這種方案課前我是有預設的。經驗告訴我這個規則毫無疑問是公平的，對學生提出每個人獲中的可能性是2/9也沒有多去思考和研究，所以當初也沒有提出疑問，反而對生B說可能性是2/8提出了疑問。聽了F教授的質疑，我當時就簡直像被當頭一棒，犯暈了，有點無地自容。

【反思診斷】

后來細細回味專家的質疑：一是這個方案不公平；二是轉到藍色1/9再轉，選中的概率越來越小（無法計算）。便坐下來認真思考了這兩個問題。

一、方案究竟是否公平？

如果學生第一轉到藍色再搖一次，是真的不公平嗎？“抓鬮”是否公平這個看來再明白不過的、并且全人類一直都在使用的問題，進入數學課堂后便糊涂起來了。

那么我們來看看生活中的常識：判斷是否公平，應該看每個人在最初面臨的情況是否一樣。所有人面臨的選擇一樣即公平。比如五個人摸A、B、C、D、E五張卡片，任何人都有同等的機會先摸和后摸，都有等同的摸到和摸不到的可能性，任何人都有挑選卡片的權利，先摸的不一定贏，后摸的不一定輸。先后順序不影響每個人的“運氣”，因為不同時是絕對的，同時是相對的！——事實上，不可能做到“同時”，就算喊“1-2-3-開始”大家齊摸，也不可能做到“真正意義上的同時”。

再看上述轉盤，顯而易見，對于4個同學來說，每個人面臨的選擇是相同的，誰先誰后也不會影響獲勝的可能性，誰都有1/9的可能性轉到“再轉一次”，毫無疑問是公平的。

那么，為什么學生認為不公平？從他們的直覺可以看到，最初他們認為是公平的，認為不公平的原因是“每個人獲勝的可能性等于2/9，但是先轉的同學的可能性大于2/9，而不等于2/9”。

二、可能性究竟是多少？

通過運用全概率公式計算，非常驚奇地發現，這個可能性竟然恰好等于1/4！正好是生B的直覺：“我認為是公平的，因為四個人一共8份，每人都有2份，藍色不用管，那么每個人選中的可能性都是2/8”。下面概述思考計算過程。

獲勝者獲勝分兩種情況：第一種情況直接轉到規定色，可能性是2/9。第二種情況：第一次轉到藍色，重來。如果第二次轉到了紅色，那么概率由乘法原理得： × 。但第二次又要遇到兩種情形即轉到紅色和藍色，所以又分兩種情況計算。由乘法原理和加法原理得第二種情形現在概率為：

如果第一、第二次都轉到藍色，那么需要第三次又分兩種情況計算。可得第二種情形現在概率為 ×（ + （ + ））。依此類推，如果第三次還是轉到藍色，可得第二種情形概率為 ×（ + （ + （ + ）））。繼續類推，可得獲勝概率等于

+ ×（ + （ + （ + （ + （…）））））= + × + × × + × × × +…+ × × ×… × …（全概率公式）

= ÷（1- ）= = （無窮等比數列求和公式）

【反思感悟】

學生們的直覺竟完全正確！本應該得到老師的歡呼和贊賞！但我當時卻認為他是錯誤的！我從教十年，至今沾沾自喜地認為自己的課堂絕對不犯科學性錯誤。自以為有了一定教學經驗，很多時候就憑經驗來決定教學，可今天給我敲響了警鐘：教學相長永無止境。教到老，學到老，決不是一句空話。endprint