抓住每個質疑 加深概念認知

呂建林

筆者在很多參考資料中都遇到這樣的問題，（a.6）c-（c·a）6與a垂直，正確嗎？

對于這個問題，我們大多數同學的解法是：由（（a·b）c-（c·a）b）·a=（a·b）·（c·a）-（c·a）·（b·a）=0，得出這兩個向量垂直的結論.這反映了大部分同學在解決數學問題時常見的弊病，單純記憶結論而不重視結論成立的條件.很多同學在遇到向量是否垂直的問題時，采用的方法都是將這兩個向量進行數量積運算，觀察結果是否為零，進而得出垂直或不垂直的結論.

在一次課堂教學中，筆者又一次遇到這個問題，我首先向班上同學明確指出，這個判斷是錯誤的，因為，兩個非零向量的數量積為零，才能得出夾角為直角的結論.這里，如果向量a或（a·b）c-（c·a）b是零向量，由教材《選修2-1》第92頁的結論可知：零向量與任一向量的數量積為0.雖然此時數量積為零，但是零向量與任意向量是共線關系，不是垂直的.

有一個同學爭論說，零向量的方向是任意的，那么它可以與一個向量成任意的角度，所以也可以認為是垂直的，結論沒有錯.教室里一下子喧鬧了起來，顯然這樣的說法讓很多人更困惑了.

此時，筆者重申，“零向量與任意向量共線”，這是蘇教版高中數學《選修2-1》教材第82頁上的規定.而共線向量即平行向量，所以零向量與任意向量平行，不是垂直關系.但是，“規定”這個說法顯然不能讓我班的孩子們滿意.

課后，我仔細回想這個問題，我想到了垂直的根源是兩個向量所成的角是直角，那么，能否從兩個向量的夾角的定義上去尋找突破口呢？果然，教材《選修2 -1》第91頁上給出了兩個向量的夾角的概念：a，b是空間兩個非零向量，過空間任意一點0，作OA=a，OB=b，則∠AOB叫做向量a與向量b的夾角.概念明確要求兩向量為非零向量，

第二天上課，筆者告訴學生，我們研究兩個向量的垂直關系，不能忘了垂直的判定基于對向量夾角的定義，而兩向量只有在非零的前提下，我們才研究它們的夾角的大小.所以，零向量與其他向量之間沒有夾角的說法，至少教材上沒有提及.而教材上只規定零向量與任意向量共線，就回避了夾角的大小問題.同時，我們也知道，兩個非零向量共線時，由他們同向或者反向可知它們的夾角為零度或180°，而零向量向量是任意的，所以，不能確定它與另一向量方向相同還是方向相反，也就無法確定夾角是多少.因此，“零向量與某向量垂直”的說法是站不住腳的.

課堂上，我們在遇到一些概念疑問的時候，不妨追究一下，也許能使概念的認知進一步深化，多個概念之間也能建立更為緊密的聯系，有助于我們形成知識網絡，提升認識水平.