求函數值域的方法探析

筅廣西南寧市第四十二中學　潘普昂

求函數值域的方法探析

筅廣西南寧市第四十二中學潘普昂

函數的基礎性強，特征明顯，是高中數學教材中非常重要的部分，習題中對函數的考查也是必不可少的，求函數的定義域和值域的問題是考查的重中之重，研究函數的值域問題不但要重視對應法則的作用，還要重視定義域對值域的制約作用.對于求函數值域的問題一直是學生比較頭疼的問題，實際上此類問題并不難，方法得當，會起到事半功倍的效果，但是方法不當，就會成為學生的難關，無法跨越.因此，我們有必要專門探討求函數的值域的方法，根據不同函數的特點總結不同的解題方法，將之分門別類，提高學生對這一問題的認識和解決值域問題的能力.本文通過對典型例題的講解來歸納函數值域（最值）的求法，幫助學生開闊眼界，拓寬思路，掌握解題技巧，提高解題能力.

一、觀察法

觀察是思維的窗口，是認識的開始，是解決問題的基礎.觀察能力是學好自然科學應具有的一項基本素質.觀察法是指帶著一定的目的，用自己的感官直接觀察，從而獲得答案的一種方法.高中數學題中無論是題設還是結論，不管是數值還是圖像都隱藏著無限的玄機，善于觀察才能發現其中的秘密，分辨出真假，剝下神秘的外衣，你就會驚奇地發現原來題目并不難.所以，解決數學問題首先要細心觀察，找出問題的突破口，抓住解題的關鍵，理出解題的思路，這樣問題就迎刃而解了.觀察法求值域適合那些比較簡單或者比較明顯的函數（比如根式里的數值大于等于零，分母不能為零等），通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，直接能觀察出函數的值域.

分析：根據算術平方根的性質——正數的算術平方根是正數，先求出的值域，接下來3＋的值域就很好解決了.

本題通過直接觀察算術平方根的性質（算數平方根具有雙重非負性：①被開方數的非負性，②值的非負性）而獲得解題思路，這種方法適合一類函數值域的求法，簡潔明了，不失為一種好辦法.

本題根據“二次根式中被開方數只能是正數”這個特點，直入主題，簡單快捷.

二、反函數法

直接求函數的值域困難時，可以采用反函數法.反函數法體現逆向思維的思想.了解這種方法之前，首先要了解反函數的一條重要性質：反函數的定義域是原函數的值域.當函數的反函數存在時，我們利用則其反函數的定義域就可以輕松求得原函數的值域.

分析：根據反函數的性質，將原函數y關于x的函數y=f（x），化為x關于y的函數（即反函數）x=f-1（y），利用觀察反函數的定義域，來求原函數的值域.本題的思路就是先求出原函數y＝的反函數，即x＝，再求出這個反函數x＝的定義域為y≠1的實數，最后根據反函數的定義域就能輕松求得原函數的值域｛y｜y≠1，y∈R｝.

利用反函數法求原函數的定義域有一個局限，就是必須在原函數存在反函數的前提下，此方法才可用.

三、配方法

當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數的題型，可以利用配方法求值域.此種方法關鍵在于正確化成完全平方式，即y＝ax2＋bx＋c（c≠0）經過配方得到y＝a（x-m）2＋n的形式，由此可直接觀察出值域.

分析：此題不是二次函數，我們首先將其變形，變成二次函數.將函數y=x+變形得y-x＝，兩邊平方得y2-2yx＋x2＝2x-x2，再變形得2x2-2（y＋1）x＋y2＝0，被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求解.

例5和例6殊途同歸，同樣都是采用配方法求值域，但是配方方式完全不同.做題時要根據實際情況，隨時改變思路，千萬不能教條，否則，方法反而成為絆腳石.配方法是數學中一種重要的思想方法，希望同學們能夠靈活運用.

四、單調性法

函數的單調性也可以叫作函數的增減性，它是函數眾多性質中的重要性質之一.當函數（fx）的自變量在其定義區間內增大（或減小）時，函數值（fx）也隨著增大（或減小），則稱該函數在該區間上具有單調性.如果函數y＝（fx）在給出的定義域區間上是嚴格單調的，那么就可以利用端點的函數值來求出值域.

分析：為了方便起見，可以令t＝sinx，t∈（0，1］，原函數變形為y＝t+（t∈（0，1］），利用單調性分情況加以說明.

解：令t＝sinx，t∈（0，1］，則原函數變形為y＝t+（t∈（0，1］）.當t＞0時，t+＝4，當且僅當t＝，即t＝2時，取“＝”.

有些函數在定義域內的部分區間上是增函數，在部分區間上是減函數，此題當t∈（0，2）時和當t∈（2，+∞）時增減情況就不一樣，一定要分別加以說明.

五、換元法

換元法主要是把題目中出現多次的一個復雜的部分看作一個整體，通過簡單的換元把復雜函數變為簡單函數，通過這個換元后得來的簡單函數的性質就可以求函數的值域.這種方法適用于形如y＝ax+b±a、b、c、d均為常數，且a≠0）的函數.換元的方法主要有代數換元法和三角換元法，我們使用換元法時，要特別注意換元后新元的范圍（即定義域）.

例10求函數y=4x-6×2x+1，x∈（2，3）的值域.

分析：令t=2x，原函數就變為y=t2-6t+1，引進這個過渡函數在題中起到橋梁的作用.

解：令t=2x，則4x=t2，且x∈（2，3）時，t∈（4，9）.

所以y=t2-6t+1=（t-3）2-8.

那么，當t∈（4，9）時，ymax=（9-3）2-8=28，ymin=（4-3）2-8=-7.

所以所求值域為［-7，28］.

熟練掌握求函數值域的方法是考試大綱的明確要求，也是高考常考的題型.上面介紹的幾種方法都具有很強的針對性，不能普遍使用，因此，選擇方法之前要審慎觀察，找出問題的顯著特點，根據其特點對癥下藥，才能快速準確地解決問題.這就要求學生平時多練習，多積累，方法用多了，技能熟練了，自然就熟能生巧，信手拈來了.F