近似模型聚合在機床立柱優化設計中的應用

張實展，邱浩波

(華中科技大學 數字制造裝備與技術國家重點實驗室，湖北 武漢 430074)

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近似模型聚合在機床立柱優化設計中的應用

張實展，邱浩波

(華中科技大學 數字制造裝備與技術國家重點實驗室，湖北 武漢 430074)

摘要：建立了某重型機床立柱部件優化問題的數學模型，采用拉丁超立方試驗設計生成50個隱式約束的有限元仿真數據樣本。使用樣本集分別建立Kriging模型、徑向基神經網絡和二階多項式響應面模型，通過近似模型聚合方法來替代隱式約束的有限元計算。結合全局優化算法，得到一組可行的立柱尺寸參數組合，使機床立柱的質量減輕，并滿足工作載荷下的撓度、應力和油壓約束條件。研究表明：近似模型聚合方法很適合解決高仿真代價的隱式約束問題。

關鍵詞：優化設計；近似模型；有限元仿真；拉丁超立方

0引言

超重大型數控機床的立柱優化設計是一個具有復雜的幾何形狀及材料非線性性質的多變量工程設計問題，其約束條件有較重要的部分往往以隱式形式存在，例如許用撓度和許用應力約束，通常使用有限元仿真技術來驗證一組設計變量是否滿足機床立柱的此類隱式約束要求[1]。然而，由于大型機床的立柱通常結構復雜，具有較多設計變量，導致需要進行計算驗證的設計方案數目較多。在進行優化設計時，需要進行許多次有限元仿真進行約束條件驗證，而重復仿真帶來的計算成本的增加往往是不可承受的。對于這類高仿真代價的隱式問題，設計者們通常通過建立近似模型，也就是建立設計變量和輸出參數之間的函數關系，來替代耗時的有限元仿真。近似模型的最大優勢在于可以替代高計算成本的仿真，從而減少計算時間，使機床立柱優化設計這類復雜問題的優化成為可能。但是，對于隱式的約束問題，近似模型仍有以下兩個缺陷：1) 針對此類未知問題時，設計者無法預知哪個近似模型是最適用的；2) 隨著試驗樣本的不同，不同近似模型的精度也會不同，有時會有很大誤差[2]。這些缺點都阻礙了近似模型技術在優化設計中的應用，而近似模型聚合方法可以成功克服以上兩個缺陷。

Bishop和Zerpa等都在各自的研究中運用過近似模型聚合的理念[3, 4]；Goel等最先正式提出近似模型聚合的概念，并系統地描述近似模型聚合方法的優勢和建立方法[5]。近似模型聚合是一種能綜合不同模型優勢的新建模方法，在針對隱式問題時，也能保證一定的精度。文中參考Goel等的思想，采用3種具有不同精確性、魯棒性和有效性的近似模型——Kriging模型、徑向基神經網絡和二階多項式響應面模型[6]來建立近似模型聚合，并結合拉丁超立方試驗設計[7]和全局優化算法，對某超重型機床的立柱部件進行優化設計，最終以較低的計算成本得到一組滿足約束條件的立柱尺寸參數，驗證了近似模型聚合方法對于隱式約束問題的有效性。

1近似模型聚合的基本理論

近似模型聚合是不同近似模型的凸線性加和，通過這種形式集成了不同模型的優點，保證了較好的精確性、魯棒性和有效性。建立聚合時，一般通過選擇模型的某個全局指標或者局部指標來判定該模型的重要性，并據此賦予該模型一個權重值，所有模型的權重值加和為1。近似模型聚合方法可以簡單表述為以下形式：

(1)

對于各個近似模型權重值的確定，無疑是聚合過程中的重要一步。參考Goel等的研究，選擇權重值計算方法如下：

(2)

在式(2)中,Ei是用于判定模型i的重要性的指標，通常為一個全局預測指標，比如預測誤差平方和PRESS；也可以是一個局部指標，比如相對最大絕對誤差RMAE。一般來說，使用全局指標確定權重比局部指標更準確，但是在樣本數據波動很大的時候，也會出現全局指標誤判，使用局部指標更加準確的情況。

確定近似模型聚合的各個權重的基本步驟為：先使用拉丁超立方獲取設計變量的樣本集，在對每個樣本進行有限元仿真計算確定輸出參數(撓度和應力)，得到一個設計變量和輸出變量的樣本集S；再使用全局指標PRESS來確定各個模型的權重，每個模型的PRESS值通過樣本集S進行留一交叉驗證計算確定。

