“教”讓道于“悟”——從一節高三復習課談起

“教”讓道于悟”——從一節高三復習課談起

●馮濤(北侖中學浙江寧波315800)

著名數學特級教師孫維剛認為，教師的教學目標應該是：通過知識的教學，培養學生的能力，在能力提高的基礎上不斷提高學生的素質，造就一個強大的腦子，讓不聰明的孩子變得聰明，讓聰明的孩子更加聰明.怎么實現這個目標呢？不同的教師對此有著不同的答案，筆者最近參加了在浙江省鎮海中學舉行的寧波市第9屆特級教師帶徒研討會活動，聆聽了一堂題為“函數零點問題選講——選擇模型優化解法”的公開課.在這堂研討課中，教師精選例題，循循善誘，學生熱情參與，探究氣氛熱烈，聽課的教師和專家都積極參與了評課研討，認為教師在教學中激發了學生的探究熱情，學生的課堂主體地位得到了充分展現，強調學生在主動探究中的“悟”，并對其他方面也給出了中肯的意見和建議.本文結合這堂課的教學設計談談如何實現高三數學復習的有效性，供大家交流切磋.

1教學設計簡錄

環節1教師在課件中打出中國足球運動員踢球的習慣：一“搶”、二“逼”、三“圍”.然后拋出自問自答問題：我們在解題中應該養成什么習慣呢？教師個人認為：一“看”、二“悟”、三“說”，“悟”自始至終貫穿整堂課的核心(引導學生感悟這堂課的思維主線).

環節3看一看.

1.設函數f(x)=4sin(2x+1)-x，則在下列區間中函數f(x)不存在零點的是

()

A.[-4,-2] B.[-2,0]

C.[0,2] D.[2,4]

(2011年浙江省數學高考理科試題)

2.設a∈R,當x>0時均有

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，

則a=______.

(2012年浙江省數學高考理科試題)

3.設函數f(x)=x3+3|x-a|(其中a∈R)，若f(f(a))≤2，則實數a的取值范圍是______．

(2014年浙江省數學高考理科試題)

(2012年天津市數學高考理科試題)

5.函數f(x)=2x|log0.5x-1|的零點個數為

()

A.1B.2C.3D.4

(2013年天津市數學高考理科試題)

6.已知函數f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍為______.

(2014年天津市數學高考理科試題)

這個環節是繼續在教師的引導下了解高考題目中函數的考查點，目的在于讓學生逐漸領悟到本堂課即將討論函數零點問題.

環節4悟一悟.

教師板書課題“函數零點問題選講——選擇模型優化解法”，并提出一個函數零點問題給學生充分思考分析求解，讓學生先行領悟解題當中涉及到的知識和方法，為后續發言準備.

例1已知函數f(x)=|x2-1|+x2+kx在區間(0,2)上有2個不同的零點,則k的取值范圍是______.

經過較認真的思考，大多數學生都有了自己的想法，教師在巡視解答后，請學生交流自己的想法.由于授課對象是鎮海中學重點班的學生，他們思維活躍，發言積極，主要領悟到以下幾種思路：

方法1直接將原函數化歸為分段函數結合圖像處理：

圖1 圖2

方法2令f(x)=|x2-1|+x2+kx=0得

|x2-1|=-x2-kx，

分別構造u(x)=|x2-1|,v(x)=-x2-kx，并在坐標系內重新作圖像如圖2所示.

圖3

方法3令f(x)={|x2-}1|+x2+kx=0，得

|x2-1|+x2=-kx,

于是還可以構造u(x)={-kx,}v(x)=|x2-1|+x2.在坐標系內作出圖像如圖3所示.

方法4在前面函數構造基礎上再進一步，可以構造常數函數與分式函數來處理.令

圖4

環節5歸納提升.

