新題展（函數與導數）

龔才權

先做兩道題，如遇麻煩，盡可能再理一理思路，如果還不能解決問題，看一看提示，做好后，對一對答案，最后結合命題者的反思，自己也反思一下.

做一做

1.已知函數f（x）=lnx和g（x）=k（x-1）.

（1）討論函數h（x）=f（x）-g（x）的單調性；

（2）若直線y=g（x）是曲線y=f（x）的切線，求實數k的值；

（3）若對任意兩個互不相等的正數x1，立，求實數k的取值范圍.

2.設函數f（x）=x?-（3m+3）x?+（3m?+bm）x+n（其中m，n∈R）.

（1）若函數f（x）在區間[3，4]內是單調減函數，求m的取值范圍；

（2）當函數f（x）有三個不同的零點時，m的取值范圍恰好是（- 3，-2） U（-2，0）U（O，1），求n的值；

（3）若函數f（x）有三個不同的零點x1，x2，x3，且滿足xl+x2+3=6，x1+x2+x2x3+X3Xl=9，求n的取值范圍.

看一看

1.（1）對h（x）求導，得h'（x）=1/x-k討論k的情況判斷h'（x）=1/k-k的正負，進而判斷函數k（x）的單調性；

（2）先設出切點（xo，Inxo），由f（xo）=g（xo）和k=f'（xo），聯立消去k，得到關于xo。的一個方程，解該方程，就能求出實數k的值；

（3）先將式子再換元，令即可轉化為研究“不等式

2.（1）先對f（x）求導，得到f'（x）=3（x-m）（x-m-2），從而可求得函數f（x）的減區間為[m，m+2]，由函數f（x）在區間[3，4]內是單調減函數，故有[3，4]∈[m，m+2]；

（2）先研究函數f（x）的單調性，得出函數f（x）的極大值為f（m），極小值為f（m+2）；則函數f（x）有三個不同的零點，等價于f（m）>0且f（m+2）<0；

（3）先設f（x）=（x-x1）（x-x2）（xx3），結合x1+x2+x3=6和x1x2+x2x3+x3x1=9，以及題設中函數f（x）的表達式，可得.f（x）=x?-6x?+9x+n；則問題可轉化為：函數f（x）=x?-6?+9x+n有三個不同的零點，求實數n的取值范圍.

對一對

1.解：（1）h（x）=lnx-k（x-1），h（x）f（m）>O且f（m+2）<0，即m?+3?+n>0且（m+2）?（m-1）+n<0.

據題意可知，上述不等式組的解集恰為（-3，-2） U（-2，0）U（0，1），所以當m=-3時，（-3）?+3·（-3）?+n≤O，得n≤0；當m=-2時，（-2+2）?·（-2-1）+n≥0，得n≥0.因此=0.

此時，f（x）=x?-（3m+3）x?+（3m?+6m）x=x·[x?（3m+3）x+3m?+6m].

因為函數f（x）有三個不同的零點，則x?（3m+3）x+3m?+6m=0有兩個異于0的不等實根，故△=（3m+3）?-4（3m?+6m）=3m?-6m+9>0，且0?（3m+3）·0+3m?+6m≠O，

解得m∈（-3，-2） U（-2，0）U（0，1）.綜上，n=0.

（3）據題意可設f（x）=（x-x1）（xx2）（x-x3），則f（x）=x?-（x1 +x2+x3）x?+（x1+x2+x2x3+x3x1）x-x1x2x3，即f（x）=x?-6x?+9x-x1x2x3.

對比f（x）=x?-（3m+3）x?+（3m?+6m）x+n，得m=1，n=-x1x2x3.

所以f（x）=x?-6x?+9x+n，f'（x）=3x?-12x+9=3（x-1）（x-3）.

所以f（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1，3）上單調遞減，在（3，+∞）上單調遞增，

所以f（x）的極大值為f（1），極小值為f（3）.

據題意，f（x）有3個不同的零點，即函數y=f（x）的圖象與x軸有三個不同的交點.

故只需f（x）極大值=f（1）>0且f（x）極小值=f（3）

想一想

1.（1）求單調性的解題步驟：求函數h（x）的定義域；求函數h（x）的導函數h'（x），并化簡；令h'（x）=o，求出所有的根，并檢查根是否在定義域內；列表：注意定義域的劃分，h'（x）正負號的確定；根據列表情況得出答案.

（2）如何求解方程是本小題的一個難點，因為所求解的方程不是一個常見的二次方程，所以不能按照常規思路進行因式分解；對于此類問題，我們的基本策略是猜特解，研究單調性.在高中階段，所要求解的一些非常規方程一般都不會太復雜，我們可以嘗試猜出它們的一些特解，再通過討論相應函數的單調性加以驗證.

（3）本小題的一個難點是變形和換元，在（1，+∞）上恒成立”的問題.變形和換元的目的都是為了減少變量，化繁就簡，將陌生的問題轉化為我們熟悉的問題進行處理.

2.（1）“函數f（x）在區間[3，4]內是單調減函數”，通常轉化為恒成立問題：f'（x）≤o在x∈3，4上恒成立，且僅在個別點處等號成立.就本小題而言，嘗試對f'（x）進行因式分解，求出f（x）的減區間，更簡單一點.

（2）通過區間的端點位置，求出n的值；估計有不少解這道題的學生到此就會戛然而止.客觀上講，作為一道解答題，解到此就停止肯定是有失嚴謹.所以本小題容易犯的一個錯誤就是不對求得的n的值進行驗證.

（3）本小題實質上是：已知一個三次函數f（x）有三個不同的零點，求其參數n的取值范圍.這是一個我們較熟悉的問題，只不過本小題對f（x）的表達式進行了包裝，需要我們多繞一個彎，所以，碰到陌生的問題情境，關鍵是要能實現轉化和化歸，化陌生為熟悉，化繁就簡.此外，求解數學問題時，有時候也需要大膽猜測，這樣在遇到比較陌生的問題時才能較快地找到正確的解題方向.