小意外剪出大定義

☉浙江省溫嶺市新河中學 江慶君 李巧敏

小意外剪出大定義

☉浙江省溫嶺市新河中學 江慶君 李巧敏

《普通高中數學課程標準》（實驗）指出：提供積極主動，勇于探索的學習方式，學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習方式.這些方式有助于發揮學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程.在新課程的倡導下，探索、創新逐漸成為教師課堂教學的重點，有意栽花花不開，無心插柳柳成蔭，在實際的課堂教學中往往有很多的“無心柳”，善于把握這些課堂中的意外，就會有意想不到的結果.

《二面角的平面角》第一課時，主要探索二面角平面角的定義，而本人在實際授課的探索過程中，卻出現了一點小意外，于是將錯就錯得出大定義.

一、二面角平面角的定義

1.自己動手，發現疑問

師：在學習了異面直線所成角、直線和平面所成角之后，那么兩個平面相交也應該有所成角.我拿出事先準備好的長方形硬紙板，沿中間線折成如圖1所示.

圖1

結合實物給出二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，記作α-l-β.

師：請問各位同學，二面角可以度量嗎？用什么進行度量呢？就像前面曾經學過的線線角和線面角.

生：既然稱為角，肯定可以度量，我想應該轉化成平面角來度量.

對于一個確定的二面角，如何找到能度量此角大小的平面角是關鍵，但同時要讓學生自己去發現，發現定義的同時要發現定義的本質，知其然知其所以然.

師：既然二面角有大小也可以用平面角來度量，那么，請大家拿出教科書，并把它合成30°的二面角.

同學紛紛拿出書本，大部分同學基本上能感性的感覺出二面角平面角的初步思維，并比劃這個30°角，如圖2所示.

圖2

圖3

圖4 某同學殘缺的書頁

師：平面角的定義？

學生：一個頂點出發的兩條射線所成的幾何圖形.

此時很多同學陷入了思考，感覺可望不可及.幾分鐘以后，大部分同學都能用手指出如圖3所示，接下來卻發生了一個小意外.我發現中間位置的幾個學生在激烈的討論，問其原因，原來其中的一個學生的一頁書是殘缺的，而他始終認為邊緣的這個角就是二面角如圖4.

于是我就順著學生的意思，將錯就錯索性向同學借來一把剪刀把剛才硬紙板的二面角剪成如圖5所示的圖形，也殘缺.過程如下：

圖5

2.相互討論，“剪”出定義

剪掉以后，大部分同學開始茫然，在沒有給出二面角平面角定義的前提下，如何尋找到這個角確實有很大的困難.根據課后小調查如下：

贊成反對認為∠AOB100%0認為∠AOC40%50%

除了一些人猶豫不決以外，還有多同學認為是∠AOC的.

師：能否用一個角來度量二面角的大小，關鍵在于此角具有唯一性，∠AOC可以嗎?

生甲：顯然不可以，就像直線和平面所成的角一樣，我們所找到的這個角必須具有唯一性，因為唯一才能確定.如果∠AOC可以，那么再剪一點進去的∠AOD也可以的，有∠AOE，∠AOF等等.

生乙：不是∠AOC，因為這個角的兩邊與棱不成等角，不能唯一確定.

師：那我們能否按如圖6所示的剪？另一個半平面也剪掉，與棱成等角，如圖6.

圖6

生丙：其實剪的時候，等角是前提，我們能不能用剪刀平行地剪下去呢？如圖7.

圖7

師：同學甲分析得很有道理，要確定和唯一.而乙同學和丙同學所剪這只角本質是一樣的，只具有確定性，不具有唯一性，那么請同學再思考一下，有沒有辦法再用剪刀剪出一個二面角的平面角呢？

生丁：要做到唯一，必須等角；要做到確定，等角須是直角.所以角的兩邊都在兩個半平面內，并且兩條射線都垂直于棱就可以了.故只要剪刀垂直于棱剪下去就可以.

如此一來，大部分同學既能理解二面角的平面角的定義，又能作出簡單二面角的平面角.此外剪刀可以看成一個平面，二面角的平面角就相當于用一個垂直于棱的平面去截，所得的一個平面角，并且得到二面角平面角的特征：（1）平面角的兩條射線都在兩個半平面內；（2）都垂直于棱.

二、過程簡析，余音繞梁

1.在生活中探索，感性認識上升到理性認識，培養學生探索思維

二面角在生活中是常見的，緩慢打開教室的門，門與墻面之間要形成一定的角度，修筑水壩時，為了使水壩堅固耐久，必須使水壩面和水平面成適當的角度等.但這些只是初步的感性認識，往往很多學生會認為這些問題很簡單，但經過啟發暴露問題的同時也提升了自己的認識.所有成功的理念都來源于最初的感性的想法，數學是基礎學科，最基礎的往往是最枯燥的.而筆者認為，要使學生獲得在數學學習上持久的動力，則必須使學生喜歡數學，對學習數學有自信心和興趣.本案例就是從學生動手、探索角度為切入點，使學生從“要我學”到“我想學”，不僅會學數學，而且“享受數學”，不僅學到了數學知識，而且培養了“數學審美”，整節課都圍繞二面角平面角的定義展開，通過探索-實驗-再探索-再實驗-得到正確的結論，學生完成一個完整的知識建構過程.

