例談轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用

范惠惠

(河南師范大學數(shù)學與信息科學學院 河南 新鄉(xiāng) 453007)

例談轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用

范惠惠

(河南師范大學數(shù)學與信息科學學院 河南 新鄉(xiāng) 453007)

眾所周知，數(shù)學思想在數(shù)學學習中占據(jù)著重要的地位，它能使分散的知識點變得有法可依，有法可循，而數(shù)學思想的精髓——轉(zhuǎn)化思想，作為數(shù)學思想的橋梁，能緊密連接很多數(shù)學思想，所以，學習并掌握轉(zhuǎn)化思想對學生尤為重要。本文介紹了初中數(shù)學教學中常見的數(shù)學思想，及影響因素和應(yīng)用，并結(jié)合案例，分析轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學中的廣泛應(yīng)用。

轉(zhuǎn)化思想;初中數(shù)學;教師

1 初中教學中常見的數(shù)學思想

在初中數(shù)學學習中，常見的數(shù)學思想有分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、方程思想、歸納與類比思想、轉(zhuǎn)化思想等。

1.1 分類思想。分類思想主要是指根據(jù)研究對象本質(zhì)屬性的不同點，對研究對象特點進行不同的考慮。常見本質(zhì)屬性的不同點主要是以下幾點：一、數(shù)學概念的差異。比如，絕對值定義、二次方根等；二、分類給出條件，根據(jù)條件的不同進行不同的考慮；三、研究對象性質(zhì)、公式的限制等。所以，作為教師，需要在這些課程中，給學生滲透分類討論的思想，使他們逐漸形成分類討論的意識，最終能根據(jù)題目的要求養(yǎng)成分類討論的習慣。

1.2 數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)指的是數(shù)字，形指的是圖形，數(shù)學研究，從根本上而言，就是研究數(shù)字和圖形之間的規(guī)律，將代數(shù)信息和幾何信息相互轉(zhuǎn)換，一方面我們可以把各種數(shù)量關(guān)系用直觀的圖形表現(xiàn)出來，使一些不容易理解的數(shù)學課程變得生動形象，另一方面我們可以用代數(shù)式表示幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系，從而表示出幾何圖形的某些性質(zhì)，最終解決問題。不管哪一個方面，其本質(zhì)是從轉(zhuǎn)化的角度使數(shù)與形相互協(xié)調(diào)，達到學習的目的。

1.3 函數(shù)思想。在初中階段，函數(shù)的定義是對于每一個變量都有唯一的一個變量與之對應(yīng)，所以，在初中教學階段，函數(shù)思想反映的是變量與變量之間的一種對應(yīng)思想。函數(shù)思想不僅在學習函數(shù)的時候體現(xiàn),在其他章節(jié)中，我們也常常利用變量代換，將某一變量看做另一個變量的函數(shù)，從而把復雜問題簡單當作某一字母，這樣把事物之間的關(guān)系用特定的函數(shù)表示出來，借助函數(shù)的性質(zhì)解決問題。

1.4 方程思想。從某種程度上講，方程思想是函數(shù)思想的一種定值變形。方程思想是指：設(shè)出未知量，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，用未知量表示已知量，然后建立已知量和未知量之間的等量關(guān)系，從而構(gòu)造已知量與未知量矛盾統(tǒng)一體，最終通過解方程使問題得到解決。所以，方程與函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)化，利用方程或者函數(shù)從已知探索到未知，從陌生轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜ぃ墙鉀Q很多復雜數(shù)學問題的引路燈。

2 轉(zhuǎn)化思想及其影響因素

2.1 轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵其實主要體現(xiàn)在“轉(zhuǎn)”上，轉(zhuǎn)，即是變換。簡單的說，通過變換，將未知的，陌生的，復雜的問題轉(zhuǎn)化為我們學過的，已知的，熟悉的，簡單的問題。所以說，它幫助我們解決新問題、獲得新知識，并且很多其它的重要思想方法也是通過化歸思想獲得，比如上面講到的，數(shù)形結(jié)合思想、歸納類比思想、方程與函數(shù)思想等。因此，通過轉(zhuǎn)化思想，我們可以更有效地學習其他數(shù)學思想，從而掌握數(shù)學思想及數(shù)學方法、數(shù)學知識的核心。

