利用同余對數的整除性特征進行檢驗

趙云平

（滇西科技師范學院 數理系，云南 臨滄 677099）

利用同余對數的整除性特征進行檢驗

趙云平

（滇西科技師范學院 數理系，云南 臨滄 677099）

同余在數論里邊是非常重要的一個內容，在初等數學中有廣泛的應用。利用同余這一工具對數的整除性特征進行探討，并詳細給出了能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、125等數整除的數的特征的檢驗，能讓初學者更好地掌握相關數學結論。

同余；整除性；特征；檢驗

同余是數論中的重要概念，德國數學家高斯最先引用了同余的概念和符號，而同余理論是初等數論的重要組成部分，是研究整數問題的一種重要工具。在有的問題里邊，我們經常會討論某一個數除以另外一個數的余數是多少，而不管商到底是什么。比如說今天是星期二，再過20141000天是星期幾？把20141000算出來就很難，再除以7找它的余數就更難，我們只考慮余數是多少不考慮商，沒必要把商求出來，于是我們就要利用同余這個工具來找到這個余數。此外，利用同余還能簡便的論證某些整除性的問題。在數論中有這么一個內容，利用同余檢驗因數，即利用同余對數的整除的特征進行驗證，大多教材中僅例舉了1～2個數的檢驗，在此我們對常用的數的檢驗進行詳細說明。

1 預備知識、基本符號和概念[1,6]

定義1.1給定一個正整數m，把它叫做模（其實就是除法里的除數）。如果用m去除任意兩個整數a和b，如果所得余數相同，則稱a與b關于模m同余，記作。若a、b被m除余數不同，稱與關于模不同余，記作。

定理1.2（反身性）對任意整數a有。

這是非常明顯的事情，因為整數a除以m，得到的余數是唯一的。

2 利用同余檢驗因數

下面利用同余對數學中數的整除的特征進行一一檢驗，在利用同余檢驗因數的初始步驟要認真、準確的做出判斷和選擇，要選用什么樣的進制：十進制、百進制、千進制等。其中十進制進率是10，從數的個位開始，每個數之間用逗號隔開；百進制進率是100，從個位開始兩個數為一組用逗號隔開；千進制進率為1 000，從數的個位開始三個數為一組，依次用逗號隔開。這里把正整數a寫成，上面加上一條線表示各位數碼，用a0表示個位數碼，a0對應的是相應進率的零次方，an就對應進率的n次方。如選擇千進制，數2 536 429=2×1 0002+536×1 000+ 429，其中a0=429，a1=536，a2=2。

（1）能被2整除的數的特征是個位數字能被2整除（即個位為偶數）

就是說a能被2整除，則a0也能被2整除，即個位能被2整除（個位為偶數）。如取a=132=1×102+ 3×10+2，或取a=1346=1×103+3×102+4×10+6，或取a=3574=3×103+5×102+7×10+4，均能被2整除，因為這些數的個位都能被2整除，個位都為偶數。

（2）能被3（或9）整除的數的特征是各位數之和能被3（或9）整除

若能被3（或9）整除，則各位數字之和能被3（或9）整除。如取a=8 571 492=8×106+5×105+7×104+ 1×103+4×102+9×10+2，把各位數加起來8+5+7+1+ 4+9+2=36，36能被3整除，所以=8 571 492能被3整除；又36能被9整除，所以a=8 571 492也能被9整除。

(3)能被4（或25）整除的數的特征是這個數的末兩位能被4（或25）整除

所以a≡a0（mod4（或25）），這里選擇百進制，從個位起2個數為一組，故a0表示末兩位，就是說如果a能被4（或25）整除，那么這個數的末兩位也能被4（或25）整除。如取a=716=7×100+16，末兩位16能被4整除，所以a=716能被4整除；取a=675=6× 100+75，末兩位75能被25整除，所以a=675能被25整除。

(4)能被5整除的數的特征是個位數能被5整除（個位為0或5）

證明仿(1）

(5)能被7（或11或13）整除的數的特征是奇位千進位的和與偶位千進位的和的差（或反過來）能被7（或11或13）整除

其中

這里選擇千進制，從個位起3個數為一組，a0表示末三位，依次類推。就是說如果a能被7（或11或13）整除，那么這個數的奇位千進位的和與偶位千進位的和之差也能被7（或11或13）整除。如取a= 8 949 682=8×1 0002+949×1 000+682，又949-（682+8）=259,259能被7整除，所以a能被7整除；取a=6022766321=6×10003+22×10002+766×1000+ 321，又（766+6）-（321+22）=429，429能被13整除，所以a=6 022 766 321能被13整除。

對于11的判斷，還可選用10進制，即

因10≡-1（mod11），

由推論1.3.2，10k≡（-1）k（mod11），

由定理1.2，ak10k≡ak（-1）k（mod11），

雖然得到的式子一模一樣，但此刻選擇的是10進制，即從個位開始每一個數為一組，用逗號隔開，此時的a0表示個位，a1表示十位，以此類推。能被11整除的數的特征還可描述為：奇數位之和與偶數位之和的差能被11整除。如取a=82159＝8×104＋2×103＋1×102＋5×10＋9，（9+1+8）-（5+2）=11,11能被11整除，所以82 159能被11整除。

（6）能被8（或125）整除的數的特征是這個數的末三位能被8（或125）整除

因1 000≡0（mod8（或125）），

由推論1.3.2，1000k≡0k（mod8（或125）），

由定理1.2，ak1000k≡ak0k（mod8（或125）），

所以a≡a0（mod8（或125）），這里選擇千進制，從個位起3個數為一組，故a0表示末三位，就是說如果a能被8（或125）整除，那么這個數的末三位也能被8（或125）整除。如取a=76 432＝76×1 000＋432，末三位432能被8整除，所以a=76 432也能被8整除；如取a= 89 294 375=89×1 0002+294×1 000+375，末三位375能被125整除，所以a=89 294 375能被125整除。

3 結語

同余與整除有著密不可分的聯系，我們討論的整除只是考慮了余數為0的情況，而同余是要進一步考慮余數是其它的任意一個，比如說被b除，余數小于b的情況。利用同余檢驗整除性特征，再次證明了數學結論的正確性與可行性。同余與整除的結合，讓初學者從中感受到了數學的不變與多變性，不變的是數學結論，多變的是證明判斷數學結論的依據，在數學領域中這樣的例子還很多，值得我們進一步挖掘與探討。

注釋及參考文獻：

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[3]張中峰．同余理論的一些簡單應用[J]．肇慶學院學報,2013,34(2):8-11．

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[8]李山林．數的整除特征的探討[J]．內蒙古電大學刊,2006,86(10):90-91．

Test Aliquot Sexual Characteristics Using the Congruence of Logarithmic

ZHAO Yun-ping
(Department of Mathematics and Physics,Dianxi Science and Technology Normal University,Lincang,Yunnan677099)

Congruence in number theory is a very important content,which has wide application in elementary mathematics.By using congruence,the characteristics of numbers divisibility are discussed in this paper,and presents test of the number characteristics that can be divisible by 2,3,4,5,7,8,9,11,13,25,125 etc,to make scholars better master relevant mathematical conclusion.

congruence;divisible;characteristic;inspection

O156.1

A

1673-1891（2015）04-0019-03

2015-09-08

趙云平（1982-），女，碩士，講師，研究方向:基礎數學數論應用、應用數學運籌學線性規劃、數值代數。