從平衡的角度認識分式

張丹（湖北省十堰市竹山縣寶豐鎮寶豐中學）

從平衡的角度認識分式

張丹
（湖北省十堰市竹山縣寶豐鎮寶豐中學）

分式的認識和運算在初中數學課程中占有重要的地位，以平衡這一概念為邏輯起點，可以更為方便有效地促進學生學習效果的改善與提升。從分式的約分、公分、加減乘除四則運算等角度進行分析，探究以平衡為基本概念的學習方法和技巧。希望通過這一嘗試和探究，為相關的教學活動提供一定的參考和借鑒。

分式；平衡；學習方法；數學運算

從某種角度分析，分式是高等數學運算的重要基礎。如何有效地將分式的概念和運算規則等介紹給學生，是教學過程中最為本質的問題。面對繁復多樣的分式，許多學生感到眼花繚亂，不知從何入手進行分解和計算。實際上，從平衡的角度出發，許多看似復雜紛亂的分式，都可以迎刃而解。

一、借助平衡概念去分析約分過程

在了解分式的基本概念之后，對分式進行約分成為一項基本的鍛煉。實際上約分的本質過程就是將分子與分母之間的相同因數相除，精簡分式的表現形式。而其中最為根本的原則就是保持分式的值沒有發生改變，也就是始終保持了平衡，分子與分母之間的比例關系恒定。所謂“萬變不離其宗”，不管如何復雜的分式，在進行約分的過程中，只要盡可能地去尋找分子與分母之間的相同因數，并同時除去，則約分一定會徹底完成。針對約分過程中出現的幾種基本類型，教師可以與學生共同歸納，將“單項式/單項式、單項式/多項式、多項式/單項式、多項式/多項式”幾種類型進行逐一分析，可以保證分式的“值”不變，也就是保證了“分數線的平衡”。比如，針對分式，教師在引導學生進行約分時，需要從“字母”“常數”“因式”“指數”“正負數”等幾個維度進行綜合考慮，每一項都要兼顧到，每一項都完成對應的分析與運算，則仍然保證分式的平衡。對于多項式而言，也同樣適用，通過化繁為簡的方式，利用“括號”的方式，將每個具有相同因數的項進行分解，然后通過平衡的概念進行相應的運算，結果自然會得出。

二、通過平衡概念去處理加減運算

相對應約分而言，通過平衡概念實現通分活動，并以此為基礎進行加減運算，則顯得更為復雜，當然也相對更為有趣。在處理通分的過程中，實際上對于學生而言最困難的仍然時“平衡”概念的掌握。分母不同的兩個分式之間，如果需要進行加減運算，則必須經過通分，保證分母相同。通過計算最小公分母，完成分式中相應分子的變化過程。在這里需要突出強調的就是“每一個分子的變化與其分母都是同步，同值的”，也就是說仍然要保證通分之后，每個分式的值始終不變。這也就是強調“平衡”這一根本概念。比如在計算的過程中，需要完成通分的首要步驟就是尋找最小公分母，由于兩個分式的分母沒有任何相同因式，則只能進行分母相乘，完成通分。而這個過程中最重要的就是保證分子也同時乘與分母相同的因數，仍然保證分式的值沒有發生任何變化。換個角度分析，兩個獨立的分式無論如何變化，始終不變的是分子與分母的比值。掌握這一平衡概念，則只需要按照四則運算的法則，逐步計算就可以了。平衡概念非常容易理解，但是在實際應用中，卻經常為學生所忽略，因此，教師在日常教學活動中，應當有意識地進行滲透和強化，使其在每個環節和步驟都牢記平衡的概念。

三、依托平衡概念去解決指數問題

分式的乘除運算相對來講更為復雜，但是從平衡的概念出發，仍然不過是改變了運算的方法罷了，每個分式在參與運算之前，無論經過何種形式變換，其值始終不變。比如對進行運算的過程中，教師同樣需要引導學生從平衡的角度去考慮解決問題的方法與路徑。類似這樣的運算實際上最主要的運算過程在于指數的變化。每一次指數的變化一定要保持平衡，分子與分母同時增加或消減相應的指數。該題中，分子與分母本身就是x、y，那么運算時，將x、y看作常數，無需考慮，而指數則進行加減乘除活動。最終的計算變為分子與分母指數的加減活動，可以順利得出結果。平衡概念在分式的乘除運算中除了簡單的單項式中字母指數的加減乘除外，對于更為復雜的多項式也同樣適用，不過是將作為除數的多項式分子與分母位置對調，最后與作為被除數的分式進行分子與分子相乘，分母與分母相乘的結果，最終再通過約分，獲得最簡值的結果。

在初中的分式學習過程中，平衡是一個最為基本也最為重要的概念，教師需要在教學過程中堅持這一原則，并反復向學生強化這種概念，在堅持這一概念的基礎上，剩余的運算活動就會變得非常初級和簡單。在進行平衡概念的宣傳與介紹過程中，教師應盡量避免簡單枯燥的連續重復，而應根據不同的情況靈活介紹給學生，力求使學生在輕松愉快的氛圍內掌握這一概念。

曹瑩瑩.參與意識在初中數學教學中的培養［J］.中國科教創新導刊，2013（15）.

·編輯 姚曉媛