2.2 使用轉(zhuǎn)化思想的原則。既然轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學的學習中起著舉足輕重的作用，那么，教師怎么引導學生在學習的過程中運用轉(zhuǎn)化思想？怎么樣才能在教學中體現(xiàn)并引導學生掌握教學思想呢？在數(shù)學教學中，很多課程之間都是有所聯(lián)系，有規(guī)律可循的，同樣，轉(zhuǎn)化思想也有它本身所具有的特點和適用的原則。

2.2.1 熟悉已知化原則。學生通過學習可以獲得不斷的進步，學習，就是把“不會”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皶保涯吧D(zhuǎn)變?yōu)槭煜ぁ：唵蝸碚f，就是遇到?jīng)]有接觸過的，陌生的問題時，嘗試把它轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，同樣地，盡量把沒有學過的、未知的問題轉(zhuǎn)化為學過的、已知的問題。這樣，通過轉(zhuǎn)化，使學生能夠充分運用已有的知識和經(jīng)驗解決新出現(xiàn)的問題，加強新舊知識間的聯(lián)系，而且能夠拓寬學生解決問題的思路和途徑，開發(fā)其解決問題的潛能。

2.2.2 簡單化原則。在初中學習過程中，很多學生都會反映數(shù)學難學，那么，“難”字，首當其沖，體現(xiàn)在復雜上。很多數(shù)學知識對于初中生來說，確實比較復雜，有很大的難度。那么，在教學過程中，教師就應(yīng)該引導學生把這些復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，或者轉(zhuǎn)化為不簡單但是規(guī)范的、我們常見的題目，化繁為簡，化復雜為簡單。

2.2.3 具體原則。數(shù)學學習中的很多內(nèi)容非常抽象，不容易理解，比如，八年級下冊的《函數(shù)》一章中，很多學生對函數(shù)的定義理解不清楚，不明白什么是自變量，什么是自變量的函數(shù)，也不清楚什么是點在函數(shù)圖像上，這時候需要教師盡量把這些抽象的概念化為一些具體的例子進行解釋。

3 轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學教學中的應(yīng)用

3.1 數(shù)字與圖形之間的轉(zhuǎn)化，化抽象為形象。勾股定理雖然非常基礎(chǔ)，但是在初中數(shù)學中占據(jù)著非常重要的地位。這個定理起源于2500多年前，畢達哥拉斯在朋友家做客時偶然發(fā)現(xiàn)的一種數(shù)量關(guān)系。這個定理比較貼近人們的生活，所以很多人都熱衷于勾股定理的證明，但是不管采用哪種證明方法，變換圖形，構(gòu)造不同的圖形面積，利用數(shù)形結(jié)合的思想在證明的過程中起著決定性的作用。

3.1.1 畢達哥拉斯的證法(見圖1)

從圖上就可以看出，畢達哥拉斯的證明方法比較直觀，簡單易懂。西方一些學者認為，畢達哥拉斯是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理并進行證明的人，但是，因為時間太過于久遠，這種證明方法只是一些學者按照畢達哥拉斯的思路，推導出來的證明方法，至于真實性，還有待進一步驗證。

3.1.2 趙爽弦圖(圖2)

在初中階段，不規(guī)則圖形面積求解問題主要依靠兩種方法：分割、拼補，即把要求解的面積分割或拼補成常見的圖形，再利用面積公式即可。趙爽弦圖把這一點體現(xiàn)的淋漓盡致。

趙爽弦圖把數(shù)學面積的求解方法體現(xiàn)的淋漓盡致，體現(xiàn)了是我國古代數(shù)學家的聰明才智，是我們炎黃子孫永遠的驕傲。

(3)美國第20任總統(tǒng)加菲爾德的證法(圖3)

3.2 未知與已知之間的轉(zhuǎn)化，化陌生為熟悉。在學習的過程中，學生一般學習的都是新知識，如何做到新舊知識之間的銜接是一個重點，也是很多課程的難度。下面以《平行線的判定》為例，展示這位教師在上課的過程中如何體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想。

教師：通過上節(jié)課的學習，我們知道了平行線的定義和平行公理，怎么判斷平面內(nèi)兩條直線是否平行？

學生：從定義出發(fā)，看這兩條線是不是相交！

教師：同學們說的非常好，但是大家想一想，直線具有無限延伸性，所以，在實際操作中利用定義是不是有一定的難度？有沒有簡單的方法呢？誰能想起來，在小學時，大家是怎么畫平行線的？

學生上臺演示

教師：非常好，請同學們想一下，剛才這個過程能抽象為我們最近學習的什么圖形？假設(shè)直尺所在位置為直線c，與直線a 交點為G,與直線b交點為H，那這個過程可以抽象為什么圖形？

