開放地問 還需智慧地引

朱宇

從理論上講，開放題因其內容的新穎性，形式的生動性，思維的發散性以及功能的創新性，給了學生以自己喜歡的方式嘗試的機會，有利于創新思維的培養和實踐能力的形成。然而，落實到實踐層面，我們卻很無奈地發現，學生開放的思考卻常常遭遇封閉的評判，原本思路多元、著眼提升發展的開放探索異化成了“一錘定音”的終極裁決，或是淪為同一反復的喋喋不休。為此，教學中不僅要關注問題的開放性，還要關注解答的有效性。下面，以“數的運算”教學中的開放題為例，談一談如何通過智慧的引領，讓開放題取得更大效益。

一、在“根”上著力，讓本質理解更深刻

乘法分配律的本質是乘法意義的拓展和應用，而在實際應用中我們發現，很多學生更多地關注能不能“湊整”使運算簡便，忽略了算式結構變化與運算意義之間的對應關系。因此，開放題的設計要從外形結構特點轉向其內涵的探究，引導學生叩問規律的內涵本質。

基于以上思考，“乘法分配律”課上，我將原先的一道開放題“12.5×9+（ ）×（ ），如果能簡算，可以怎么填？”做了如下改動：請在○內填上運算符號，在（ ）內填上合適的數，使“12.5×9○（ ）”這道算式能夠表示一種運算律。

生1：我的算式是12.5×9+12.5，運用的是乘法分配律。

師：誰知道他說的這個算式表示什么意思？

生2：9個12.5加上1個12.5，結果等于10個12.5。也就是12.5×9+12.5=12.5×（9+1）。

生3：我的算式是12.5×9×8

師：（示意暫停）想一想，這道算式也是運用了乘法分配律嗎？

生3：不是。是乘法結合律。

生4：還運用了乘法交換律。

師：這道算式中也是出現了3個數，為什么不是乘法分配律呢？

生5：因為12.5×9×8表示的是9個12.5的積，再乘8，實際上就是72個12.5。

生6：乘法分配律中一定有乘法也有加法，而乘法結合律只有乘法。

師：如果是“12.5×9+1”，運用的是哪一個運算律？

生7：9個12.5的積，再加上1，雖然有乘，有加，但是沒有相同的數，所以不是乘法分配律。

生8：不是連乘，也不是乘法結合律。

學生對乘法分配律的理解障礙主要表現在容易和乘法結合律混淆，原因在于在整個學習過程中，兩個運算律始終處于分離狀態，并沒有揭示兩者間的內在聯系與區別，所以學生的認知是片段、零散的。在上面的開放提問中，淡化了簡便計算的要求，意在引導學生回到運算意義的原點，在乘法結合律和分配律的比較聯系中把握運算律的本質特征。從反饋情況看，學生不再過多關注外在形式結構變化，而是突出從模型建構的角度理解運算律的意義。填法是多樣的，但是學生的思維始終圍繞運算意義的理解展開。在交流互動中，隨著兩個運算律非本質屬性被不斷剔除，其各自的本質特征不斷被凸顯、展開，自然而然納入到各自的認知結構中。

二、在“序”上著手，讓關鍵內容更通透

“有余數的除法”的學習，出現的最大問題是：學生懂得“余數必須比除數小”的道理，卻不能運用此理對計算過程進行監控，如，38÷5=6……8，這是一道錯誤的算式，用“商×除數+余數”來驗算卻不能發現錯誤。

鑒于此，練習中我設計了這樣的開放題：

（1）有13支鉛筆，每人分（ ）支，可以分給（ ）個人，還余下（ ）支。

（2）□□÷□=6……4，除數可能是（ ），這時，被除數等于（ ）。

（3）□□÷4=□……□，你能寫出幾道不同的算式？

第一題屬于實踐型的練習，以幫助學生進一步理解有余數除法的意義；后面的兩題旨在凸顯余數與除數之間的關聯，讓學生形成“瞻前顧后”的意識。在第（3）題的反饋交流中，師生有這樣一段對話：

師：如果每個□里只填一個數字，你能寫出幾道不同的算式？想一想，再寫下來。

生1：13÷4=3……1。

生2：19÷4=4……3。

生3：37÷4=9……1。

……

師：（對生1）余數還可能是幾？你能按照一定的順序說一說嗎？

生1：13÷4=3……1，14÷4=3……2，15÷4=3……3。余數最大是3。

師：當余數等于3的時候，這樣的算式還有哪些呢？

生2：11÷4=2……3，23÷4=5……3，……

師：觀察這些余數都是3的算式，大家有什么發現？

經過分析，學生發現：有余數除法算式中，余數的大小與商無關，但是必須比除數小。

上例中，教師提供了有余數除法算式的模型，意在強化余數與除數的關聯。然而，由于開放題的思維路徑是發散的，因而學生的回答體現出隨機和無序的特點，不能形成對關鍵內容的聚焦，也缺少對錯誤的深度反思，容易出現一“點”就通、一做就錯的狀況。為此，對來自于學生個體的答案，教師采取了“先列舉，后排序”的策略，引導學生有序思考，通過觀察、比較、分析、推想，聚焦余數與除數的關系，在大腦中形成有余數除法的完整結構。

三、在“意”上著眼，讓數學視野更拓展

“一個數除以分數”算法的探索與理解歷來是教學的一個難點，即使是成績較好的學生，依賴自身的認知水平，恐怕一時也難以理解。為了讓學生理解算理、總結方法，我在教學中把例題教學進行開放式處理，用猜想與驗證激發學生的探究熱情，再借助線段圖作為輔助教學手段，變抽象為直觀，幫助學生理解算理，促進學生對數學知識的轉化與內化，激發學生的學習興趣。

出示：一輛摩托車小時行駛40千米，1小時行駛多少千米？

學生列出了40÷以后，我先讓學生估計一下商的大小，然后讓學生嘗試計算。大部分學生的計算過程與書中的差不多，即40÷=40×=60（千米）.

師：你能用自己的方法說明40÷為什么等于40×嗎？

生1：我們已經學過分數除以整數，等于分數乘以整數的倒數，所以我猜想40÷也行。

師：整數就是特殊的分數。

生2：40÷=（40×）÷（×）=40×÷1。

師：你運用了商不變的規律。

生3：可以從圖上看出來。如果用一條線段表示1小時走的路程，把它平均分成3份。2份是40千米，1小時有3份，3÷2=，所以1小時走多少千米就是求40的是多少。

師：你不但看到了、，還想到了、，想象力真豐富！

算法不是老師硬塞給學生的，多樣化的解釋豐富了學生對法則的理解，學生以他們自己的語言解釋著、建構著，教師畫龍點睛的提煉之語讓全班學生的認知逐漸清晰。

再如，“分數四則混合運算”教學中，教師讓學生陳述“整數的運算律適用于分數”的理由，意在讓學生結合自己的經驗推想運算律的適用性。有學生用舉例驗證的方法分別驗證加法運算律和乘法運算律，還有學生對照用字母表示的運算律，根據字母能夠表示數的特點解釋“用字母表示，數變了，規律不變”。在教師引導下，全體學生主動遷移，深刻感悟運算律始終是不變的，只是它們所代表的數域發生了改變，系統的知識體系得以順利建立。

開放地“問”只是為學生思維發展和能力提升提供了一種可能，教師不但要重視開放題的利用價值，創新使用，更要重視其使用效果的反饋評價，或點撥矯正，或補充明晰，或提煉發展，通過智慧地“引”促進學生有序有效地思考，從知識本質、解題策略和數學思想方法上進行提升。