2.在錯誤中探索，在嘗試錯誤中前進，促進學生的全面發展

桑代克是美國哥倫亞大學心理學教授，被認為是聯結學派的首創者，他做過“餓貓開門取食”實驗，餓貓在籠里亂咬、亂撞，最后偶然打開門，取得食物.在嘗試過程中，錯誤的反映逐漸減少，正確的反映逐漸增加，最終形成固定的反映.在授課過程中，學生的反映很多的時候是錯誤的，比如上文提到的如何剪出二面角以及二面角的唯一性，都有錯誤的嘗試，摸著石頭過河，最終就能到達對岸.

在對二面角平面角定義以后，說明定義合理性、唯一性、確定性時.學生丙提出能否用與棱都成等角的兩條射線定義二面角？如圖8.

圖8

圖9

我們知道根據等角定理，∠A′OB′是存在也唯一的.但我們用剛才的剪刀去剪出這個二面角平面角的時候，我們是定義垂直于棱，根據剛才的這位同學的意思，就是剪刀不與棱垂直可以嗎？不行，第一，它與實際情況不附，如圖9，當兩平面垂直時，φ≠90°，第二，如圖9，我們用剪刀剪出兩個等角，設∠A′P′B′=θ，∠A′PB′=φ，A′P′= a，A′P=b，A′B′=x，由余弦定理，得

x2=b2+b2-2b2cosφ=2b2（1-cosφ），x2=a2+a2-2a2cosθ= 2a2·（1-cosθ），所以.在RT△A′PP′，sin=.假設φ為二面角的平面角，可以知道，兩個變量之間有一定的聯系，故如此定義不夠簡潔，也不夠科學.整個過程向學生充分展示了思維的形成過程，讓學生親身體驗到發現問題、解決問題的思維過程.通過數學小實驗：剪紙，而在具體剪的過程的中有很多錯誤的剪法，在很多錯誤的剪法中尋找唯一正確的剪法，不僅是學生學習數學知識的認識活動和實踐過程，更大程度上是培養學生理念、科學的學習態度，合作學習精神的過程.通過“學”和“做”的整體活動，激發學生的學習興趣，培養學生的注意力、意志力.

本節課在意外的情況下獲得了意外的收獲，但其意義遠不止于此，對以后的教學有著深遠的影響.學生的想法永遠是最初的想法，在“傳道、授業、解惑”中把握學生那些意外的最初的想法才能真正把握學生，讓學生能成為課堂，以至整個學習的主體，而這也是新課程要求和倡導的.讓學生去探索，教師自己必須具有創新精神，我們不應該將學生的思維強行引入自己的思維模式，我們啟發的目的不是求同，著名的數學教育家波利亞曾說過“中學教師在課程知識獲得方面最大的缺陷正是主動完成數學工作的獨創性經驗”.追求探索，不是“胡思亂想”，但應該提倡“異想天開”，敢于質疑，善于求異，是創新的基本品質.“我探索，因為我志在探索，我創新，因為我志在創新”.讓這些意外最終不意外.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.羅增儒.中學數學課例分析［M］.西安：陜西師范大學出版社，2003.

3.鄭毓信.數學文化學［M］.成都：四川教育出版社，2000.

4.羅增儒.數學理解的案例分析［J］.中學數學教學參考，2003（4）.

5.黃新民.初中數學課堂創新教學理論與實踐［M］.杭州：浙江大學出版社，2002.

6.朱哲，張維忠.一節基于數學史的教學課例：正四棱臺的體積公式［J］.中學數學教學參考，2004（3）.那么為什么會出現上述的錯解，我們還是要來分析一下原因，避免下次再犯類似的錯誤.對于基本不等式a+b≥ 2（a>0，b>0），若2為定值記作m，則對于任意的a>0，b>0，都有a+b≥m且存在a=b時a+b=m，這時候我們可以說m即2是a+b的最小值，若2不是定值時，同學們還認為就是在a=b時取到a+b的最小值2，就會出現錯誤了，雖然a+b≥2（ a>0，b>0）這個不等式還是存在，但是2現在是一個不斷變化的量了，所以有可能會出現比a=b時更小的a+b.例如：若a=x+1，b=2x，則當a=b，即x+1=2x（x=1）時，a+b=2=4，利用一次函數的最值我們很容易看出應該是當x=時，a+ b=3x+1取到最小值.

設計思路：這種錯誤也是這類最值問題中比較常見的類型，如果只是讓學生死記硬背“一正，二定，三相等”，一來是學生印象不深，容易忘記，二來也不夠具有說服力，只有從本質上指出學生錯誤的根源，即對最值概念的理解及對基本不等式的理解不夠透徹，提出來并解釋清楚才能讓學生信服并真正理解.

在上述糾錯過程中我們可以發現，只有基于概念和知識本質去探究“為什么錯”，才能抓住問題的本質，不只是訓練解題的機器，而是切實提高學生的數學素養，培養學生一直受用的方法和能力.

三、思考

最后，筆者談談自己對如何在日常教學中提高學生數學素養的幾點想法：第一，數學素養對學生的數學學習起著決定性作用，因此，在教學中關注學生數學素養的提高至關重要，執行刻不容緩；第二，在數學教學中提高學生的數學素養是一項長期而系統的工作，不可能一蹴而就；第三，教師努力提高學生的數學素養的前提是需要自身具有較高的數學素養，因此，教師自己首先需要多學習多研究，遇到問題多挖掘其本質.

參考文獻：

1.水菊芳.就“映射”教學談學生數學素養的提高［J］.中學數學教學參考（上），2015（10）.

2.王峰.基本不等式法求最值的一個教學困惑［J］.中學數學教學參考（上），2015（4）.

3.鄭良.立足理解數學促進數學理解［J］.中學數學教學參考（上），2015（8）.F