高中數學不等式教學研究

高中數學不等式教學研究

基金項目：*本文是人民教育出版社中學數學室研究課題“人教A版高中數學課標教材修訂”的研究成果,由俞求是執筆.

●俞求是(人民教育出版社中學數學室北京100081)●李世杰(衢州市教研室浙江衢州324002)

●王芝平(宏志中學北京100013)●馬波(北京師范大學數學科學學院北京100875)

●甘志國(豐臺區第二中學北京100071)

作者簡介俞求是，男，1961年出生，人民教育出版社主任編輯、副編審，課程教材研究所副研究員，主要研究中學數學教育，有多年中學數學教學經歷，參加了多項重大數學教育課題的研究工作，參加了由人民教育出版社出版的多套數學教材的研制工作，多次榮獲課程教材研究論文獎，在國內教育期刊發表了數學教育和教材研究方面的論文數十篇，有10多篇論文被中國人民大學書報資料中心《復印報刊資料》全文轉載.

1不等式教學的地位、意義和價值

不等式歷來是中學數學教學內容的重要組成部分,因此很有必要思考該內容的地位、意義和價值.

文獻[1]中對于“不等式與不等式組”教學提出以下要求：1)結合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質.2)能解數字系數的一元一次不等式，并能在數軸上表示出解集；會用數軸確定由2個一元一次不等式組成的不等式組的解集.3)能根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題.

《高中數學課程標準(實驗)》在必修模塊5中的不等式內容和要求指出：不等關系與相等關系都是客觀事物的基本數量關系，是數學研究的重要內容.建立不等觀念、處理不等關系與處理等量問題是同樣重要的.并指出教學要求：在本模塊中，學生將通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，理解不等式(組)對于刻畫不等關系的意義和價值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實際問題；能用二元一次不等式組表示平面區域，并嘗試解決一些簡單的二元線性規劃問題；認識基本不等式及其簡單應用；體會不等式、方程及函數之間的聯系.

文獻[2]在選修4-5“不等式選講”中指出：在自然界中存在著大量的不等量關系和等量關系，不等關系和相等關系是基本的數學關系.它們在數學研究和數學應用中起著重要的作用.對于教學要求，指出：本專題將介紹一些重要的不等式和它們的證明、數學歸納法以及簡單應用.本專題特別強調不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對這些不等式的數學本質的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力.

文獻[3]“不等式選講”的引言指出：在自然界中，等量關系和不等量關系是普遍存在的，描述等量關系可以用等式，描述不等量關系可以用不等式.與等量關系一樣，不等關系也是數學研究的重要內容之一.因此，研究不等關系和不等式，既是數學研究的重要方面，也是我們認識世界的重要途徑.“第1章”章前言：現實中，人們常用長與短、多與少、高與矮、輕與重……來描述客觀事物在數量上存在的不等關系；數學中，人們常用不等式表示這樣的不等關系，不等式是數學研究的重要內容．

文獻[4]中提出教學要求：通過不等式在各方面的廣泛應用，使學生理解現實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相對的，從而對學生進行辯證唯物主義教育.

在不等式的實際應用方面，不等式理論在極值問題中非常重要，是不等式應用的一個重要方面.一個變量，在一定的限制下，何時能夠達到最大值或最小值，這是有重要價值的一類問題，也是學生很感興趣的問題.不等式(定理)的證明當然有價值，但同樣有價值的是研究現實中的一些極值問題.

在研究不等關系時，把不等關系和相等關系的研究作比較是必要的.任何2個實數間都必然有相等或不等的關系，相等和不等是對立統一的2個概念，是普遍存在的關系.相等關系和不等關系組成互相處于矛盾關系中的一個統一體.確定了相等關系，也就否定了不等關系，反之亦然.由相等關系就可以得到一系列的不等關系，因此，可以通過研究相等關系來達到研究不等關系的目的.從一個確定的相等關系式出發，就可以得到一系列的不等關系式.當然，從任何不等式定理出發，自然也可以寫出一系列相關的不等式結論，有時可以進一步研究加強了的不等式結論和減弱了的不等式結論.

從任何2個量之間的關系來說，不等關系是比相等關系更加普遍的關系，不等關系的研究具有更多的復雜性.

在實數范圍內的基本不等式共有5類，與等式存在如下的關系式：

1)f≥0?|f|=f;

2)f≤0?|f|=-f;

這些關系式說明：任意一個不等式，都可以改寫為等價的等式形式.反過來，由f=0?|f|≤0，可知任意一個等式都存在與其等價的一個不等式.綜上所述，任意一個不等式(或等式)都可以改寫為等價的等式(或不等式)形式[5].

