高考向量問題的考查由平面向空間的“華麗轉身”

活用伸縮變換巧解高考橢圓問題高考向量問題的考查由平面向空間的“華麗轉身”

●蘇立標(杭州師范大學附屬中學浙江杭州310003)

向量在高中數學中占有獨特的一席之地，是高中數學的重要知識點，是溝通代數、幾何和三角函數的一種工具.在高考試題中，對向量的考查往往把重心放在平面向量(而空間向量經常在立體幾何的運算中“客串”一下、露一下臉而已).平面向量試題往往短小精悍，內涵豐富，富有啟迪性，特別是浙江省的高考試題中,平面向量問題更是獨樹一幟，精彩紛呈.但近幾年高考試題中向量問題的考查則悄悄地由平面向空間“華麗轉身”，值得我們去研究討論，本文試圖對此進行總結梳理，以供高考復習參考．

1有關基礎運算

如果沒有運算，向量就只是個“路標”.因此有人說：運算讓向量插上了“夢想的翅膀”.同樣在高考試題中，對空間向量問題的考查也離不開向量運算.

圖1

()

A．1B．2C．4D．8

(2014年上海市數學高考試題)

分析由題意易知直線AB與上底面垂直，從而AB⊥BPi(其中i=1,2,…,8)，于是

(2014年浙江省第2次五校聯考試題)

分析由極化恒等式得

從而

這類向量問題的背景為空間圖形，但解答問題的落腳點卻是平面向量的有關基本計算，把空間問題轉化為平面問題是解決這類問題的根本思路.

2有關最值問題

最值問題是高考數學繞不開的話題，特別是與向量有關的最值問題,因其具有較強的綜合性而倍受命題者的親睞.

(2015年浙江省數學高考理科試題第15題)

分析本試題立意樸實但又不失新穎，選材寓于教材又高于教材，全面考查向量的最值問題，同時也考查了學生繼續學習所應具備的數學素養和潛能，著重考查了學生對數學本質的理解．

因此|b-(xe1+ye2)|2=

由此得c與a+b所成角的最小值為45°．

()

(2014年浙江省湖州市一模試題)

3有關軌跡問題

與空間向量有關的軌跡問題是高考數學的熱點也是難點之一，既要借助于向量的靈活運算，還要有一定的空間想象能力作支撐．

(2015年浙江省嘉興市一模試題)

圖2 圖3

AB2-BD2=AC2-CD2,

4教學反思

這類與空間向量息息相關的問題往往比較綜合，在數學高考的復習中要引起足夠的重視，“要立足于基礎，夯實基礎”才是復習的“王道”，運算能力是數學核心素養,是學生學會數學的基礎．在數學教學活動中，培養學生運算能力的核心素養，有利于學生提升邏輯推理能力，有利于學生培養程序化思考問題的習慣，有利于學生養成實事求是、一絲不茍的科學精神．

也許自然界中的一些現象對我們有所啟迪：非洲草原上有一種尖毛草，在最初的半年內，它幾乎是草原上最矮的草，但雨季一來,它就像施了魔法一樣，幾天內就“瘋長”到接近2米高．有人決心探明其中的奧秘，結果發現尖毛草在最初的半年內不是不長，而是一直長在根部，雨季前，它在地面上只露出一寸，但在地下扎的根卻超過了28米！根深才能苗壯，枝繁葉茂、碩果飄香，我們的高考復習更是如此．

參考文獻

[1]蘇立標.平面向量在高考試題中的幾個難以釋懷的“情結”[J].中學教研(數學),2013(8)：33-34.