工科線性代數的教學實踐與探索

李強+陳志彬

摘要：對工科高校線性代數教學現狀進行了分析，指出了線性代數教學中存在的主要問題，并提出了提高線性代數教學質量的有效途徑。

關鍵詞：工科;線性代數;教學

中圖分類號：G642.3 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）20-0132-02

線性代數是一門具有很強的邏輯性、高度的抽象性和廣泛的應用性的數學公共課。它與高等數學和概率論與數理統計一起構成了工科院校的數學公共課。它不但廣泛應用于概率統計、空間解析幾何、微分方程和計算方法等數學分支，而且在自然科學與社會科學的各個領域發揮著重要的作用。由于線性代數教學內容多、知識點聯系緊密、技巧性強、計算和證明靈活等特點，因此學生普遍感到難以掌握。

一、工科線性代數課程教學中普遍存在的問題

第一，理論證明多，應用實例少而陳舊。理論越來越抽象，理論與實際應用結合少。線性代數成了一門學生感到抽象、冗繁而乏味的課程，許多學生感受不到這門課程的重要性和應用價值。對于工科學生而言，他們更需要的是能應用線性代數理論，指導完成實際的計算，而不是十分煩瑣的理論推導和證明過程。即使有的少量例題也是反映的二戰結束以前的例子，對于二戰結束以后，特別是近二十年的實例幾乎沒有。很多學生學完課程后，只會推導一些課本上的公式或進行理論計算，對于有真實數據的實例就不會處理了。

第二，重視代數推導，忽視幾何意義。形象或直觀和抽象本來是一切科學的兩面，只是近年來過分強調了抽象思維能力的訓練而忽視了幾何意義的解釋。特別對于低階的線性代數問題，缺少圖形幫助，就無法展示幾何意義，這對于理論和概念理解是非常不利的。

第三，重視手工計算，忽視計算機運算。計算能力是工科大學生必須具有的一種基本能力。數學教育家張奠宙先生曾經說過：“如果我們只強調用紙筆的基礎訓練，忽視計算器和計算機的使用，也許會和清末時代主張用‘武術功夫抵擋‘洋槍洋炮那樣，最終必然失敗，這一點我們不可掉以輕心。”

事實上，目前的線性代數教學已不能滿足工科后續課程的要求，按所教的方法在后續課中是無法用來解高階、復數的矩陣題目;后續課程無法用所學線性代數解題;線性代數教學普遍不用計算機解題，不聯系應用，不符合課程現代化的要求。

第四，教學內容多，授課課時少。線性代數課程的內容一般包括線性方程組、矩陣、行列式、向量空間與線性空間、相似矩陣和二次型。在每一個章節都有大量的定義和定理需要講解，同時還涉及冗繁的公式計算。部分教學內容不能得到詳細的講解，教學效果受到較大的影響。

二、提高工科線性代數課程教學的有效途徑

第一，建立新的課程體系。線性代數課程不僅僅是讓學生對本門課程中的基本概念、基本理論、基本方法技巧的學習和掌握以及應用能力培養的一門課程，而且更重要的是，從思維方法、從大學生的素質教育的高度、從終生教育的角度，線性代數是一門培育人才的學科，它不僅對學生的各門后繼課有滲透作用，而且對學生終生教育都有深遠的意義。

必須對線性代數現有課程體系整體結構進行優化整合，建立一種反映時代要求的課程體系，使其更加適合不同專業學生的學習，注重培養學生應用線性代數知識解決專業問題或實際問題的能力。

要建立以“線性方程組為核心和矩陣為主要工具，突出幾何意義，強調應用”的體系結構，揭示各知識點之間的有機聯系，遵循學生的學習規律，培養學生運用數學知識的能力。

線性代數是圍繞求解線性方程組而發展起來的一門學科，主要內容都是圍繞其展開。向量、矩陣、行列式、特征值、向量空間和線性空間都以線性方程組為背景引入。

以矩陣為主要工具來處理線性代數中的各種問題。例如，線性方程組可以用一個逆矩陣來求解;線性空間中的線性變換可以用一個矩陣來表示;內積可用其度量矩陣來表示;正交變換可用正交矩陣表示;對稱變換可用對稱矩陣表示;等等。大部分線性代數的問題都可以利用矩陣這個工具來解決。

