網絡環境下數學課程軟件項目化教學設計

付艷茹++馬強

【摘 要】

基于增益性提升學生學習數學課程的成效之目的，本文研究了網絡條件下數學課程項目化教學的軟件協作和融合過程，分析了網絡條件下融合不同數學軟件工具的實現過程，討論了數學課程的項目化教學設計和測量結構，設計了數學教學單元的軟件部署形式、學習要素和軟件實現的普適性方法。

【關鍵詞】 數學課程；項目化；軟件；網絡；教學

【中圖分類號】 G423 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1009—458x（2016）01—0057—06

網絡時代教育技術的飛速發展，計算機輔助數學教學方式發生了急劇變化，一改傳統數學課程“粉筆+黑板”式的單一教學模式，較穩定地形成以PPT幻燈片展示和數學教學網站（包含大規模開放在線課程，MOOC）為手段輔助教學的形式，可分別喻之為1.0版和2.0版時代。這些手段加大了單元時間內的教學密度，學生可靜態重現教學內容以便課后再復習，有較多文獻研究過同類問題[1][2][3]，其不足之處是數學教學因為受限于非實時性而缺乏探究性實現過程，師生或學生之間遠程協作存在困難。后期改進是數學實驗的形式[4][5]，即將諸如MATLAB、MATHMATICA和MINITAB等數學軟件引入課堂，通過數學軟件將抽象思維和形象思維有效結合起來，重點突出數學的應用性，提高了不同層次學生學習數學的興趣，可形象地喻之為2.0+版時代，缺憾之處是未能有效地基于網絡形成互動式學習系統，課上教學與課下實驗仍然處于分割狀態。無論是1.0、2.0抑或2.0+版時代，師生雙方都面臨學時少、門數多、內容雜、短平快的現狀以及功利化就業導向的影響。此外，教學過程中面對面的交流較為有限，因材施教條件發生很大變化，如何優化個人學習數學尚未有突破性進展。

從教育技術條件看，網絡日益普及和軟件技術應用重心加速下沉，使教學的實施及學習評價等環節更多趨向基于網絡來完成，這為數學課程項目化提供了一種實現可能。由于以往項目化教學多定義在計算機學科范疇[6]，而數學限于抽象形式，至今缺乏與軟件融合的項目化教學設計先例，即使是在2.0+版時代，諸如MATLAB、MATHMATICA和MINITAB等國外數學軟件進入教學領域，也僅是定量附加了驗證式數學實驗，仍與數學內容相對獨立，缺乏軟件與數學內容的串并和交叉[7][8][9][10]。

盡管本義上的項目化教學多以軟件課程指代，并以單機或局域網等教育技術條件居多，但普適性軟件課程并非拘泥于計算機學科本身，數學學科仍可成為應用對象，只是師生在數學上遠程協作存在困難，如網絡實時環境下的信號仿真、公式解析顯示、公式在線編輯、在線手繪3D作圖、復雜數學計算等不易實現。如果能克服相應的技術障礙，就有條件將“精講多練、項目拉動”的教學策略具體化，把數學知識內容分散于軟件單元模塊中，通過軟件教學資源牽引學生協作學習數學活動，進而增益性提升學生的學習興趣，增強學習成效。本文將數學課程借助數學軟件實現項目化教學的模式形象地比喻為3.0版時代。

