“空間運動”與“圓錐”的“不解之緣”
——由2016年浙江高考談“動態”立體幾何教學建議

☉江蘇省如皋市第一中學 吉俊杰

“空間運動”與“圓錐”的“不解之緣”
——由2016年浙江高考談“動態”立體幾何教學建議

☉江蘇省如皋市第一中學 吉俊杰

“動態”充滿著神奇，孕育著創造，動態性問題滲透著運動變化的觀點，是立體幾何的一大難點.所謂“動態”性立體幾何題，是指在點、線、面運動變化的幾何圖形中，探尋點、線、面的位置關系或進行有關角與距離的計算.［1］當前高考“動態”立體幾何的命題趨勢逐漸由“關注學生學習結果”轉向“關注學生學習過程”，更加注重與其他知識交匯融合，尤其是浙江省高考中的“動態”立體幾何問題，更是與“圓錐”結下了“不解之緣”.浙江省的“動態”立體幾何問題除考查立體幾何基本知識點與基本思想方法以外，更注重對學生直觀想象核心素養與綜合運用知識能力的考查.學生在解決這類問題時，總存在著一定的心理和思維方面的困惑或障礙，下面筆者就結合近幾年高考的命題趨勢，談談此類問題的教學建議.

一、又是一年芳草綠，依然十里杏花紅

又是一年高考時，今年浙江高考數學文理卷上各有一道關于“動態”立體幾何的題目，而且兩道題都與“圓錐”存在緊密聯系.

例1（2016年浙江高考文科第14題）如圖1，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=∠ADC=90°.沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，則直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是______.

圖1

解析：此題“動態”十足，屬于比較常見的翻折問題，但按照一般求空間角的思路，不論是利用幾何法作出空間角，還是利用坐標法求出角，解題過程都會比較復雜.如果關注“翻折”運動的特點，發現動點D做圓周運動，線段CD的運動軌跡構成一個圓錐（以AC為軸）.

如圖2，過點D作DH垂直AC于點H，點D在以H為圓心，DH為半徑的圓上運動.在D點運動的過程中，直線AC與BD所成角為直線BD與圓面所成角的余角.因此，問題等價于求直線BD與圓面所成角的正弦值的最大值.

圖2

例2（2016年浙江高考理科第14題）如圖3，在△ABC中，AB= BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是_______.

圖3

解析：此題“運動”特點不明顯，人們很難把它與“動態”立體幾何聯系起來，而是把它當作一般的求體積問題來處理.設AD=x，然后把四面體的體積表示為x的函數，進而轉化為函數最值問題.這種解題思路盡管能求出結果，但過程煩瑣，運算復雜，“小題大做”，得不償失.

若用“運動變化”的視角重新審視題目條件與結論，我們對上述四面體中的點、線、面的關系會有新的認識，具體如下表所示：

靜止 運動點點A、B、C 點P、D線 AB=BC=PB=2，AC=2 3■ PB與面ABC的夾角、DA=PD面面ABC 面BAP、面BPC、面APC

由“AB=BC=PB=2”聯想到以B為頂點，BA、BC、BP為側棱的三棱錐模型；“BP運動中長度保持不變”，那么PB可以看成B為頂點的圓錐的母線.于是，我們就可以在四面體的基礎上構造如圖4所示的圓錐模型，可以得到此題一種“特殊”（近似）解法.

圖4

要使四面體PBCD體積最大，需要高與底面S△PCD最大；當面ABC與底面垂直時高取得最大值1，此時AP⊥PC，如圖5所示，設∠PAD=α，由DA=PD得∠DPA=α，則所以所以D是 AC的中點，此時滿足因此要使S△PCD最大，只需S△PAC最大.顯然，當PA=PB時，S△PAC取到最大值為此時所以VB-PCD的最大值為

圖5

構造圓錐模型的最大好處就是容易確定動點P的位置及運動軌跡，容易發現隱含的幾何性質，從而使解題過程得到優化.

二、千歌百舞不可數，就中最愛霓裳舞

無獨有偶，2015年的浙江數學高考文、理也各有一道“動態”立體幾何題，而且也都與“圓錐”有關.

例3（2015年浙江高考文科第7題）如圖6，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PBA=30°，則點P的軌跡是（ ）.

圖6

A.直線 B.拋物線

C.橢圓 D.雙曲線的一支

解析：如圖7，P點的軌跡為以斜線段AB為旋轉軸，母線與AB所成的角為30°的圓錐面，因直線AB與平面α所成的角為60°，故平面沿垂直于母線AD方向去截，截得的截面顯然為橢圓.