解析幾何是線性代數的幾何背景。拉格朗日就曾經說過：如果代數與幾何各自分開發展，那它的進步十分緩慢，而且應用范圍也很有限，但若兩者互相結合而共同發展，就會相互加強，并能快速地向著完善化的方向前進。在線性代數教學中，應當突出代數理論的幾何意義。例如，線性方程組有解作為一個代數問題，在三維幾何上可解釋為幾個平面有交點，在高維幾何中可解釋為幾個超平面有交點。

第二，理論與應用有機結合。工科線性代數教學首先應當滿足工科專業面向應用的要求。1990年，美國成立的國家線性代數課程研究組對美國線性代數課程教學的五點要求的第一點就是“首先要滿足非數學專業面向應用的需要”。

線性代數教學過程中加強概念與理論的背景介紹與應用的介紹，將大量的實際案例融入線性代數教學中，可以激發學生的學習興趣，培養學生應用數學的能力，同時可以引發學生的思考，引導學生主動提出問題，尋找解決問題的辦法。

例如，在學習線性方程組的時候，可以引入交通流量、電路分析和化學方程式配平問題;在學習克萊姆法則時，可以引入信息編碼實例;在學習正交性時，可以引入搜索含有關鍵字文檔的信息檢索實例。在學習特征值時，可以將特征值看成是與線性變換相關聯的自然頻率，同時可以引入梁的彎曲和航天飛機的定位問題。

第三，緊密結合數學軟件MATLAB。MATLAB是美國MathWorks公司出品的商業數學軟件，用于算法開發、數據可視化、數據分析以及數值計算的高級技術計算語言和交互式環境，該語言完全適用于線性代數。在美國，線性代數教學離不開計算機是美國工科教育界的共識。MATLAB也是美國大學工科學生必須掌握的工具。在西安電子科技大學陳懷琛教授及其團隊進行的線性代數教改試驗中，學習MATLAB的學生理論考試成績高于不學習MATLLAB的學生，并且實踐結題能力也要強得多。因此，線性代數教學緊密結合數學軟件MATLAB是完全有必要和可能的。

線性代數每一章講授內容都應當包含基于MATLAB軟件的計算練習，這些練習可以作為課后作業，也可以作為上機實驗的一部分。這些練習可以幫助學生進一步理解線性代數的基本內容，掌握線性代數的實質，靈活運用線性代數的基本方法。

在利用MATLAB進行計算時，不可以迷信其計算結果。比如，從理論上講，行列式的值非零的充要條件是對應的矩陣是非奇異的。在有的情形下，矩陣是奇異的，由于計算機采用的是有限位精度運算，可能會有誤差的存在，那么計算出的行列式的值不是零。此外，也有可能計算機算出行列式的值等于零，但矩陣是奇異的。

在線性代數教學中，還應當利用MATLAB實現可視化教學。MATLAB是一種適用于科學工程計算的高級語言，它不僅在數據計算方面功能強大，在數據可視化方面的功能也不可小視。利用MATLAB的繪圖功能把難以理解的抽象知識轉化成直觀、豐富的圖形，將會使難度大大降低，收到事半功倍的效果。著名統計學家John Tukey就曾經指出：圖形的呈現方式會讓人們得到許多出乎意料的結果。事實上，人類對圖形的理解能力確實很強，往往能夠從中發現一些通過常規計算難以發掘的信息。

例如，在講授特征值問題時，可以利用MATLAB中的eigshow工具，它可以把一個平面映射到自身的線性算子的作用可視化。該工具可以同時顯示一個單位向量x和x在A下的像Ax。在講授利用正交變換實現二次型轉換為標準型時，也可以利用MATLAB的繪圖語句，這樣學生可以在視覺上看到，正交變換的實質就是將二次型圖像進行旋轉，同時保持圖形形狀不變。

第四，建立一支既有堅實數學基礎，又有必要的工科知識的師資隊伍。國外的一些經驗值得我們借鑒，美國大學的一些線性代數教學工作就是由工程系擔任的。即使是由數學系教授承擔的線性代數教學工作，由于數學教授從事與工程相關的科研項目較多，他們的工科知識也比中國的同行們強得多。鑒于目前國內的工科線性代數教學實踐，可以考慮由數學專業類師資和工科類專業師資共同擔任工科線性代數教學任務的模式。

三、結語

工科線性代數的教學實踐與探索是一個長期而艱巨的過程，在這個過程中，要不斷提高師資隊伍素質，利用各種工具和方式，把抽象的線性代數理論和具體工程實踐聯系起來，使得線性代數的學習由枯燥乏味變得趣味盎然，使學生能夠成為具備一定理論基礎和較強實踐能力的人才。

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