經過師生、生生探討，結合多方面畫圖計算，反復推敲解法，課堂氛圍達到高潮.教師在解決問題之后，針對學生的作答，引導學生思考2個問題：

1)在處理函數零點個數問題時，構造函數模型的選擇有哪些情形？

學生自主歸納后，領悟到以下結論：在處理函數零點問題時處理方式通常有2種情況:①直接考查y=f(x)的圖像與x軸的交點個數;②令f(x)=0，并通過適當變形轉化為考查2個函數y=u(x)和y=v(x)的交點個數.并且在數形結合處理函數零點問題時可以構造的函數類別是多種多樣的.

2)求解函數零點個數問題時，你又會作出怎樣的選擇？

受例題影響，大部分學生認為自己會構造2個函數、畫圖像、處理零點問題，而且其中一個是常數函數時最有利于解題.

環節6選擇模型優化解法.

教師肯定了學生對第1)個問題的認識，對第2)個問題的回答顯然并不贊同，但是教師沒有馬上表明自己的觀點，而是引導學生繼續探索變式問題，進一步讓學生自己去感悟.

例2已知函數f(x)=|x2+3x|,若方程{f(x)-}a|x-1|=0恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍為______.

(2014年天津市數學高考理科試題)

教師給出問題后，許多學生就開始進行分離參數構造函數模型，大致有以下3種構造方式：

方法1直接構造函數g(x)=|x2+3x|-{a|x-}1|，由于分段函數層次討論太多，學生思維受阻.

圖5

方法3一部分學生構造2個含絕對值的函數：{u(x)=}|x2+3x|，v(x)={a|x-}1|,2者的圖像都能方便給出，但是一部分學生只考慮到如圖5所示圖像中的情形，利用判別式計算出結果為09.綜上所述結果是a∈(0,1)∪(9,+∞)，這個題目讓學生領悟到利用圖像解題還需作圖精確.

環節7說一說.

結合2個例子的研究，教師讓學生說說這堂課所獲得的感悟，學生總結為遇到函數零點個數問題時需要考慮構造不同的函數模型處理，方法應該多樣，不應該固守一種，因題制宜，遇到困境時還要綜合運用知識和方法靈活處理,八方聯系，緊緊抓住一般方法，以不變應萬變.

2關于研討課的思考

數學教師對課堂教學藝術的追求是永無止盡的，一堂課究竟怎樣才算一堂好課.一堂有效的數學課，可謂仁者見仁,智者見智.從教學目標來說，本堂課既回顧了基本初等函數，復習了函數零點以及相關知識點，滲透了數形結合的方法，鍛煉了學生的思維能力，激發了求知熱情和欲望,總體看是較好地完成了教學任務.從教學組織來看，課堂主線明確清晰，看一看，悟一悟，說一說，簡單的三部曲，引領學生一步步登堂入室，從一開始就通過例子“悟”知識點，后來去“悟”數形結合的思想，教師在課堂上自始至終沒有提到“數形結合”4個字，但處處用到這個思想方法，目的恐怕就在于讓學生自己感悟.教師在教學組織上一直扮演導演角色，將課堂主動權交給學生，這些做法完全符合新課程標準的理念，師生互動、生生互動在課堂上俯拾皆是.例題和習題的處理都交給學生自主探究、討論、交流并總結歸納提升，課堂氛圍融洽，學生思潮涌動,教師話語自然、親和，課堂充滿和諧與智慧，可以說是一堂好的復習探究課.從細節上看，教師例題的選擇很典型，從上課效果來看，這堂課里教師有意淡化了自己“教”的痕跡，有意識地鍛煉了學生感悟的能力，題目雖然教得不多，但是學生在思維的相互碰撞和交流中升華了課堂的層次，提升了學生思維的批判性和深刻性，達到了較好的復習效果.當然，這堂課如果在開始階段縮短“看一看”的部分內容，那么學生在“悟一悟”和“反思總結”環節將會有更充分的時間.在這堂課最后的結束語中，教師引用了《老子》里面的名言:“道可道，非常道”，似乎也在表明數學課就應該無時無刻地關注學生“悟”道的過程.

