構建邏輯連貫，重視數(shù)學方法

謝建寶

摘 要：弧長與扇形面積的內(nèi)容要點是計算。經(jīng)歷探索兩個計算公式的過程，體驗特殊—一般—特殊獲取新知識過程中的重要作用；力求學生參與到課堂教學的每一個環(huán)節(jié)，提高課堂教學的實效性，重視學習方法的引導，積累學生的數(shù)學活動的經(jīng)驗。

關鍵詞：弧長與扇形面積；數(shù)學方法；教學實錄；教學評析

【教學內(nèi)容】

人教版課標教材九年級上冊“第二十四章·圓”第14課時。

【內(nèi)容分析】

圓是日常生活中常見的圖形之一，也是平面幾何中的基本圖形，其性質(zhì)（軸對稱、旋轉(zhuǎn)不變性）在生產(chǎn)、生活領域有著廣泛的應用。它不僅在幾何中有重要的地位，而且是進一步學習數(shù)學以及其他學科的重要基礎。“弧長與扇形面積”是在小學學過的圓周長、面積公式的基礎上推導得出。應用這些公式，就可以計算一些與圓有關的簡單組合圖形的面積，這些計算不僅是幾何中基本的計算，也是日常生活中經(jīng)常要用到的，運用這些知識也可以解決一些簡單的實際問題。此外，公式中的變形如S扇=lr（圓錐的側面展開圖面積計算）及有關計算在學生中體現(xiàn)出一定的難度的。

【教學目標】

1.了解扇形的概念，理解n的圓心角所對的弧長與扇形面積的計算公式并熟練掌握它們的應用。

2.從圓的周長、面積公式入手，經(jīng)歷特殊到一般的過程，由微觀到宏觀，探究從n的圓心角所對的弧長l=，并進而類比探究扇形面積S扇=的計算公式。

3.結合教學過程，是學生認識特殊到一般之間的關系，經(jīng)歷探索過程，培養(yǎng)學生的探索能力和應用公式解決問題的能力。

【教學重、難點】

重點：弧長和扇形面積公式的推倒過程以及公式的應用。

難點：弧長和扇形面積公式的探索以及熟練應用公式解決實際問題。

【教學過程實錄】

（一）情境引入

師：（展示課件）同學們，屏幕上展示的是學校召開運動會的場景“在田徑200米運動跑比賽中，每位運動員的起跑位置相同嗎？每位運動員彎道的展直長度相同嗎？”

生眾：不相同。

師：同學們知道其中的緣由嗎？（老師詢問的眼光）

生1：因為每一條彎道的半徑不相同。

師：只有這個條件？

生2：在相同的圓心角的前提下，“每一條彎道的半徑不相同”。

師：同學們已經(jīng)看出問題的本質(zhì)了。

（二）新知探究

師：在本章第一課時可知，彎道這一段曲線長叫做弧長，剛才同學們的回答中可以總結出：一段弧的長度由何因素決定？

生3：這段弧所對的圓心角和半徑。

師：很好！這就是本課時我們要學習和解決的第一個問題。（多媒體展示如下問題）

思考1：①半徑為R的圓的周長是多少？

②圓的周長可以看作是多少度的圓心角所對的弧？

③1°的圓心角所對的弧長是多少？2°、3°、…140°呢？

④n°的圓心角所對的弧長是多少？

⑤（公式得出后展示）對于公式l=，當r一定時，你能從函數(shù)的角度來理解弧長與圓心角的關系嗎？

（上述問題的展示，應該是循序漸進的，學生都能按照邏輯思考并回答問題，對弧長的概念鞏固及其計算，由一般到特殊的認識過程，思路是清晰可見的。）

（多媒體展示三道選擇練習題，促使鞏固弧長公式l=）

例1：制造彎形管道時，要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算圖所示管道的展直長度L（單位：mm，精確到1mm）。

師：通過前述內(nèi)容的展示，審清此問題題意，應如何切題解決？

生4：根據(jù)題意圖示，此彎管應分三個部分計算：兩直一彎。

師：主要針對計算的是哪一部分？

生眾：中間彎曲的部分，也就是弧長的計算。

（由生口述，教師板演）

解：由弧線長公式可得，弧AB的長：l==500π≈1570（mm）

∴所求的管道的展直長度為2970 mm

師：好！弧長公式的推倒及鞏固到目前為止基本上完成，也達到了目的。可是再倒回去細看，不知道同學們是否注意到公式中的n和180都沒有帶上“°”（度）這個符號。（同學們的表情是驚訝的）

師：回顧推倒公式l=過程中，n是1°的圓心角的倍數(shù)，n不帶單位，180也是如此。

（（1）使學生明確弧是圓的一部分。因為引導學生分析弧長與圓周長之間的關系。使學生理解圓周角是1°的弧長等于圓周長的是建立在弧長公式的關系上，從而推出n°的弧長公式。讓學生體會部分與整體之間的關系，并能應用比例的方法解決部分與整體之間的關系。（2）設計文體，意在讓學生加強新舊知識的聯(lián)系，明確在同圓中，弧長是隨所對的圓心角的變化而變化的，當圓心角一定時，弧長也隨之確定。）