式(1)中近似模型聚合的凸線性加和形式，很適用于隱式問題，對于顯式問題雖然也能保證一定的精度，但并不能保證比最優的單個模型更具備優勢。在同樣的樣本規模下，近似模型聚合已經被證明具有優于大部分單個模型的預測能力，并有趨向于最優的單個模型的趨勢。近似模型聚合的預測能力優于參與聚合的大部分模型，可能會略低于其中最優的單個模型。在權重系數選擇方法合適的條件下，近似模型聚合的預測方差會小于所有單個模型的預測方差，即可能出現預測效果優于最優單模型的情況[8]。在最優模型未知的情況下，近似模型聚合無疑是一個較好的替代選擇。

近似模型聚合所使用的近似模型并不局限于Goel等人的研究內容，理論上任何近似模型都可參與聚合，但選擇具有不同有效性，精確性和魯棒性的模型無疑更能體現聚合優勢。文中使用Kriging模型、徑向基神經網絡和二階多項式響應面模型來建立近似模型的聚合，并設定α=0.05,β=-1。這樣，僅需進行有限次的有限元計算，即可通過式(1)和式(2)獲得一個較準確地聚合近似模型。

2某超重型機床立柱的優化設計

2.1某重型機床立柱的優化數學模型

某重型機床的立柱經過簡化處理后，仍存在8個重要設計變量，6個尺寸參數L,W,X1,X2,X3,X4以及兩個厚度參數T1，T2,對這8個變量進行數學采樣，就可以得到不同的設計變量組合方案，該立柱的三維圖形如圖1所示。

圖1　某機床立柱的三維模型

在機床啟動和運行的過程中，立柱的導軌部分撓度變形和最大應力均需要約束在許用范圍內；除此之外，還需要滿足油壓系統的許用液壓應力約束；在運行過程中機床各部件不允許發生干涉并滿足一定的裝配條件，故還需要滿足一定的尺寸條件約束。

該立柱的優化問題目標為在滿足許用條件下使該立柱的質量盡量減小，其數學模型如下：

FindL,W,X1,X2,X3,X4,T1，T2

MinMcolumn

s.t.G≤0,H≤0

(3)

式(3)中，Mcolumn代表立柱體的質量；G≤0表示機床啟動及運行過程中所有的不等式約束，包括撓度約束Δcolumn≤Δmax和最大應力約束σcolumn?σmax，以及油壓系統液壓應力約束和部分尺寸約束；H=0表示機床啟動及運行過程中所有的等式約束，包括所有的裝配尺寸約束。該機床立柱是焊接件，L,W,X1,X2,X3,X4為焊接板件的尺寸參數，T1，T2為焊接板件的厚度參數，各個自變量取值區間見表1。

表1　優化結果

2.2該機床立柱的有限元仿真采樣

該重型機床的有限元模型隨著設計變量的不同而變化，每一組設計變量代表一種設計方案，即一個試驗樣本點。采用拉丁超立方實驗設計方法進行采樣，共采集50個樣本點，并對每個樣本點，即設計方案進行有限元仿真。

邊界條件為立柱底座全約束，外載荷為所承載的橫梁大件質量以及滑座體和刀架體總質量，有限元模型如圖2所示。

圖2　某機床立柱的有限元模型

每一次有限元仿真結束后，讀取立柱導軌體的最大撓度Δcolumn和最大應力σcolumn，每次仿真最大撓度和最大應力出現的位置區間是一致的，所有仿真結束后得到一個有50個樣本點的樣本集S。

2.3近似模型聚合和優化計算

解決此類優化問題的傳統方法是使用單個近似模型來替代有限元仿真，但是對于復雜的隱式未知問題，哪個近似模型最為合適是無法預知的，設計者往往根據經驗選擇近似模型；當設計樣本不同時，不同近似模型的精度也不一致。為防止錯誤的模型選擇導致錯誤的優化解，現采用近似模型聚合方法來解決該機床立柱優化設計問題。

根據樣本集S分別建立Kriging模型、徑向基神經網絡和二階多項式響應面模型，再使用留一交叉驗證確定各個模型的全局指標——預測誤差平方和PRESS值，再根據式 (1) 和式 (2) 建立近似模型聚合來替代式(3) 中的撓度和應力的隱式約束，即將 式(3) 的G< 0中的Δcolumn≤Δmax及σcolumn≤σmax替換為ΔEnsenble≤Δmax及σEnsenble≤σmax,ΔEnsenble和σEnsenble分別為使用以上3種近似模型建立的撓度和應力近似模型聚合。

ΔEnsenble=wk1*ΔKriging+wR1*ΔRBNN+wP1*ΔPRS

ΔEnsenble=wk2*ΔKriging+wR2*ΔRBNN+wP2*ΔPRS

wk1+wR1+wP1=1

wk2+wR2+wP2=1

(4)