不等關系的研究是非常普遍的問題，正式冠名的不等式數量眾多，《課程標準》中的有關不等式內容是基本而且有廣泛應用價值的.這些基本的不等式定理所涉及的運算是最常見的運算(加、減、乘、倒數、絕對值、低次數冪、向量內積、順序變化、距離等)，因此是基礎知識.無論是從縱向的歷史比較，還是從橫向的國際比較來看，目前不等式的教學要求都已經達到較高的要求，不宜再增加難度、份量.新高中課程增加的柯西不等式和排序不等式的價值目前得到大家的認同，建議教學要求保持不變.

當然，多引入一個基本的不等式定理，就意味著學生多知道一個可以用的工具.從數量的角度來看，多了一個工具，學生的能力就增強了，舉例說明這一點：已知α>0,β>0,α3+β3=2,求證：α+β≤2.如果應用冪平均不等式，就非常容易證明，但用其他方法就需要一定的技巧.但這也不是絕對的，當不等式定理的數量多到不恰當的時候，學生對于選擇哪個不等式定理作為工具，就需要用更多的時間進行檢索、比較和選擇，這增加了學生的認知負荷.另外，在學生知道較少的工具時，學生熟練工具的時間也可以相應減少，對于這些工具的訓練時間就可以增加，就可以更得心應手、熟能生巧.因此不等式定理的引入數量多少合適的問題，應根據高中學生的情況來決定，應該適度.

2高等數學中的不等式教學意義

不等關系是客觀世界中廣泛存在的一個基本關系，各種類型的不等式(定理)在現代數學的各個分支及實際應用中起著十分重要的作用.例如，張奠宙等翻譯、上海科技出版社出版的數學名著《數學分析中的問題和定理》就有一章“不等式”(第2篇“積分”中的第2章).在文獻[6]中，第3章“不等式”以較大篇幅講基本的不等式和數學分析中的不等式，此書包括了在以前中學數學雜志中討論的一些給人以深刻印象的不等式問題，該章包括以下內容：

1)若干簡單的有窮不等式；

2)平均值與有窮不等式；

3)積分不等式、無窮不等式及函數的凸性；

4)關于不等式的補充命題及雜題；

5)關于常用函數的若干不等式.

從此不等式可以得到啟發:以結構較為簡單的函數代替一個超越函數而能保存該超越函數的許多特征，并且損失不多.以上論述說明了在數學分析學科中研究不等式的意義.

3近期國內對于不等式教學的部分研究

文獻[7]以Cauchy不等式為案例，研究了Cauchy不等式的多種有趣證明、推廣、變形及其應用，探討了Cauchy不等式在數學教育教學中的價值取向，進一步體悟到數學問題研究的基本方法和基本思想的內在魅力.

文獻[8]論述了“不等式選講”構成的背景及其定位、新增內容的特點及其設置意向，并提出了一些教學建議.

文獻[9]針對高中數學新教材人教A版普通高中課程標準實驗教科書選修不等式內容的教學，結合高中數學教學實際，提出了關于不等式內容教學的幾點建議，以期對本部分內容的具體教學提供一定的參考.

文獻[10]對“不等式選講”的教學進行了調查研究，針對教學現狀和存在的問題，提出了選學建議和教學建議，對于某些重點內容的教學進行了深入地研究，并提出了探究式教學的教學設計.他認為這個選修專題很有選學的價值，但對于內容應該有所選擇，并提出了一些教學建議.調查發現，大部分教師和學生認為此“不等式選講”專題的學習有很大必要，大多數學校把此專題的學習安排在高二下學期或者高三年級學習，專題教學安排18課時比較合適，有些省份要求文理科學生都學習此專題，有的省份則只要求理科學生學習，大部分教師認為需要一些教學輔導材料.

文獻[11]指出：貝努利不等式具有簡單的結構、深刻的內涵,在高等數學中有廣泛的應用.比如利用貝努利不等式能簡潔明快地證明重要極限、算術幾何平均值不等式、權方和不等式,也是證明冪平均不等式的工具.鑒于貝努利不等式在數學中的地位與作用,《普通高中數學課程標準(實驗)》將貝努利不等式列入選修4第5專題“不等式選講”中.又由于近年來一些高考試題含有貝努利不等式的背景,因此,對貝努利不等式的探究是有價值的.此文利用貝努利不等式和它的2個推論,巧妙地解答了幾道高考數學試題.

