導數(shù)知識的聯(lián)系與貫通

陸賢彬+丁江濤

導數(shù)作為工具，其功能十分強大，可以研究函數(shù)的單調(diào)性、可以研究函數(shù)的極值（或最值），還可以研究在某種條件下不等式（恒）成立的問題等.用導數(shù)處理這些問題，思路明確、方法簡單、易于掌握，并且能凸顯問題之間的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化以及相互貫通的辯證關系.下面我們就以“簡”的視角來理解一下作為工具的導數(shù).

1.導數(shù)是用相對簡單的雨數(shù)研究復雜的雨數(shù)

我們看下面幾個導數(shù)：

若f（x）=c（c是常數(shù)），則f'（x）=0；

若f（x）=ax+b，（a，b是常數(shù)且a≠O），則f'（x）=a；

若f（x）=ax?+bx+c，（a，b，c是常數(shù)且a≠0），則f'（x）=2ax+b；

若f（x）=ax?+bx?+cx+d，（a，b，c，d是常數(shù)且a≠0），則f'（x）=3ax?+2bx+c；

可見，導數(shù)可以將研究“常數(shù)”轉(zhuǎn)化成研究“0”；研究“一次函數(shù)”轉(zhuǎn)化成研究“常數(shù)”；研究“二次函數(shù)”轉(zhuǎn)化成研究“一次函數(shù)”；研究“三次函數(shù)”轉(zhuǎn)化成研究“二次函數(shù)”等等……也就是說通過研究低一次的函數(shù)來研究高一次的函數(shù)，這自然簡單了.

我們再看下面幾個導數(shù)：

若f（x）=1nx，則f'（x）=1/x；

若f（x）=x+1nx，則f'（x）=1+1/x；

若f（x）=logax，（a是常數(shù)且a>0，a≠1）則f'（x）=；

可見，導數(shù)可以將研究“對數(shù)”轉(zhuǎn)化成研究“分式”，當然要簡單些，我們還可以再列舉一些，同學們可以自己試試.

2.導數(shù)是用相對簡單的方法替代復雜的方法

我們看一個例子：求函數(shù)f（x）=（x-2）?（x-1）的單調(diào)增區(qū)間.

方法一：不用導數(shù)處理，從函數(shù)單調(diào)性的定義人手.

設xl

因此可以分別在區(qū)間（-∞，4/3），（4/3，2），（2，+∞）上研究函數(shù)的單調(diào)性.

不再做下去了，下面還有點復雜，同學們自己可以做一下.這里不是介紹方法而是想說明一下：用這一方法處理起來比較復雜.

方法二：用導數(shù)處理.

f'（x）=2（-2）（x-1）+（x-2）?=（x-2）（3x-4）.由f'（x）>O得函數(shù)f（x）一（x-2）?（x-1）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，4/3），（2，+∞）.

比較一下，明顯地看出：方法2簡單.

事實上，對于方法1，要比較任意兩個白變量對應的函數(shù)值的大小，而且白變量所在的區(qū)間還需要先確定，這本身也很難，對于方法2，只要先求出基本函數(shù)的導數(shù)，再解一個關于x的二次不等式就行了.

3.導數(shù)求得單調(diào)性進而解決一系列問題

運用導數(shù)的方法研究函數(shù)的性質(zhì)，其核心是研究函數(shù)的單調(diào)性.這是因為如果知道函數(shù)的單調(diào)性，我們就可以畫出它的草圖，結合.可觀察函數(shù)的“極值”，進而可求“最值”、“值域”，也可處理“函數(shù)的零點”、“不等式恒成立”等問題，判斷函數(shù)的單調(diào)性是運用導數(shù)的方法研究函數(shù)性質(zhì)的基石.問題是如何才能做到既直觀、義準確呢？

首先“以數(shù)定形”，根據(jù)導數(shù)的定義，我們可以用“關于導函數(shù)的不等式”來刻畫“函數(shù)的單調(diào)性”：若，則函數(shù)是增函數(shù)；則y=f（x），x∈A是減函數(shù).所以，研究函數(shù)單調(diào)性的關鍵是判斷導函數(shù)y=f'（x），x∈A的函數(shù)值的符號，即判斷“f'（x）>o”或“、f'（x）<0”.對于這個問題，大多數(shù)同學會先求解方程f'（x）=0的根，然后再判斷何時為“正”、何時為“負”，這樣處理也未嘗不可，但由于沒有抓住問題的關鍵——解不等式，有時容易犯錯，我們可以嘗試“以形助數(shù)”.

以三次多項式函數(shù)為例，設y=f（x）的導函數(shù)f'（x） =ax?+bx+c（a≠0），試討論其單調(diào)性.

分析：對其中的a和△進行討論，共分四種情況，我們分別作出其導函數(shù)和函數(shù)的草圖：見（圖1～圖4）.

結合這些.，所有三次多項式函數(shù)的單調(diào)性一目了然.這里強調(diào)的是：當△>o時，宜將f'（x）因式分解，寫成兩根式：f'（x）=a（x-x1）（x-x2），這樣處理不僅可以快捷地作圖，而且能直觀地判斷導函數(shù)的符號.

仍以上面的題目為例，可以列一個表，解決一系列問題.

求函數(shù)f（x）=（x-2）?（x-1）的單調(diào)增區(qū)間、單調(diào)減區(qū)間、極大值、極小值.

解 f'（x）=2（-2）（x-1）+（x-2）?= （x-2） （3x-4）.

列表：

故求函數(shù)f（x）=（x-2）?（x-1）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，4/3），（2，+∞），遞減區(qū)間是（4/3，2），極大值是4/27，極小值是o.當然本題還可以在某個范圍內(nèi)求最值（如：x∈[0，2]時，求f（x）的值域）；或是在某種條件下不等式恒成立的問題（如：當x∈[0，2]時，不等式（-2）?（x-1）≤a恒成立，求a的范圍）等等.

用導數(shù)可以解決一系列有聯(lián)系的問題，函數(shù)中的很多問題從而得到有效貫通，這為我們整體認識函數(shù)提供了一個很好的平臺.隨著學習的深入，我們會逐步感悟?qū)?shù)的功力，逐步感悟知識間的聯(lián)系與貫通，逐步感悟數(shù)學的本質(zhì)是求簡.