（配以適當?shù)撵柟叹毩暎?/p>

師：接下來我們一起研究本節(jié)課的另外一個問題：扇形的面積。

首先結合圖形認識扇性的定義：（教師板書）由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形。

（出具一組圖形，由學生辨別出哪些圖形是扇形）

師：認識清楚扇形的定義和圖形后，扇形的面積就成了我們師生在本節(jié)課共同要解決的問題，根據(jù)同學們預習的情況，你能類比“弧長”的學習方法，推導出“扇形的面積”嗎？

（學生思考、討論，教師深入其中參與小組互動，待大多數(shù)同學點頭肯定后，請學生表述）

生5：老師，同樣可以從“圓面積” 作為基礎出發(fā)。

師：好，你說說。

生眾：圓可以看作圓心角為360°的“大”扇形。

師：非常好！你不但把圓和扇形有機地聯(lián)系起來，還用了一個“大”字，惟妙惟肖；（這個“大”字，體現(xiàn)了該生的數(shù)學思維和數(shù)學智慧，不但呈現(xiàn)了數(shù)學知識，還呈現(xiàn)了數(shù)學中的邏輯連貫的構建）請繼續(xù)。

生5：因為圓面積是S=πR2，那么1°的圓心角所對的扇形面積就是

師：漂亮，“龍的眼睛出來了”！（教師作稍作停頓手勢，使得絕大多數(shù)學生的思維都有一個緩沖的過程，都能跟上生的思維出發(fā)點，然后趁熱打鐵）那么2°、3°、4°…圓心角的扇形面積分別是多少？

生眾：

師：好，已經(jīng)初具規(guī)模了。（眼光繼續(xù)凝視著生）接下來，你會給我們提出什么問題？

生5：n°圓心角的扇形面積是多少？

師：請生回答。

生6：n°圓心角所對的扇形面積為S=。

師：同學們真了不起！通過前半節(jié)課對“弧長”的學習，我們用類比的方法，同學們自身探討除了“扇形的面積公式”，這種類比的學習，貫穿于整個中學數(shù)學基礎知識的學習過程，同學們要好好地掌握它。

（評析：扇形的面積公式的學習，完全可以相信學生具有類比的思維能力，在學生已有認識的基礎上把學習的主動性放手給學生，既尊重了學情，又調(diào)動了學生的積極性，更重要的是學生在師生共同營造的探究氛圍中主動思考，突出了重點，突破了難點。）

（輔以3題適當?shù)撵柟叹毩暎?/p>

師：現(xiàn)在我們可以總結：① 弧長的公式：l=

②扇形面積公式：S=

（在PPT上展示這兩個公式）

師：這兩個公式寫在同一個位置，請同學們仔細觀察，有什么問題可以思考嗎？

（學生思考、討論，教師深入其中。）

生7：和弧長公式相同，扇形面積公式中的n、360同樣不帶單位。

師：個中緣由剛才在弧長公式中已經(jīng)闡述，關鍵詞是“倍數(shù)關系”；還能觀察出其他問題嗎？

生8：從兩個公式的聯(lián)系和區(qū)別看，兩個公式的分母不同，且扇形的面積公式中的R帶有平方。

師：細微指出見真情！這也是我們學習這兩個知識點（公式）的應用過程中必須清醒的一面，很有必要。還能再對這兩個公式細細品味嗎？

（學生陷入沉思，教室一片寂靜）

師：（教師提示）如果對公式S=進行適當?shù)摹爸狻蹦兀磕堋皽悺背鲆粋€弧長公式嗎？（適當提示后，從很多學生的眼神中能讀出“恍然大悟”）能試試嗎？

生9：從公式S=能拆解出：S=·R，其中出現(xiàn)了，就是弧長公式的一部分。

生10：（搶著說）這樣S扇=lR了。

（教師希望看到的就是這種“接龍”）

（教師板演S扇=lR）此結果，是通過比較扇形面積和弧長公式后，用弧長表示扇形S扇=lR）

（評析：“細細品味”，教師雅致略帶“俏皮”的言語，悉心的牽引，促使學生構建邏輯連貫的數(shù)學思維，也有助于學生多角度探究問題意識的形成。）

（三）知能升級（施以適當?shù)幕A鞏固練習及提高練習，略）

（四）整理反思

師：通過本節(jié)課的學習，同學們都有哪些收獲？

生11：對弧長和扇形面積有了比較深刻的了解。

師：在這兩個公式的推導過程中，我們抓住了哪些關鍵點？

生12：事先都是從整個圓入手，又抓住了“1°的圓心角”這一微觀而又具體的知識點，循序漸進，直至n°圓心角，形成了“宏觀—微觀—宏觀”的思維鏈條。

師：好樣的，生的總結堪比數(shù)學老師還精辟。

生13：探究扇形面積公式與探究弧長的計算公式的思維和方法是一致的，用到了數(shù)學學習過程中的“類比”。

師：對，“類比”是數(shù)學學習過程中一種重要的思想方法，類比舊知學新知，是同學們學習數(shù)學新知識的有效策略。

（配合多媒體展示，教師總評）

弧長公式，扇形的定義，扇形的面積公式以及弧長公式與扇形面積公式之間的聯(lián)系。（S扇=lR）

推導兩個公式過程中的思路：宏觀（圓）—微觀（1°、2°、3°、…的圓心角—宏觀（n°圓心角），體會到部分與整體之間的關系。

類比的數(shù)學學習方法在學習過程中的充分體現(xiàn)。

（五）布置作業(yè)：略

編輯 謝尾合