以“等比數列第一節）”為例談“數列”全章教學的整體設計

以“等比數列(第一節)”為例談“數列”全章教學的整體設計

羅德建

(北京師范大學附屬中學，北京100052)

【摘要】高中數學內容由函數、幾何、概率統計等幾條主線組成，每條主線都有相應的研究思路與方法，教材上的每一章節都是這幾條主線的有機組成部分，如能站得高，在進行每節課的設計前，對全章進行整體的教學設計，這對于學生更好地理解數學，進而應用數學幫助巨大．

【關鍵詞】數列全章教學整體設計

“數列”是高中數學中代數內容的重要組成部分，它是函數主線的延續，與學生現實生活聯系緊密．在實施本章教學前，筆者對全章進行了整體教學設計，首先明確了以下幾個問題：

1.“數列”在高中數學中的定位

數列是學生在學習了指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等特殊函數后接觸到的又一特殊函數模型，但與之前學習的函數不同的是，數列是一種離散的函數，其定義域為N*或其子集，這就決定了數列對應的圖像是平面直角坐標系中離散的點．通過對數列的學習，能提高學生的類比、歸納、化歸等能力．眾所周知，概念是數學學科知識體系中最基本、最核心的構成元素，也是思維的基本單位．本章涉及的概念眾多，通過本章的學習和自我體驗，學生能進一步感受數學概念的一般研究過程，加深對運用類比的方法研究新概念的理解．

2.課標和考綱對“數列”的要求

新課標[1]要求通過日常生活中的實例，了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式)，了解數列是一種特殊函數．通過實例，理解等差數列、等比數列的概念．探索并掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式．能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題．體會等差數列、等比數列與一次函數、指數函數的關系．

2015北京高考考綱對“數列”的要求是：

考試內容要求層次ABC數列數列的概念數列的概念和表示法√等差數列、等比數列等差數列的概念√等比數列的概念√等差數列的通項公式與前n項和公式√等比數列的通項公式與前n項和公式√

3.“數列”全章研究思路[2]

“數列”這一章先研究數列的一般概念和表示，再從一般到特殊，研究兩個非常重要的特殊數列——等差數列和等比數列．可構建知識框圖如下：

4.學情分析

學生在小學時就已經接觸到了數列，很多學生還知道等差數列的前n項和公式．但是在學習本章前，學生對數列的了解大多是知識碎片，缺乏系統性和嚴謹定義，知道公式卻不知道公式的由來和意義．因此，教師在組織教學時需充分考慮到學生的認知基礎，通過概念同化或概念轉變幫助學生學習新概念，可設計多種教學活動，提高學生的課堂思維參與度，由學生自覺地形成數列的相關概念，推導相應公式，并且了解研究數列的一般過程和方法．

形成全章知識內容和思想方法的整體理解后，本章中的每一節課都應體現數列的一般研究思路，比如我對“等比數列(第一節)”進行了如下設計：

首先需明確本節內容在全章中的地位和作用：本節內容是人教B版《必修5》第二章“數列”的第2.3.1節，這節課是研究等比數列的起始課，涉及等比數列的概念和通項公式的推導及應用，也為后面探索等比數列的性質，研究等比數列的前n項和公式做好鋪墊．等比數列是學生在高中階段需要重點掌握的特殊數列之一，在生活中有許多具體模型，同時一些復雜的數列通項問題還可借助等比數列予以解決；等比數列的定義過程和對通項的研究方法也對許多別的數列問題的解決提供了可以借鑒的思路．通過等比數列與指數函數的關系還可幫助學生進一步理解數列與函數的關系．

其次明確課標對本節內容的要求：課標要求通過對實際問題的分析建立等比數列模型，理解等比數列的概念，探索并掌握等比數列的通項公式，理清公式中基本量之間的關系；體會等比數列與指數函數之間的關系.

