計算數學研究中理論分析與實踐的辯證關系

黃海洋+關宏波+劉澤

摘要：從計算數學研究出發，闡述計算數學與實踐相結合的辯證關系，分為“計算數學源于實踐” “計算數學必須要接受實踐的檢驗”和“計算數學能夠應用于實踐”三個部分，強調數學不能做假大空的研究，必須與實踐相結合，才能成為真正有用的科學。

關鍵詞：計算數學；實踐檢驗；辯證關系

哲學是一些科學研究的根源，其思想具有宏觀性，而數學的研究具有高度的抽象性，是一種文化體系，是研究客觀世界數量關系和空間形式的自然科學，是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。哲學是自然知識、社會知識和思維知識的概括和總結，是研究世界觀的學問，是世界觀和方法論的統一，是人類思維的結晶與提煉。正如文獻[1]中論述，數學和哲學同為兩門最古老的學科，在人們不斷認識大自然，認識自我的過程中都發揮了重要的作用，也都得到了極大的發展。數學與哲學都具有高度的抽象性，他們之間存在著密切的聯系。從古至今，數學都始終影響著哲學。數學的發展，加深了對哲學基本規律的理解，豐富了哲學的內容。數學有嚴密的邏輯性，這使得哲學家都重視對邏輯的研究和運用，哲學家經常用數學的研究成果來論證他們的哲學思想，或者是對數學的一些研究成果進行抽象概括，建立哲學理論，推動哲學的發展。反言之，數學歷來都是哲學研究的對象，哲學作為世界觀，對數學發展起著指導和推動作用。從古代常量數學到現代數學理論的形成過程中，哲學在揭示其內涵方面都起到了重要的作用。例如，柏拉圖的理念論哲學、馬克思主義哲學等都對數學的發展有非常大的影響。

R. Murawski在文獻[2]中對哲學家Bornstein的邏輯與數學品質的一些主要觀點進行了重述，如集合論的一些概念原理，以及歐式幾何與非歐幾何中的一些區別進行了闡述。文獻 [3] 和 [4] 都是從數學史的角度介紹了數學與實踐的關系。文獻 [5] 對數學工作者提出加強數學素養的要求，注重數學的應用，不做偽科學。文獻 [6] 主要突出數學基礎研究與工科專業知識之間的聯系，特別強調數學基礎課的講授與教研一定要與工科應用結合起來，注重其在實踐中的應用。

在日常的計算數學研究中，針對不同的實際模型問題，要給出相應數值算法的同時，須嚴格按照因果關系導出該數值解與精確解之間的誤差，并找出計算網格剖分加密時，所增加的工作量與誤差之間的關系。也就是說，當工作量增加時，所得到的誤差精度也應該指數倍的提高，如果工作量增加了很多，誤差雖然有所減少，但是減小得不夠劇烈，這說明算法也是不成功的。工作成本與誤差精度之間的關系，稱之為收斂階，當收斂階越高，說明我們的算法就越優越。另一方面，在實際研究中，必須利用一個或多個現實中的例子，按照給出的理論算法，編寫程序驗證該算法是否有效可行，與理論分析是否吻合。如果與理論分析不吻合。那就要檢查是程序編寫是否有誤，理論分析是否嚴禁，并說明相互之間的辯證關系。直到數值計算與理論分析的誤差在容許范圍之內時，才能夠說明該方法是可以被實踐檢驗的，誠如“實踐是檢驗真理的唯一標準”。實踐實際上是認識的起點，最終也必將是認識的歸宿所在。現將計算數學與實踐的論證關系分三個方面闡述如下：

一、 計算數學源于實踐

目前，計算數學中經常針對一些重要的數學物理方程或模型進行數值計算和數值模擬，如計算數學中經常處理的二階膜問題、四階板問題、拋物方程、Maxwell方程、磁流體方程和最優控制問題等都是源于現實生活、工程領域及物理現象的，都有其實際的應用背景，即我們的研究是源于實踐的。

關于數學演變的數學故事及數學研究已有很多，被數學教師經常用于課堂上的是關于數論的進化過程，由最初原始人用于對所獲得獵物計數的自然數，到整數、分數，一直到現代文明中出現的無理數、虛數，還有近年來出現的四元數研究等等。而高等數學中的核心內容微積分，是由數學家牛頓和萊布尼茨分別獨立完成的，他們的出發點分別是物理學和數學，所給出的引例和定理也是分別針對物理和數學的，但是框架和內容幾乎是完全相同的，算法也一樣，到目前為止，這也是科學界公認的奇跡之一。微積分最初給出的數學模型是導數，主要是由變化率導出的，源于物理中的速度和加速度問題以及平面幾何中的切線斜率問題，給出導數的極限定義，進一步得出導數的運算方法和性質后，不僅可以求解上述問題，還可用來求其它變化率的問題，另一方面是積分知識，也是有其現實應用背景的。