一、數學課程軟件項目化的內涵與特征

從教育技術的源流看，如果拋開數學研究對象，那么軟件項目化教學可追溯到國外已泛化的項目化教學模式，后者歸于行為導向的教學方法，其前身源于案例式教學和模塊化教學。從歷史上看，案例式和模塊化教學曾一度成為項目化教學的核心，是一種師生雙方直接參與對案例或疑難問題進行討論的教學方法，具有促進學生從理論到實踐遷移的作用。在國外，最早是由美國哈佛工商學院的卡普蘭（D.Copeland）博士于1910年提出，并被應用到工商管理教學中。案例教學法的前提在于案例的真實性。卡普蘭引用的案例源于實際的工商管理情景，教學實施表現為學生自行閱讀、研究和小組討論，再經教師引導而進行全班范圍的討論。它顯著區別于傳統教學方法：教學內容有獨特的來源、性質和內容編排體系，教學方法不僅單獨指向教師，還要求師生雙方都應有較大的行為變化。由于案例教學是針對實際案例展開的學習與討論，著眼點在于提高學生的創造力和實際解決問題的能力，而不僅僅是獲得一些固定的原理和規則，其結果是促使學生在經驗和活動中獲得知識，提高表達和設計多種解決方案的能力。在網絡尚未普及的時代，案例教學法就已普及開來，衍生了包括模塊化或項目化在內的許多相關理論研究成果。美國學者喬依斯（B.Joyce）和許瓦斯（B.Showers）于1982年在等組實驗中發現，經歷案例式或項目化的師生互動指導，有近75%的學生能在課堂上直接有效地應用到所學的內容，而采用傳統的教學方式，只有15%悟性較高的學生能有同樣的表現，大部分學生無法直接消化教學內容，需要課后再復習。在二人所完成的等組實驗中，教學設計中的負荷主要來源于案例或項目的拉動，而負荷的效率達到了60%。30多年來，以項目來拉動教學的策略流行于國外且已呈現組件化，并在IT行業的軟件類培訓上獲得推廣，但在數學學科領域，尚未有基于網絡和軟件實現項目化教學的普適性應用。

數學課程軟件項目化教學模式是師生在網絡環境下圍繞數學知識點和軟件技能需求，綜合運用不同軟件共同實施一個相對完整的項目工作而進行的教學活動，是在同一個教學時序上充分結合抽象思維與形象思維的行為導向性數學教學方法。它具有不同于傳統數學教學模式的顯著特征：一是數學教學無論是課上還是課下，均基于網絡實施；二是數學教學過程以探究和互動為主，具有極高的實時性和交互性；三是將數學軟件和數學內容進行教學協同，不單獨以數學教材內容為中心；四是以可選模塊的組件方式，按數學邏輯部署數學軟件，數學內容需分解為適宜相對獨立操作的項目化教學單元和教學元素；五是整個數學教學過程具有相對明確的時間單元，有相對完整的數學教學小項目作品，并以此作為教學測量與評價的依據。

從本質上看，稱數學課程軟件項目化教學為3.0版時代，不外乎案例式或項目化教學的網絡版。其中的數學軟件也并非是要求學生額外學習的知識，而是強調數學和軟件的教學協同和應用，以此作為教學負荷來提升學生學習數學的興趣和體現數學的應用價值，使之在學生解析不同難度系數的數學問題時，能通過數學小項目來反映和記錄學生個人注意力和工作負荷的數據信息。教師依據數據來分析學生對不同受挫級別的反應，并按項目幅度調整不同的教學負荷，希望能夠在學生學習過程中的重要時刻給予干涉。以教育技術手段幫助學生，最終的目的是優化個人學習數學的能力，提升個人學習數學的效果。

二、數學課程軟件項目化教學設計過程

（一）項目化教學的基本原則

數學課程軟件項目化教學設計的重點是確定項目化教學要素、匹配教學資源和協作學習活動，方法雖不固定，但其基本原則是兼顧數學教學和數學軟件的本質特點，按照“任務驅動”和“做中學”的技術路線，按倒推法將“崗位-能力-課程”微觀化，以需求（而非以教材）為中心來確定項目單元，以“教為主導、學為主體、疑為主軸、動為主線”重組數學內容，明確指出項目化教學的內容、起止時間和完成的作品等因素。而項目化教學的實施過程也就是在網絡平臺環境下將“精講多練、項目拉動”的教學策略具體化，遵循嚴謹的軟件技術邏輯，將不同的數學知識體系按不同的教學階段分解為項目化單元模塊，確定教學內容的形式、單元學時、單元長度、教學密度、設備資源條件等項目要素，以及數學知識傳遞、解決和軟件實現的方法。限于篇幅，本文僅就軟件部署、項目化單元模塊分解和教學測量等部分展開討論。