再次進行本節課前的學情分析：學生在這節課之前剛剛結束了對等差數列的學習，通過等差數列的學習已經對數列的研究脈絡有了一定的了解，即通過遞推公式給出一個新數列的定義后，我們希望能得到它的通項公式，用通項公式表示數列可以更方便地求得這個數列中的任意一項，并且能借助函數工具研究這個數列的性質．在這一節中，我們將類比等差數列的研究過程來研究等比數列．

這樣可以設定教學目標如下：

(1)理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式，體會等比數列通項公式的函數意義，運用等比數列的通項公式解決相關問題．

(2)通過具體的例子抽象出等比數列的概念，類比等差數列去研究等比數列，進一步體會數列的一般研究思路，在這個過程中培養學生探索、發現、分析、歸納和論證的能力．

(3)體會類比的數學方法，培養探究意識和建模能力，感受數列的應用價值．

進而設定教學重點、難點：這節課的教學重點為等比數列的概念與通項公式的推導、應用；教學難點為通項公式的推導，以及用函數觀點來研究等比數列.

在教學環節的設定上體現數學概念課的一般思路：引入概念、概念形成、概念深化、應用概念、小結．

(1)引入概念

問題1：在前一節中，我們是按照什么樣的思路去研究等差數列的，在研究等差數列的過程中我們用到了哪些特殊方法？

接著，通過兩個例子引出等比數列的定義．

引例1：觀看拉面制作視頻，拉面館的師傅將一根很粗的面條，拉伸、捏合、再拉伸、再捏合，如此反復多次，就拉成了許多根細面條. 你能從中發現一個數列嗎？

引例2：取邊長為4的正方形各邊上的中點，并連線形成一個新的正方形，以此類推，得到一系列正方形，請寫出其邊長所形成的數列．

問題2：這兩個數列具有什么共同的特征？

由學生完成對特征的歸納：從第二項起每一項與它的前一項的比都是同一個常數．

設計意圖：通過提問幫助學生回顧等差數列的研究過程，為等比數列的學習做好鋪墊. 以兩個具體例子歸納出這類數列所具有的共同的關鍵特征，引出等比數列的概念，讓學生感受到數列的實用價值.

(2)概念形成

從一般到特殊，通過學生自己舉例，體會等比數列的共同屬性．

問題3：請大家自己舉出一些等比數列的例子．

問題4：你能不能舉出一個數列既是等比數列又是等差數列？等比數列的首項和公比有什么要求？

接著類比等差中項的概念，由學生定義等比中項：如果三個數x,G,y成等比數列，則稱G為x和y的等比中項．

我們已經用遞推公式定義了等比數列，跟等差數列一樣，我們也希望能得到等比數列的通項公式，這樣對等比數列的理解就會更加深刻．

問題5：等比數列的通項an可能與哪些量有關？可能會是什么樣子？為什么？

接著，請學生自己證明：

跟等差數列類似，由遞推公式先寫出若干個式子來：

由此得到等比數列的通項公式：an=a1qn-1(a1≠0,q≠0).

類比疊加法，這種證明方法可以叫作疊乘法．

設計意圖：在由學生歸納得到等比數列的概念后，類比等差數列的研究過程和方法研究等比數列的通項公式，讓學生體會數列的研究脈絡，同時提高推理論證能力．

(3)概念深化

n123456an1.536122448

問題6：這些點位于一條什么樣的曲線上？你能求出這個函數的解析式嗎？(f(x)=3·2x-2)

問題7：進一步，對一個一般的等比數列來說，如何利用f(x)來研究an的性質，比如增減性？

借助f(x)的單調性，師生共同總結完成下表：

a1a1>0a1<0q的范圍0101an{}的單調性減無增減性增增無增減性減

設計意圖：由一個特殊的等比數列的增減性的研究推廣到一般情形，采用數形結合的方法，用函數的思想處理數列的增減性問題，進而加深對等比數列的理解．

(4)應用概念

設計意圖：鞏固等比數列的通項公式，體會公式中基本量的重要性.

(5)小結

請學生總結這節課的思想方法和知識內容，尤其強調類比的研究方法．

①知識內容：等比數列的概念和通項公式；

②思想方法：類比，由特殊到一般，函數．

設計意圖：培養學生歸納總結的意識和能力．

綜上所述，高中數學內容由函數、幾何、概率統計等幾條主線組成，每條主線都有相應的一般的研究思路與方法，教材上的每一章節都是這幾條主線的有機組成部分，如能站得更高，在進行每節課的設計前，對全章進行整體的教學設計，這對于學生更好地理解數學，進而應用數學無疑是幫助巨大的．

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準(實驗)，北京：人民教育出版社，2003.

[2]王尚志，張思明.走進高中數學新課程．上海：華東師范大學出版社，2008.