注重學生數學解題的通性通法訓練

☉陜西省咸陽師范學院基礎教育課程中心 安振平☉西藏民族大學附屬中學數學教研組 袁義東

注重學生數學解題的通性通法訓練

☉陜西省咸陽師范學院基礎教育課程中心 安振平☉西藏民族大學附屬中學數學教研組 袁義東

通性通法是指具有某些普遍意義的規律性的常規解題模式和常用數學思想方法.高考數學重視考查核心的知識和具有普遍意義的思維方法.例如，從方程組出發，通過代入消元，獲得一元方程；畫函數圖像或方程曲線，顯示幾何直觀；移項、分解因式、配方、分類討論、構造函數等代數變形.讀者在學習解題的過程中要對這些普遍性的思想方法進行概括、提煉和總結，不斷地在具體解題活動中深入回味和深度感悟，逐漸積累形成自己的解題風格.

高考命題的一個基本原則就是突出核心數學思想，淡化特殊解題技巧，盡管某些數學問題有多種甚至有十多種解答途徑，但相對讀者而言，這些解法中具有普遍意義的用于考試的通性解法也就一二種，更多的解法是針對具體題目的特殊方法，這些非通性的特法，在高考復習中應當特別注意淡化，以便騰出更多的學習時間，抓住數學本質，關注核心概念和通性通法，使得數學的學習更容易些.

如下問題是文1、文2中探究的話題，延續章建躍博士的思考，談談筆者的一些想法.

問題（2011年重慶高考理科第7題）已知a，b>0，a+b=2，則最小值是（ ）.

這是關于二元的條件最值探求問題，應用代入方法，可以實現化“二元”為“一元”，體現“化多為少”的轉化策略.

方法1：由a+b=2，得b=2-a，代入消元，有

這里用求導數來研究函數最值屬于通法，是一種程序性的解答，但要在讀者學習了導數知識之后，才可以應用呀！如果讀者沒有學習導數知識，那么對該題目的解答，它有哪些通性通法呢？

方法2：由a+b=2，得b=2-a，代入消元，有

這是關于a的函數，若讀者沒有學過導數知識，不用求導能解答嗎？

因為a是實數，所以方程（*）有實數根，于是，其判別式（3-2y）2-8y≥0，即4y2-20y+9≥0，解得

顯然，方法2是要求讀者具備初中知識就可解答的通法.通法要看讀者的知識貯備，要看讀者已經掌握了哪些知識，有哪些解題經驗.

如上的解答體現了解出一個字母后，再代入消元，實現將二元化歸為一元的消元方法，試問，不用消元，還有其他通性通法嗎？

顯然，問題解答的焦點在于如何運用條件a+b=2，實現解題過程的化歸與轉化.

方法3：由條件等式a+b=2，把函數式變形為展開后，你會發現，基本不等式呼之于出，思維是流淌出來的.下略.

需要指出的是，基本不等式是高中數學必修5的內容，上述巧妙應用條件，也是有思維對接的“基底”，這是不是通法呢？命題人想考查的解答也許就是該解法吧.筆者以為“通法”和“特技”有時是相對的，教學中重視通法，淡化特技是值得大力提倡、探究和思考的.

數學是思維的體操，在數學的學習和解題過程中邏輯推理起著主導作用，讀者在探究解題時要更多地注重代數推理、幾何直觀，以及在化歸轉化過程中的具有普遍意義和廣泛遷移性的那些策略性知識，更多地重視思考問題變更中的“開竅點”是什么，“轉化點”是什么，思維“受阻點”在哪里，善于想想為什么要這樣進行變形和推理，不這樣變形行嗎？還有其他解答通道嗎？提煉反映數學本質的東西.學習數學解題就意味著掌握基本題的通用解法.

1.章建躍.注重通性通法才是好數學教學［J］.中小學數學（高中版），2011（11）.

2.查正開.“零次化”解2011年高考題［J］.中小學數學（高中版），2011（11）.