將式(4)代入數學模型式(3)中替換對應的撓度和應力隱式約束，式(3)就成為了一個顯式的優化問題。使用Matlab編寫程序，使用全局優化工具箱對該立柱進行優化設計計算，整個優化流程如圖3所示。

圖3　優化流程圖

2.4優化結果分析

優化結果由表1可知，該機床立柱體原始質量為211251kg，優化后質量為198261kg，質量減輕12990kg，約為原始質量的6.15%，經過有限元仿真的驗證，表1所示優化結果是一個可行解。

表1所示結果為理論上的最優值，但考慮到該問題設計域較大，而樣本點較為稀疏，表1的結果雖然是可行解，依然存在不是最優的可能性，但是這種可能性遠低于使用單個近似模型時不是最優解的可能性。由于采樣成本限制，此類問題不能取得太多的樣本點但往往設計空間又比較大，單個近似模型很可能出現模型選擇不當而錯誤尋優的情況。近似模型聚合則能保證在相同樣本的條件下，只要參與聚合的模型至少有一個適用，優化迭代過程就有向最優點方向逼近的趨勢，樣本點越多，就越趨近于最優解。在進行聚合時，參與聚合的多個近似模型均不合適的可能性遠低于單個模型不合適的可能性，設計者應多考慮具備不同有效性，精確性和魯棒性的模型，保證至少選到一個或多個有效的模型，更能體現近似模型聚合方法的優勢。

3結語

結合拉丁超立方試驗設計、近似模型聚合方法、有限元仿真技術和全局優化算法，對某重型機床的立柱進行了減重優化，得到一組可行的設計變量組合，較好的減輕了立柱體的質量，表明了近似模型聚合在高仿真隱式問題上的有效性。近似模型聚合方法能較好的應用于未知隱式問題，雖然建模費時比使用單個模型要長，但與節省的有限元仿真時間相比可忽略，很適用于在機床立柱設計初期進行參數設計的過程中，同樣也可適用于機床其余重要部件的參數設計及類似的隱式約束問題。但對于此類實際工程問題，設計者無法驗證所求的優化解是否最優，是否存在所選擇模型均不合適導致錯誤最優解的情況，這一點將在后期的研究中進行研究。

參考文獻:

[1] 彭文. 基于靈敏度分析的機床立柱結構動態優化設計[J]. 組合機床與自動化加工技術, 2006，3:29-31.

[2] Chen, V.C., et al., A review on design, modeling and applications of computer experiments. IIE transactions, 2006，38(4): 273-291.

[3] Bishop, C.M., Neural networks for pattern recognition. 1995: Oxford university press.

[4] Zerpa, L.E., et al., An optimization methodology of alkaline-surfactant-polymer flooding processes using field scale numerical simulation and multiple surrogates. Journal of Petroleum Science and Engineering, 2005，47(3-4): 197-208.

[5] Goel, T., et al., Ensemble of surrogates. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2006，33(3): 199-216.

[6] 李建平. 仿真元建模中的擬合方法及其應用研究 [D]. 北京：國防科學技術大學，2007.

[7] 方開泰. 均勻試驗設計的理論方法和應用-歷史回顧 [J]. 數理統計與管理, 2004，23(3): 69-80.

[8] Goel, T., et al. Performance estimate and simultaneous application of multiple surrogates. in The proceedings of the 11th AIAA/ISSMO multidisciplinary analysis and optimization conference. Portsmouth, VA. 2006.

Application of Ensemble of Surrogates in Optimization Design of Machine Tool Column

ZHANG Shi-zhan ,QIU Hao-bo

(The StateKey of Digital Manufacturing Equipmcnt and Technology,Huazhong Univesity of

Science & Technology,Wuhan 430074,China)

Abstract:The mathematical model of a heavy machine-tool column is established, and 50 data points of finite element analysis for implicit constrains are sampled by the Latin hypercube design of experimental method. The Kriging model, RBNN (radial basis neural network) model and second-order PRS (polynomial response surface) model are then applied to constructing the ensemble of surrogates for the implicit constrains. Then its feasible design variables are obtained through global optimization, the mass of the column is reduced and the implicit constrains of deflection, stress and hydraulic constrains are all satisfied. The study shows that ensemble of surrogates is suitable for expensive implicit constrains.

Keywords:optimization design; surrogate models; finite element simulation; Latin hypercube

收稿日期：2014-12-03

中圖分類號：TH164; TP391.9

文獻標志碼：B

文章編號：1671-5276(2015)03-0013-04

作者簡介：張實展(1990-)，男，湖北武漢人，碩士研究生，主要研究方向為近似模型技術與優化設計方法。