學生：三線八角。

教師：在這個過程中,三角板的起點和終點分別是哪個位置？

學生：∠1和∠5。

教師：那∠1和∠5之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系？

學生：相等！

繼而教師又發(fā)問：它們又存在什么樣的位置關(guān)系？對，同位角，那我們能不能說，剛才在過點P作直線b的平行線直線a時，首先保證了∠1=∠5，也就是保證了同位角相等之后才推出了兩直線平行，好，我們該怎么用數(shù)學語言敘述這一事實呢？

學生：當平面內(nèi)兩條直線被第三條直線所截時，如果同位角相等，那么兩直線平行。

教師：對于這句話，可以簡單的說為，同位角相等，兩直線平行。好，剛才我們是利用同位角相等得到兩直線平行，類比這個結(jié)論，能不能提出這樣的猜想，內(nèi)錯角相等，兩直線平行？如果能，該怎么證明？

學生甲：能，我們可以還以這幅圖為例，如果內(nèi)錯角相等，就是圖中的∠3=∠5，又因為∠3=∠1，所以我們能得到∠1=∠5，利用剛剛學過的同位角相等，兩直線平行就得到了直線a平行于直線b。

教師：非常好，在剛才這個過程中，把其中的內(nèi)錯角相等或者同旁內(nèi)角互補先轉(zhuǎn)化為先學到的同位角相等，也就是把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，這就是一種轉(zhuǎn)化思想。因為這個是根據(jù)內(nèi)錯角∠3=∠5，通過轉(zhuǎn)化為同位角∠1=∠5，得到直線a∥b，所以，通過轉(zhuǎn)化思想，得到一個新的判定定理，內(nèi)錯角相等，兩直線平行！好，我們下節(jié)課的作業(yè)是，圖中的同旁內(nèi)角具有什么關(guān)系，兩條直線是平行的？

很明顯，我們能夠看到，在這節(jié)課的教學過程中，兩處細節(jié)巧妙的體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想。第一是把即將要學的知識與小學時候的平行線畫法和剛學過的三線八角聯(lián)系到一塊，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；第二是把陌生的“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”轉(zhuǎn)化為熟悉的、學過的“同位角相等，兩直線平行”，也是把陌生轉(zhuǎn)化為熟悉。所以，把一些陌生的問題轉(zhuǎn)化為學習過的的問題，可以更好的讓學生學習新知識，達到掌握并且運用的目的。

很多事物的發(fā)展都是有規(guī)律可循的，包括數(shù)學很多章節(jié)的設(shè)置以及數(shù)學思想在數(shù)學課程中的體現(xiàn)。在初中數(shù)學很多章節(jié)中，轉(zhuǎn)化思想都體現(xiàn)的特別明顯。比如在《一元二次方程組的消元》這一課，學習過程中，引導學生先把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學過的一元一次方程，減少未知元的個數(shù)，大大降低了學習的難度。

4 小結(jié)

在初中數(shù)學新課程標準中，對學生在數(shù)學思想方法這一方面學習到何種程度給出了直觀的要求。不管是具體的目標還是要求，讓學生在學習數(shù)學的過程中，鍛煉思維，開拓解決問題的思路和方法，并且在未來的生活中，養(yǎng)成數(shù)學思考的習慣，這才是數(shù)學學習的最終目標。轉(zhuǎn)化思想作為其中數(shù)學思想的精髓，更需要教師在平時的課堂中進行滲透、教育，才能讓學生了解、掌握、運用。所以，這就需要教師達到更高的水平，站在更高的角度，新課標下的教師不僅僅要傳授課本知識，并且要根據(jù)課程或者題目具體情況分析問題，深入淺出，引導學生建立轉(zhuǎn)化思想等一系列重要的思維方法，并且將課堂知識和生活實際建立有有效地聯(lián)系，鍛煉、完善學生的思維方法。

[1] 楊興剛.淺談在初中數(shù)學教學中滲透的幾種數(shù)學思想.快樂閱讀：下旬刊,2012,6.

[2] 劉果.中學數(shù)學中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用[M].讀寫算(教研版)，2012,7.

[3] 徐勝國.直線與圓中常用的數(shù)學思想[D].讀寫算：教育教學研究,2011,10-14.

[4] 張厚璨.心理與教育統(tǒng)計學[M].北京：北京師范大學出版社,1988.

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