3關于高三復習的思考

眾所周知，高三復習時間緊迫，學生負擔重，教師需要思考如何設計自己的教學，才能高效率地幫助學生復習.借用孫維剛老師的話說就是：教師要時時刻刻、事事處處站在系統的高度講授知識，讓知識總是以“系統中的知識”的面目出現在學生面前.教師要著眼于知識之間的聯系和規律，使學生從系統的高度領悟和把握知識進行思考，做到八方聯系，渾然一體，達到浮想聯翩、思潮如涌的思維狀態.學生在這個過程中有所“悟”，自己獲得的鮮活的知識經驗遠遠比教師教會的要記憶深刻，因此應當主張教師跳進“題海”，而徹底把學生從“題海”中解脫出來，把能力和素質提升上去.對于高效的課堂教學，筆者認為應該包含以下3個方面.

3.1蘊知識點和方法于例題，忌簡單羅列

在高三復習時，回顧已經學過的知識點和方法是必經環節，但是簡單羅列一些已學知識與方法是低效的教學行為.筆者也曾經采取過這樣的復習方式，通常這個過程基本沒有啟發學生的有效思考，更談不上領悟，屬于空洞的教學.回憶知識和方法當然是重要的，但是可以換一個方式進行，應該蘊知識和方法于例題當中，設計好的問題串啟發學生在思考中領悟相關知識、弄清概念，在具體的解題實踐中和反思中悟到方法和經驗，這樣的復習才會更加有效果.

3.2精選例題，分析徹底

高三復習課的教學很多都是解題教學，高效的復習就必須要精選例題，題不在多而在于精，要在“一題多解”、“多解歸一”、“多題歸一”上下工夫.學任何功課都要做題.做題好像是水，水能載舟，也能覆舟.題海戰術，就是覆舟之術.精講巧練，是載舟之術.精，是指教師可選擇精彩的少量題目讓學生練習.練習中要通過“一題多解”，達到熟練；通過“多解歸一”，發掘形式上不同的解法間必然存在的共同本質；通過“多題歸一”，總結出一批題目的共同本質，形成普適性的思考規律.這個過程重在學生對方法的領悟，對妙處的感悟.選好例題僅僅是一個方面，另一個方面是用好例題，復習課最忌諱教師一個例題接著一個例題往下講，好的例題一定要將它用足、用盡，一個簡單的函數零點問題或許1~2種方法就能破解，為什么還要延伸出其他解法呢，目的就在于把例題表象之下埋藏的東西充分開掘，把作用發揮到極致，讓學生的領悟不斷更新和碰撞，在比較中領悟、鑒別方法.

3.3重視反思，歸納總結

波利亞解題第4階段：“回顧反思”中，我們反思什么？新課標在其十大基本理念中指出，“數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質”，通過典型例子的分析和學生的自主探究活動，使學生領悟到數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊含在其中的思想方法.復習課的教學中，經常通過變式的訓練，讓學生在某一個問題上看清它的實質，找到易混的概念，并加以區別、辨析.它有助于鞏固學生的數學知識，有助于培養學生分析、歸納、解決問題的能力，有助于激發學生學習的興趣.它能夠對例題、習題進行變通推廣，讓學生對所學知識在不同角度、不同層次、不同情形下重新認識.這種反思使得教師在教學過程中能時刻把握學生的學習過程，幫助學生加深對基本概念的理解、基礎知識的鞏固、克服錯誤現象，提高學習效率，優化解題過程，挖掘數學思路，有利于學生觀察能力、自學能力、實驗能力、思維能力和創新能力的提高.

高三復習的主要任務就是回顧知識，梳理方法，積累解題經驗，提高應對能力.每當遇到新情景、新問題時，只要我們勤于反思，總結經驗，產生更多解題途徑，那么面對考試的時候才會作出最合理的選擇，從容應對.