（二）數學軟件部署的組件形式

數學課程的項目化教學需要必要的數學軟件支撐，僅靠傳統的只提供教學資源的網站及教師課堂上的PPT幻燈片播放是遠遠不夠的，無法通過軟件加入負荷吸引學生與教師互動，因為靜態的PPT只是說明，即使是附以動態的多幅FLASH，也只是最大程度的仿真，學生仍然不能動手實時參與和驗證，只能寄托于抽象思維，而師生的實時互動恰恰是項目化教學要達成的目標之一。一旦基于網絡通過數學軟件形成實時互動，師生雙方已知者和未知者的自然身份將變得模糊，呈現出探究性的數學教學形態。美國亞利桑那大學計算機系的費德里科·希瑞特博士（Federico.Cirett）和信息學院的卡羅爾·比爾教授（Carole.Beal）于2012年開展的基于網絡輔助學習代數的研究，通過軟件算法創建分類以替代概率統計，通過硬件傳感器記錄學生的學習負荷數據，結果證明了基于網絡的軟件介入和干涉，互動式學習是有效的。

鑒于此，當研究的對象普適性過渡到一類數學課程問題時，如何部署數學軟件以達成教學協作，就成為數學課程實施項目化教學的前置條件。受專業軟件的限制，并非每種數學軟件都可以在時間單元限制內移植到課堂之上，但可以項目化教學組件的形式引入軟件，它的負荷是可以測量的，可以按數學教學所需引入軟件模塊而不限制具體的語言，即數學軟件的部署可基于原有1.0、2.0、2.0+ 的積累加以展開與改進。

在1.0版時代，軟件是單門課程非實時為主的常規化教學網站形態，以提供教學資源（如PPT幻燈片、DOC文檔、PDF文檔、考試樣卷、可回放或點播的教學視頻文件等）為主體特征。其主要問題是網站同質、靜態、非實時，在學生的學習過程中師生難于實時交互。但已有數學教學資源仍可按3.0版時代實時互動的教學要求提取和利用。

在2.0版時代，軟件是基于云平臺實現教學協作的，被稱為“云計算輔助教學”（CCAI）。這類云平臺包括微軟公司的Windows Live、IBM 公司的Blue Cloud、阿里巴巴公司的阿里云、北京圣博公司的圣博云、北京百會公司的百會云、上海釋銳公司的EEOA、上海云未公司的教育云以及Google公司的Google API協作平臺等。其中以Google API在線應用程序最為著名，它遠程運行于Google公司數量龐大的服務器上，包含了搜索引擎、套件、功能模塊（如日歷、文檔、演示文稿、郵件、聊天、組群、筆記本、地球、地圖、博客、相冊、網上論壇等），支持高度有效的整合，用戶免維護且可方便列入項目化教學的元素。遺憾的是，Google公司的相關業務已經退出了中國大陸市場，現在原已建成的教學示范資源基本已棄用，而在其他云平臺上所建的CCAI軟件資源仍然可為3.0版時代所用。

前述兩個類別的軟件工具是以普適性為基準的，重于學習內容的展示以及預習和復習，對數學課程的項目化要素分解以及實時優化個人學習有較多的局限。在從2.0+遷移至3.0的過程中，數學軟件的協作有了更多的組件形態，包含了更加直觀的數學可選模塊，可直接從MATLAB、MATHMATICA和MINITAB等國外專業化數學軟件中抽取，均能輔助師生在課堂上實現信號仿真、數學建模、公式解析顯示、2D或3D作圖、復雜數學計算等任務，師生可直接使用而不必另外開課。

近年來，國內出現的組件式數學軟件（如數學即時通訊軟件MathQ、公式編輯計算軟件MathPlay、圖形編輯計算軟件GraphPlay、計算文檔軟件SciencePlay、搜索公式瀏覽器ScienceIE等）也已突破了數學實時交互的難題。類似QQ軟件般的平民風格，幾乎革命性地為互動式數學而生。融合上述數學軟件并形成組件形式，教師可根據不同數學教學內容進行抽取，并基于網絡進行項目化協作。

（三）項目化單元模塊分解

項目化單元模塊分解過程仍按數學課程知識體系的課前預習、課上教學和課后復習三個不同的教學階段進行，但實施過程不同于1.0、2.0和2.0+ 版時代，具有“教師講、學生講、置疑設問、軟件使用、結果討論、中立（含靜止）、再置疑（待課后）”的混合特征，學生的互動與反饋將分布在“回應、中立、自發、靜止”四個可量化的指標上。