上面提到的計算數學中針對的各類方程其實都有其理論背景，以最簡單的二階膜問題為例，模型方程為：

其經典研究背景是有一張邊緣被固定的膜，當在其表面施加外力f時，求解其振動幅度u。由于膜的邊緣被固定，故u在區域■的邊緣■處的振幅都是0，也就是所謂的零邊界條件。另外我們知道拉普拉斯算子■，這正是物理運動中的一個原理：“位移的變化率為速率，速率的變化率為加速度。”加速度正是與外界受力f有關的，拉普拉斯算子前面的負號“-”也正說明了薄膜的最大振幅正是與受力方向相反的。而用有限元方法進行數值計算時，也是強制令邊界單元部分取值為0，進而根據外力f來求解出u的近似解的，在有限元方法中經常是一個分片的多項式。理論上說來，多項式的次數越高，逼近的誤差也就越小，但實際上，當多項式的次數增加過多時，必然給實際應用時的計算機工作量增加，我們在這里稱之為自由度。當自由度增加過快時，由于計算機的硬件是有限制的，計算機可能無法承受，甚至死機，也就宣告了該算法是失敗的。在實際計算中，有時會發現，當多項式的次數增加時，計算機能夠正常運行計算，但誤差卻沒有按照理論分析中那樣減少的那么快，經常性的一個原因就是原問題解的正則性達不到多項式次數的要求。也就是說，增加多項式的次數也不是任意的，需要根據解的正則性確定合適的多項式空間，按照Sobolev插值定理，當精確解屬于■時，最多只能選取k-1階多項式空間即可，次數再高，也不會提高計算精度。

另外類似地，四階板問題，研究的是薄板的彎曲幅度，原理與上面提到的二階問題的類似；拋物問題加入了時間t的影響，稱之為發展方程或非定常問題；Maxwell方程是針對電磁場給出的模型；我的博士論文研究的是最優控制問題。實際上，最優控制問題在工程中有著非常廣泛的應用，其中一個典型的應用就來源于大氣污染控制問題。目前對于大氣污染的控制，一種思路是以控制污染源排放量為手段，使得大氣污染物濃度在特定區域和特定時間段內保持在一個容許范圍之內，同時又使得付出的代價最小。這個問題的數學模型是一個典型的偏微分方程控制問題。此外，一些大型撓性空間結構的設計與制造、大型柔性結構的波動控制研究、低溫超導激光能量爆破的控制研究等都可以歸結為偏微分方程描述的最優控制問題的研究。最優控制問題在工程中的應用還包括復合材料設計問題，須要考慮怎樣合理的配置具有不同結構和屬性的材料使得得到的復合材料滿足我們的需求。還有石油開采過程優化，在石油開采過程中，須要通過注水使得油田的油往出油口流動，而在很多情況下，二次污染問題以及珍貴的水資源也是必須考慮的因素，因此需要合理的注水來達到最大的收益。此外還包括在溫度控制、交通信號控制、系數控制（即參數辨識）、材料設計、形狀設計、流體控制以及航空航天中的應用等等，都是針對控制系統給出的。即我們在計算數學中所研究的模型問題都是有其應用背景的，所給出的數值算法都是有意義可循的。

事實上，很多著名的大數學家，如牛頓、笛卡爾、龐加萊等同時也是物理學家、力學家等，他們將現實生活中的一些現象和規律總結為一類數學模型，只需將該數學模型處理好，它所對應的實際問題也被規范地解決完畢，并且能夠形成統一模式去處理，提高工作效率。無論是基礎數學還是應用數學，如果他所研究的模型根本就找不到合適的物理背景，或者找不到實際例子，更不要提其所給出的研究方法和研究結論了，他所研究的內容就是假大空的內容，其研究可稱為毫無意義的研究。

二、 計算數學必須要接受實踐的檢驗

對于現有的數學模型，或者通過總結規律得到的數學模型，須要采用合適的方法去解決它。如果能夠找到精確解（如歐式期權問題），就可以直接利用該精確解去處理相應問題，得到一些結果。

