化歸轉化思想解題例說
——以一道線性規劃綜合問題為引例

☉江蘇省南菁高級中學 張麗娟

化歸轉化思想解題例說
——以一道線性規劃綜合問題為引例

☉江蘇省南菁高級中學 張麗娟

在數學解題中，如果對原問題直接求解不易入手，此時不妨將原問題變換為我們熟悉的、易于解決的問題來處理.這就是化歸轉化思想，即將一種研究對象在一定條件下轉化為另一種研究對象的思想.下面就化歸轉化思想的應用舉例分析.

例1已知點A（a，b）與點B（1，0）在直線3x-4y+10=0的兩側，給出下列說法：

①3a-4b+10>0；

其中，所有正確說法的序號是_________.

本題以線性規劃為背景，設置多個結論，綜合性較強，解題中要善于根據題目條件將問題進行等價轉化求解.此類問題能有效考查考生分析問題與解決問題的能力.

一、善于把握問題的本質

對于①，利用不等式所表示的平面區域的概念，將點B（1，0）的坐標代入直線3x-4y+10=0所得值大于零，故3a-4b+10<0.①錯誤.

評析：判斷一個點是否在某個不等式所表示的平面區域內，可直接將點坐標代入不等式方程中，若滿足不等式，則該點在所給不等式的區域內，否則不在該區域內.充分把握不等式所表示的平面區域的本質，即可順利求解.

變式1（2014年新課標全國卷Ⅰ）不等式組的解集記為D，有下面四個命題：

p1：?（x，y）∈D，x＋2y≥-2；

p2：?（x，y）∈D，x＋2y≥2；

p3：?（x，y）∈D，x＋2y≤3；

p4：?（x，y）∈D，x＋2y≤-1.

其中的真命題是（ ）.

A.p2，p3B.p1，p2

C.p1，p4D.p1，p3

解析：不等式組所表示的平面區域如圖1所示，在圖中畫出命題1中不等式x＋2y≥-2所表示的平面區域，易知此區域包含區域D，所以命題p1正確.同理命題p2正確，p3、p4錯誤.答案為B.

圖1

二、拓展由此及彼的洞察力

畫出可行域（如圖2所示），因為3a-4b+10=0所在的直線為虛線，所以z=a+b既不存在最大值，也不存在最小值.故②錯.

圖2

評析：若不等式中含有等號，則其區域邊界直線為實線；若不含等號，則其邊界直線為虛線.

變式2（2015年山東卷）已知x，y滿足約束條件若z=ax+y的最大值為4，則a=（ ）.

A.3 B.2 C.-2 D.-3

解析：由z=ax+y得y=-ax+z，畫出不等式組表示的目標區域，如圖3，借助圖像可知：

圖3

當-a<-1，即a>1時，在x=2，y=0時有最大值2a=4，a=2，滿足a>1；

當-1<-a≤0，即0

當0≤-a<1，即-1

當-a≥1，即a≤-1時，在x=y=0時有最大值0，不符合題意.

答案選B.

三、善于尋找命題的等價形式

評析：在線性規劃問題中，目標函數一般有兩種類型，一種是線性型，一種是非線性型.對于非線性型，除本小題中的兩點間距離型以外，還有點到直線的距離型.即對于目標函數為形如z=|Ax+By+ C|（A、B不同時為0）型時，求解方法是先將其變形為z=（A、B不同時為0），然后利用的幾何意義：動點P（x，y）到直線Ax+By+ C=0的距離求出最值，最后再乘以求解問題.

變式3已知實數x，y滿足約束條件求 z=|x+2y-10|的最大值.

解析：由條件畫出可行域，如圖5所示，z=|x+2y-10|=根據圖形易得A點到直線x+2y-10=0的距離最大，根據方程組可求得A（3，-3），所以

圖5

四、把握結論與條件的關系化生為熟

綜上所述，正確結論為③、④.

評析：在處理與目標函數為斜率型的線性規劃問題時，要注意斜率的范圍.當傾斜角為時，斜率k∈［0，+∞）；當傾斜角為時，斜率k∈（-∞，0）；當傾斜角為時斜率不存在.如，當傾斜角α∈時，學生易錯誤地認為斜率k∈［-1，1］.正確答案應為［1，+∞）∪（-∞，-1）.若斜率k∈［-1，1］時，傾斜角的范圍是

變式4定義在R上的函數（fx）滿足（f4）=1，f（′x）為（fx）的導函數，已知y=f（′x）的圖像如圖7所示，若兩個正數a，b滿足f（2a+b）＜1，則的取值范圍是（ ）.

圖7

解析：由導函數的圖像知f（x）在區間（0，+∞）內單調遞增，又f（2a+b）＜1且f（4）=1，所以2a+b<4，結合a，b>0，構造不等式組進而將問題轉化為線性規劃問題.

圖8

總之，解題時從考查問題的結構、特點入手，橫向聯想與之形似的某些熟知情境及處理方法，或縱向聯想類似解決過的問題及解決方式，這樣就能快速地找到解決問題的突破口.