圖7

例4（2015年浙江高考理科第8題）如圖8，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則（ ）.

A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α

圖8

解析：對于選擇題而言，用特殊位置法也能得到答案，但無法觸及問題本質.事實上，過A點作AP⊥DC，垂足為P，延長AP交BC與點R，連接A′P，則∠A′PR為二面角A′-CD-B的平面角，△A′CD繞直線CD轉動，由此可以構造圓錐模型，如圖9，A′點在共底面圓錐C-P、D-P的底面上轉動，在等腰△PAA′中，易知∠A′PR=2∠PAA′=α；在等腰△DAA′中，∠A′DB=2∠A′AD.因為AD＞AP，所以等腰△DAA′的腰長比等腰△PAA′的長，根據大邊對大角，可知∠A′AD＞∠PAA′，所以∠A′DB≥α.

圖9

通過構造圓錐模型，我們不僅圓滿地解決了問題，并且還發現“D是線段AB的中點”的條件其實是多余的，沒有這個條件結論照樣成立.

縱觀近10年的浙江數學高考試卷（如下表所示），不難發現幾乎每年都有關于“動態”立體幾何的題目，其中很多題目都與“圓錐模型”存在著“不解之緣”，只要“圓錐模型”一出手，問題的本質就暴露無遺.

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羅增儒教授曾說：“以能力立意命題，利于題型設計，易形成綜合自然、新穎脫俗的試題.”給靜態的立體幾何題賦予了“動態”的活力，使題意更加新穎、解法更加靈活、思維更加廣闊.也正因為某些點、線、面位置的不確定，成為考生進行常規思考、轉化的障礙，但又因為其是可變的、開放的，更有助于學生空間想象能力及綜合能力的培養.這應該就是“動態”立體幾何備受青睞的原因.那么，教師該如何有效地開展“動態立體”幾何問題的教學呢？

三、不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層

1.發展“直觀想象”核心素養

綜上可知，“動態”立體幾何重在考查“直觀想象”核心素養.所謂的“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程.在解決“動態”立體幾何問題中，首先通過直觀感知數學對象的幾何屬性，初步形成判斷與理性思考，然后通過幾何直觀、動態想象等思維過程準確把握數學對象的全貌和本質，從而找到問題的突破口，實現“化繁為簡”、“事半功倍”的效果.直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎.當然，“直觀想象”素養是建立在針對幾何圖形長期有效的觀察和思考的基礎之上，既有相對豐富的經驗積累，也有經驗基礎之上的理性的概括和升華，因此，在平時教學中要注重學生“直觀想象”核心素養的發展.

2.滲透“模型化”思想

解立體幾何“動態”問題的過程實質是數學建模的過程，正所謂“心中有模型，解題不用慌”.上述可知命題者對圓錐模型“情有獨鐘”，實際上，只要是幾何翻折問題通常都可以借助圓錐模型轉化為圓周運動進行研究.當然，在立體幾何中，還有其他一些“重要模型”也是值得關注，比如長方體模型，立體幾何中的很多概念和定理都是通過長方體模型引入的，很多問題也都可以在長方體模型中找到解決方案.因此，“借幾何模型之力，破‘動態’立體幾何之困”是非常值得推廣的解題策略.當然，只有在平時教學中，不斷地滲透模型化思想，學生才能在解題中利用模型，做到游刃有余.

3.強調“動靜結合”的辯證思想

一方面，盡管“動態”立體幾何題中活躍著動態的點、線、面、體，但在其動態性的層面內、動感化的情境里與變化著的過程中，往往隱藏、蘊含或潛伏著某些不變（靜態）的元素與形體.只要細心觀察，匠心獨運，獨具慧眼，善于從動態的圖形中捕捉到不變的靜態的因素，實現“動中取靜，以靜制動”之效應；另一方面，充分感知動態的變化過程，仔細觀望動態的變化規律，及時捕捉動態的變化軌跡，從而掌握與描繪出其動態變化的一般趨勢乃至具體形態，使問題變得有跡可循、清晰可辨，進而實現“動中感知，以動制動”.這就需要教師在教學中要充分體現“動靜結合”的辯證思想，使學生掌握“動靜轉換”的方法與途徑，建構“動靜合一”的數學思維.

1.馬茂年，吳曉明.動態幾何 策略引領 理性探索——例說立體幾何“動態”題型解題策略［J］.中學教研（數學），2014（2）.