項目化教學強調基于網絡的實時互動是以加大教學密度為代價的，學生學習興趣的激發和學習水平的優化是受項目教學負荷牽引的，幅度大小取決于教學內容和軟件模塊的適配。整個項目化教學設計需以組件方式按需選取數學軟件模塊，以分解教學單元，匹配相應的教學資源。如果從組件中選取的軟件模塊過多，容易分散數學教學本身；反之，學生可能無法理解抽象的數學內容，會影響不同層次學生的互動，導致教學時間陷于停頓而歸于“靜止”，最終向傳統教學方式退化而失去項目化教學應有的意義。

一般分解一個項目化單元模塊以2個學時為宜，項目化初期選取的數學軟件模塊控制在2～3個，中后期可選模塊在6個以內。首尾兩端的課前預習和課后復習，一般可不列入項目化課堂，而是列入由教師引導的課后自主學習過程，并安排學生采用MathQ軟件實時共享數學教學資源。MathQ體現的項目化教學要素主要是數學知識交互功能，如師生基于網絡一對一或多對多的課下輔導答疑、師生視音頻即時通信、在線教學與測試評價，以及數學試題庫和數學電子書的網絡共享，特別是含交互式手寫板書、公式編輯、圖形編輯的計算協同和學習協同功能等，既保證學生將未完成的小項目從課上遷移至課下，又使教師指定學生幫帶及依據學習水平對學生進行彈性分層，為項目化教學爭取寶貴時間。

分解項目化單元模塊以位于中端的課上教學為主，一般可在網絡條件下融合數學軟件展開知識點，占時大約90%。以線性空間幾何變換2學時教學分解為例，其中數學理論與實踐應用混合于“教師講、學生講、置疑設問、軟件使用、結果討論、中立（含靜止）、再置疑（待課后）”等教學階段，數學軟件可選為“MATLAB+MathQ+Science IE+SciencePlay+GraphPlay+MathPlay”，并將幾何映射變換部分教學內容分為同構映射、周期變換、幾何不變性、最小迭代周期、同構映射解題和幾何變換的加密應用6個部分，每部分的實踐對應選取MATLAB軟件的不同模塊，再在學時單元范圍內進行分割以選擇同構映射題目，如選取Torus變換和Arnold變換等。

以項目化教學設計中選取Arnold變換為例，時序上先是教師講授數學概念；接著，以白板演練1～2道解題而展開教學內容；再用和分別表示Arnold變換的迭代次數與周期，將Arnold變換由矩陣式（1）轉為易于上機的迭代式（2），并從MATLAB軟件中提取模塊。

[xn+1yn+1=][1 11 2] [xnyn mod m] （1）

[xn+1=（xn+yn） mod myn+1=（xn+2yn） mod m] （2）

項目的設問是同構映射的作用，期待學生通過數學軟件MATLAB延伸發現矩陣與圖像可能等價的結論。當學生完成小項目作品時，取迭代次數 100，師生調用預設的MATLAB軟件模塊對 32×32、48×48、64×64、128×128不同圖像化為矩陣進行Arnold變換，將直觀得到100次迭代結果，從中引導學生發現圖像矩陣的加密，并在12、24、48、96時對圖像矩陣進行還原，由此從原因上引入幾何映射變換中的自同構，說明12、24、48和96分別是Arnold自同構映射變換的最小迭代周期。在學生完成小項目報告的同時，無形中將幾何中的映射、代數中的矩陣、計算機中的圖像和MATLAB軟件的部分，通過教學協作方式將抽象中數學變換與形象中的圖像矩陣加密結合起來。

前述6個部分是按項目化教學要素亦步亦趨地使用數學軟件配合理論推導演繹的，師生在此過程中可就MATLAB的運行結果，互動討論幾何映射變換內容，再附以手工數學解題，讓學生抽象地進行數學印證，二者有機地融合為一個相對完整的、可測量的數學教學小項目作品。

實踐證明學生利用數學軟件協作完成小項目作品并不困難。由前面部署的6種軟件產生的小程序代碼量少且重復率高，幾乎是所用即所得的傻瓜式軟件，學生至多經歷2～3輪教學即可如同QQ軟件一樣快速掌握。一般而言，師生之間可基于網絡利用GraphPlay軟件共享和互操作教學內容，將抽象的數學公式與形象的圖形充分結合起來，可視化在線編輯公式結構及直接在圖形中標注公式，可按項目化教學進展局部生成2D函數和3D函數圖形（含柱面與柱體），且可根據依統計作圖對數表散點進行曲線擬合、樣條曲線擬合等，師生互動的載體特征十分有效。