文獻[12]指出：在蘇教版的教學中發現，函數內容比較簡單，不等式的有關教學內容比較滯后，特別是一元二次不等式的有關教學在必修5中才進行，顯得較靠后.論文通過調查問卷及對人教版和蘇教版教材中不等式內容的比較研究，最后得出結論，應該把解不等式的內容和其他內容分開進行教學，即在高一函數教學前安排大約5個課時先進行解不等式的教學，再到必修5進行線性規劃和簡單不等式證明的教學.

文獻[13]指出：在《普通高中數學課程標準(實驗)》的“基本理念”與“課程目標”中,都提到數學的美學價值,即“數學課程應當反映數學科學的思想體系、數學的美學價值、數學家的創新精神和幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用,逐步形成正確的數學觀”，“高中數學課程的具體目標之一是使學生認識數學的科學價值、應用價值和文化價值,崇尚數學的理性精神,體會數學的美學意義”.因此,新數學課程理念下的數學教學既要重視數學知識的傳授,又要關注對數學內容的美學屬性的揭示,使學生在了解和感受數學美的同時,培養起對數學的良好情感及運用數學美的能力,從而提高對數學的直覺能力及創造思維能力.

文獻[13]結合不等式教學實際論述如何讓學生感受和運用數學美：

1)利用對稱美證明不等式，對稱美是數學中最普遍的一種美,對稱圖形、對偶數、對稱式、對稱方程組都給人以勻稱的美感.用對稱的觀點去處理問題,往往可以從問題的一部分自然聯想起與此對稱的另一部分,于是通過構造,使問題補充為完美的對稱問題；或者用解決問題某一部分的方法去解決與此對稱的另一部分問題.用對稱美的思想指導解題可找到簡潔、漂亮的解法.

2)在解不等式中追求簡單美,探索解題捷徑，在解題過程中,應當引導學生認真觀察問題,分析問題,找到問題的本質特征,尋求簡單解法.

3)在不等式中灌輸統一美的思想.

4)利用相似性,推廣不等式,感受數學的奇異美，讓學生在推廣過程中深切感受到數學的和諧美、奇異美，激發他們對數學的好奇心和求知欲,讓他們能主動去學習,去研究,并培養他們的發散思維能力和創造思維能力.

數學的美無處不在.一題多解的廣闊美、一題多變的擴散美、數學趣題的娛樂美,數學的美猶如浩瀚的大海廣闊而且深遂.作為數學教師應該善于從數學中挖掘美、發現美,將這些內容適當穿插于教學過程中,有意識地培養學生健康、高尚的審美情趣,提高學生的審美水準.只有這樣,才能激發學生求知的愿望與熱情,增強他們的創造發明能力.

4一元二次不等式及解不等式教學

一元二次不等式及其解法是不等式內容中的基礎知識，應該把這個內容安排在比較靠前的位置，曾有高中數學教科書把“一元二次不等式的解法”安排在全套教科書的第1章，而目前新課程教學中，一些高中把這個內容作為初高中的銜接內容；修訂后的高中數學課程標準也宜參考以上的安排，提前安排此內容.

另外，從中學數學教學內容的整體來看，初中學生學習該內容沒有困難，建議今后考慮移回初中，作為初中教學內容，充實初中數學教學，減輕高中過重的教學壓力.實際上，現在初中已經有求解相應二次方程的內容，又有二次函數的內容，從教學內容的聯系性和整體性出發，都應該考慮在初中增加一元二次不等式的教學內容.

目前，在高中數學必修5中，該內容只安排了3個課時；在文獻[14]中，該內容只安排了一個“讀一讀”的內容，就基本說明問題了，如果正式安排教學內容應該也不必花多少時間.在文獻[15]中，一元二次不等式是安排在第14章“函數及其圖像”的第6節“一元一次不等式組和一元二次不等式”中，此書開本為32開，在這一章前幾節分別講了正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數的圖像和性質，在最后一節講一元二次不等式的解法，在共4頁半的范圍內，借助函數圖像的方法，用了2頁半就把一元二次不等式的解法講得非常清楚了，再用了2頁講了6個例題.當時安排的課時是2~3個課時.

從縱向比較看，大綱教材有解不等式的內容，現在基本刪去，而證明不等式的要求則有所提高.實際上，解不等式的基本知識有廣泛的應用，目前，對于解不等式的教學內容，在“不等式選講”中只安排了解含絕對值的不等式，份量較少，略顯欠缺，建議是否可以增加部分解不等式的內容，可以考慮再安排若干課時用于“解不等式”，如解無理不等式和分式不等式.

參考文獻

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[14]人民教育出版社中學數學室.義務教育初中數學實驗課本代數·第3冊[M].北京：人民教育出版社，1996.

[15]人民教育出版社中學數學室.初級中學代數·第4冊[M].北京：人民教育出版社，1989.