然而很多模型（如美式期權問題）只能證明其存在唯一精確解，但是求解其精確解非常困難，甚至根本就不解析，那么就要采用數值方法找到其數值解，有時稱為近似解，這也是計算數學專業工作者的主要研究內容。然而，要想使得該求解方法可行，就必須接受實踐的檢驗，在數值試驗中，根據所設計的算法編制出能夠直接處理問題的程序，對某一個或一類特定問題進行計算，檢驗結果是否有效。主要指的是在某一范數（模）意義下，所計算出來的數值解與精確解之間是否存在逼近關系，如果相差甚大，那么該計算方法顯然是不適用的，沒有通過實踐的檢驗。而如果該數值解確實是與精確解比較接近的，那說明該方法是可行的。特別是當要求所給出數值解與精確解之間的誤差足夠小時，計算機運算能力是否能夠達到，也就是說須要不斷地改進算法，使得計算方法能夠處理現實生活中足夠大規模的問題，讓工程界工作者能夠直接利用該算法去解決問題。

三、計算數學能夠應用于實踐

計算數學方法所給出的理論分析以及計算方法，還要能夠應用于實踐，在實踐中確實有其獨道之處。數學給人的第一感覺就是嚴謹、邏輯性強，甚至讓人窒息。然而，也正是有了這些優勢，數學在目前科學技術迅速發展的今天，才有其一席之地。

在文化大革命剛剛結束之時，鄧小平同志就派人四處尋找華羅庚先生，希望從基礎學科抓起，給以后的科學發展提供前期保障和理論支撐，以免走錯路、走彎路。現在看來，鄧小平同志的決定是英明的，是有先見之明的。如果基礎理論不扎實，那么在具體的實踐科學技術中，就容易出紕漏、出差錯，保證不了其正確性，甚至造成難以預料的損失和災難。

從另一方面來說，為了避免這么嚴重的災難和后果的發生，前提就必須要求基礎學科的知識是完備的，經受住考驗的，是能夠應用于實踐的。如果所提出的一些理論都是假大空的，根本就不能應用于實踐，完全是自娛自樂、自圓其說，那么可以肯定的是，這樣的研究不是我們需要的，完全可以稱之為偽科學。計算數學所要求的，必須包括模型假設的合理性、理論分析的正確性和設計算法的應用性等方面，這也正是當今科研工作所必備的。

實際上，國際上也對我們國家的科研有著質疑，認為很多科學研究實際上是偽科學，盡管沒有學術造假行為，但是所給出的方法只能存在于理論研究，根本走不出實驗室。曾經發生過這樣一個故事，一個西南某高校的數學教授，根據自己的理論推導，證明了某種映射是具有不動點的，并據此發表了數十篇論文。幾年以后，一個數學專業大二的一個本科生。在國內一個一般性期刊上發表了僅僅兩頁的論文，說明這種假設下的映射只能針對只有一個點的集合，根本就不可能應用于實踐。至此，說明該教授的系列研究就沒有任何意義可言。所以，我們的研究應該找到實際應用背景，并能夠接受現實實踐的檢驗，才能有長遠的、可持續的發展。實驗室的研究也應該向著能夠用于生產的方向研究，不能僅限于促成偶然出現的小概率事件而沾沾自喜。

四、結束語

從上述論述過程中可以看出，其實不僅僅是計算數學，乃至整個數學專業甚至于其他理工科的科學研究工作，都要理論與實踐相結合，才能成為真正的科學。研究內容必須有意義，研究過程必須科學嚴謹，研究結果必須能夠接受實踐的檢驗。在我們日常的科研工作中，從一篇科研論文的選題，經過理論分析與數值試驗，一直到論文的定稿不斷修改和錄用，都必須與實踐高度結合，這也正是應用數學學科與實踐之間的必然聯系。

參考文獻：

[1]郭翠花.淺議數學與哲學的關系[J].中山大學研究生學刊（自然科學版），2005，26（3）：107-111.

[2]Roman Murawski. Benedykt Bornsteins Philosophy of Logic and Mathematics，Axiomathes[J]，2014，（4）： 549-558.

[3]董駿.從數學哲學看數學[J].數學之友， 2014，（16）： 76-77.

[4]李衛.論數學的哲學思辨和社會實踐[J]，速讀（教學研討）， 2014，（2）： 54-55.

[5]杜其奎，寧連華，周興和.淺談數學與數學素質[J].中國大學教學，2011，（5） ：11-14.

[6]關宏波，黃海洋. 高等數學與工科專業課程有機結合的若干思考[J]，高等函授學報（自然科學版），2011，（1）： 5-6.

編輯/宋 宇