在項目化教學各階段的模塊分解中，師生還可以組件方式選用MathPlay軟件，可基于網絡實時進行數值計算、分數運算、矩陣運算、矩陣變換和自定義函數運算，既可計算數學表達式整體，也可計算選中部分的數學表達式，又可匹配或直接定義所編輯公式和文字的大小、焦點、字號和顏色等。通過項目化教學模塊分解所選數學軟件的諸多特性，實時調動學生的注意力并保持師生互動的興趣。

三、項目化教學設計有效性測量與評價

由于數學課程項目化教學過程涉及了較多的數學軟件介入，因而對其有效性的動態評價較之傳統評價方法要復雜得多。筆者的項目化教學實踐采用了弗蘭德斯互動分析法實現了有效性測量。該分析法是由美國學者弗蘭德斯（Ned.Flanders）于1960年提出的，其教學測量采用的是設定描述課堂行為的量表和顯示數據分析的遷移矩陣，通過分析師生的互動過程而對教學案例或項目對課堂教學質量的影響進行有效性評價。這種以分類代替傳統概率的方法仍作為互動式教學經典的測量手段，并可圍繞項目化教學元素進行設計。

按照弗蘭德斯互動分析法的統計過程，可先建立描述師生課堂行為的量表，按3"～5"的秒級間隔對時間進行抽樣，針對2學時單元的數學內容記錄項目化教學過程中發生的多達1600余個事件。在教學數據統計的基礎上，分析遷移矩陣中的數據。根據筆者多年來的數學課程項目化教學實踐，本文所設量表的一級指標選取了“教師講”“學生講”和“靜止”3項，其中教師的講授過程有“回應”“中立”和“自發”3項二級指標；學生的學習反饋講授過程有“回應”和“自發”二級指標，而“靜止”僅有“中立”1項二級指標，代表學生不理解數學問題或軟件使用所致師生雙方無法互動而暫時停頓的過程。

表1列出了以前述幾何映射變換為教學內容的項目化教學互動分類和量表，其中“占時I”和“占比I”為未采用項目化教學之前的互動分類統計，而“占時II”和“占比II”是采用項目化教學之后的互動分類統計。

從軟件項目化前后教學的測量結果可以發現，互動分類和量表顯示出項目化教學后的師生互動占時和占比是顯著的，其中課上的“學生講”和“學生練”及課后“群組討論”的占比分別達到了31.92%、33.43%和30.16%，較之項目化前的10.12%、16.33%和18.25%上升明顯，而學生“靜止”指標項由31秒直接降為0秒，是項目化教學獲得的最大化增益。由此還可以相應地得到數學意義上的遷移矩陣，圖1給出了筆者對該遷移矩陣所做的數據分析。

可以發現，在配合學生自主學習和課下利用MathQ數學軟件進行群組討論之后，項目化教學互動中的教師講授（分類號5）和學生按教師要求表述（分類號8）明顯減少，教師的提問和學生自己主動按程序運行結果發現問題明顯增多，而課堂靜止或不理解抽象數學問題而造成的教學時間停頓，則整體上趨降于零（分類號10、6和7），表明該教學內容單元項目化教學是有效的。

四、結束語

網絡時代的數學教學變化甚少，教學過程缺乏互動探究，加之功利化的就業導向，導致學生厭學，并質疑數學的應用價值。這不得不令人思索傳統數學教學如何由“改”向“改好”轉變。如果只談“夠用為度、應用為主”的數學教學原則，而少講如何互動探究的實際操作，那么僅僅是在立意上對教學量的取舍，對數學教學改良增效的作用是十分有限的。更明確地講，如果說網絡為數學與軟件的融合進而實現數學教學效果的改良增效提供了有限可能，其中的數學課程軟件項目化，不失為一種可選的具體路徑。

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收稿日期：2015-06-01

定稿日期：2015-07-20

作者簡介：付艷茹，教授，碩士，浙江警官職業學院基礎部（310018）。

馬強，教授，碩士，浙江警官職業學院信息系（310018）。

責任編輯 日 新