巧用基本不等式 妙解數學問題

巧用基本不等式妙解數學問題

●黃建鋒(余姚市第二中學浙江余姚315400)

合理利用基本不等式可以達到降次或消元的效果，當一些問題解法比較難或無從下手時，從基本不等式的等號成立條件出發審視問題，適當變形分拆一些項，構造出合理的結構，進而使用基本不等式，往往會得到出奇制勝的結果，解后讓人意味雋永，回味無窮.下面通過實例以饗讀者.

1巧用基本不等式求解最值

例1已知正數a,b,c滿足2a+4b+7c≤2abc，求f(a,b,c)=a+b+c的最小值.

(2008年全國高中數學聯賽吉林省預賽試題)

分析由于此題取最值時各變量彼此不完全相等，文獻[1]通過引入待定參數，利用換元的方法促使各變量彼此相等，從而結合加權基本不等式解決本題.筆者通過探究發現完全可以直接用基本不等式來解決.

解由已知條件2a+4b+7c≤2abc得(2ab-7)c≥2a+4b，從而

于是

注意到分母為2ab-7，因此希望在前面a+b中通過變形使得分子中含有2ab-7，故作如下變形：

(1)

從而

令2ab-7=t，結合基本不等式，則上式右邊

2巧用基本不等式證明不等式

(2013年巴爾干數學奧林匹克競賽試題)

證法1注意到這個不等式當a=b=1時等號成立.由基本不等式易得a+b≥2.于是，由柯西不等式可得

(2)

證法2注意到這個不等式當a=b=1時等號成立.易得a+b≥2，從而

結合算術幾何平均值不等式，可得

由柯西不等式可得

評注證明中出現的拆項技巧是從取等號中想到的.本文中的2種證法比文獻[1]中的湊形構造函數證明要簡潔，可謂把取等條件利用得淋漓盡致.

例3[2]已知a,b,c是滿足abc≥1的正數，求證：

證明注意到這個不等式當a=b=c=1時等號成立.由基本不等式可得

從而

同理可得

于是

由赫爾德不等式知

故原不等式成立.

參考文獻

[1]林國夫.巧引待定參數，妙求多元函數最值[J].數學通訊:下半月，2010(12):29-31.

[2]安振平.一道巴爾干數學奧林匹克不等式題引發的思考[J].數學通訊：上半月，2013(11/12):107-108.

全國初等數學研究會第3屆理事會第5次常務理事擴大會議紀要

全國初等數學研究會第3 屆理事會第5 次常務理事擴大會議于2015年7月15～16 日在北京召開，來自全國21個省市自治區的53名代表參加了此次會議．楊學枝理事長主持了15日上午的開幕式，全國初等數學研究會顧問中科院林群院士、北京師范大學張英伯教授以及學會的部分正副理事長在主席臺就坐．會議承辦方北京學而思培訓學校張超月校長致辭，楊學枝理事長作理事會工作報告，在簡短的開幕式后，全體與會代表進行合影留念．

開幕式后，由劉培杰副理事長主持，大會代表聆聽了林群院士題為“理論于案例———實數抄槡2”、張英伯教授題為“法蘭西英才教育掠影”的報告．這2個報告深受代表們歡迎．接著會議由李吉寶副理事長主持，全國初等數學研究會專家劉培杰、王芝平、楊世明、吳康、龍開奮、楊學枝、李吉寶等作大會學術報告，報告的內容涉及數學教育教學、數學競賽、初等數學研究等，對于上述報告，與會代表受益匪淺．專家報告之后，大會展開自由發言，代表們紛紛就初數研究問題分享了自己的研究成果以及對初數研究今后研究的方向提出了許多寶貴的意見和建議．

15日晚上，召開了正副理事長、正副秘書長擴大會議，由吳康常務副理事長主持，會議討論了以下議 題:1)關于學會注冊登記問題;2)關于學會網站建設問題;3)關于學會自身建設問題;4)關于如何進一步辦好會刊《中國初等數學研究》問題;5)關于增補常務理事及學會領導成員問題;6)關于開展第10屆初數會議及論文評選問題;7)關于評選和頒發第5屆“中國中青年初等數學研究獎”(名額5人)、評選第3屆中國“初等數學研究成果獎”、評選第3屆中國“初等數學研究杰出貢獻獎”( 原則上不超過2 名) ”等，與會者表示同意學會所作出的決定;8) 關于換屆選舉新一屆(第4屆) 理事會領導機構問題，大家提出了一些人選建議．

7月16日上午會議分2 段進行: 上半段由副理事長沈自飛教授主持，與會代表熱烈討論學會工作，提 出了大量有益的意見和建議; 下半段由副理事長龍開奮教授主持，舉行大會閉幕式，在閉幕式上，吳康常務 副理事長代表學會作學會工作報告，楊學枝理事長宣讀本次會議紀要，并宣告全國初等數學研究會第3 屆 理事會第5 次常務理事擴大會議勝利閉幕!

全體與會代表再次用熱烈掌聲感謝好未來教育集團北京學而思培訓學校領導對本次大會所給予的人 力、物力、財力等方面的大力支持和幫助，感謝大會會務組成員，為大會的成功召開所作出的熱忱而又辛勤 的工作． 大家盼望著2016 年再次相聚羊城!

(2015年7月16日于北京)