構造法解函數不等式

余建國

什么是函數不等式？先看一個問題.

例1 已知定義在R上的函數f（x）滿足f（2）=1，且f（x）的導函數f'（x）>x1，則不等式f（x）<1/2x? -x+1的解集為_______________.

我們并不知道問題中的函數f（x）的解析式，只知道它滿足兩個條件：①f（2）=1，②導函數.f'（x）>x-l，求解不等式f（x）<1/2x?-x+1.這樣的問題稱為“求解函數不等式”.注意到（1/2x?-x+1）'=x-1，構造函數g（x）=f（x）-（1/2x?-x+1），本質就是解不等式g（x）<0.

g'（x）=f'（x） -x+1.由條件②知，g'（x）>o，所以g（x）在（-∞，+∞）上為增函數.又由條件①，知g（2）=f（2）-1/2×4+2-1=0，故由g（x）

由此可見，解此類函數不等式的步驟是：

Sl結合題設中的導數條件和所要求解的函數不等式，構造一個新函數；

S2確定新函數的導數符號，以確定新函數的單調性；

S3利用新函數的單調性及圖象中的特殊點，得到函數不等式的解集.

例2 函數f（x）的定義域是R，f（o）=2，對任意x∈R，f（x）+f'（x）>1，則不等式ex·f（x）>ex+1的解集為__________.

解析記函數g（x）=ex·f（x）-ex1，則g'（x）=ex（f（x）+f'（x）-1）.

因為對任意x∈R，f（x）+'（x）>1，所以g '（x）>0恒成立，所以g（x）在（-∞，+∞）上為增函數，因為g（0）=f（o）-11=0，所以不等式ex·f（x）>ex+1，即g（x）>g（0）的解集是x>o，所以不等式e·f（x）>ex+1的解集為（o，+∞）.

評析最簡單的構造函數方法是“g（x）一左邊-右邊”，這樣目標就是解不等式g（x）>o.

例3 已知f（x），g（x）（g，（x）≠0）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x<0時，f'（x）g（x）

解析

當x<0時，由題設得h'（x）

由f（-3） =0，得h（-3）=-h（3）=0.

由h（x）3.

不等式的解集為（-3，0）∪（3，+∞）.

評析對照導數條件f'（x）g（x）

例4 己知定義在R上的可導函數f（x）的導函數為f'（x），滿足f'（x）

解析因為f（x+2）為偶函數，所以f（x+2）的圖象關于直線x=o對稱，所以f（x）的圖象關于直線x=2對稱，所以f（0）=f（4）=1.

因為f'（x）

因為

不等式f（x）

評析導數條件“f'（x）

例5 已知函數y=f（x）對于任意的x滿足f'（x）cosx+f（x）sinx>0（其中'（x）是函數f（x）的導函數），則下列不等式不一定成立的是

（）

解析 設故B正確.A，C同理.故選D.

評析導數條件中的“+”未必是兩個函數的積的導數，本題中，（cosx）'=-slnx，所以，我們仍然是構造商函數.

例6 已知函數f（x）滿足x>o時，有則下列結論一定成立的是

（）

解析 由f'（x）=2X?，得f（x）=2/3x?+C.

當x>o時，由f'（x）=2x?>得

評析關鍵是確定常數C的取值范圍.導數條件f'（x）>變形為xf'（x）-f（x）>o，這樣就能聯想到構造什么樣的新函數了.

小結聯系已知導數條件和要求解的函數不等式，構造輔助函數是求解這類問題的常用方法.構造方法無非是兩個函數的和、差、積和商，通過研究輔助函數的單調性、奇偶性等性質得到函數不等式的解.特別注意函數ex、Inx，前者的導數永遠不變，后者的導數變成多項式，弄清楚它們的結構特點，有助于我們聯想得更快、更準.