分類討論思想在初中數學解題中的應用管窺

王婷

數學是我國初中階段教學中較為復雜的一門學科，其具有嚴密的邏輯特點，是學生學好其他科目的基礎. 初中數學教師要立足課本，根據學生的實際情況制定符合學生身心發展特點的教學方法，通過激發學生的興趣來提高學生的數學成績. 分類討論思想是當前初中數學最主要的一種思想，不僅是學生學習的難點，同時也是考試的重點. 因此，初中數學教師要重視分類討論思想，在課堂教學中加強這一思想的教學，課下多布置分類討論思想的習題，使學生熟練掌握并運用分類討論思想.

1. 初中數學中分類討論思想應用原則

1.1 同一性與相稱性原則

對于初中數學來說，教師首先要引導學生明確分類討論的對象，只針對有特性的對象進行分類，不需要分類所有的對象，且分類時要運用同一標準，分清楚主次. 例如，在講解三角形分類知識時，很多學生會將三角形分成鈍角、直角、銳角、等腰、等邊三角形等，而這種分類方法卻是錯誤的，既利用邊進行分類，又利用了角.

1.2 互斥性與多層次性原則

互斥性是指進行分類后的對象，其子項要互相排除，同一個子項中不可能包含相同的事物. 如，初二某班級中總共7名學生參加了球類與田徑比賽，其中有4名學生參加球類比賽，5名學生則是田徑比賽；這就說明在7名學生中有同時參加兩項比賽的學生，且是2名，不能將這7名學生簡單的分為球類與田徑比賽兩類，否則會犯邏輯性錯誤. 在解初中數學題目時，會遇到某些復雜的題目，部分情況下可采用“二分法”，根據對象的層次性將其逐層分類.

2. 分類討論思想在初中數學中的應用

2.1 分類討論思想在方程中的應用

學生可通過消元、轉化、位移等方法解方程，然而，大部分學生會忽視方程的局限性問題，如：含絕對值的方程，其未知數的取值范圍不是全體實數.

初中數學教師要引導學生全面的思考、分析問題并進行正確的解題. 如：七年級教師在講解“一元一次方程”這一章節內容時，可在黑板上寫出|3 - x| + |x + 2| = 5這一方程，同時引導學生思考解含絕對值的方程的方法，首先將絕對值里面的公式分為三類：正數、負數和零. 初中數學教師要利用分類討論思想思考這一問題，分別對方程中的兩個公式|3 - x|與|x + 2|分類討論，公式|3 - x|有x > 3，x < 3，x = 3三種情況，且公式|x + 2|也有三種情況：x > -2，x < -2，x = -2，并將x的范圍畫在數軸上，結合數軸將原方程轉化為三種形式. 第一，當x > 3時，|3 - x| < 0，|x + 2| > 0，原方程可轉化為-（3 - x） + x + 2 = 5，通過解方程可得x = 3，與假設x > 3不符，故x > 3時原方程無解. 第二，當-2 ≤ x ≤ 3，|3 - x| > 0，|x + 2| > 0，原方程可轉化為3 - x + x + 2 = 5，方程恒成立，故-2 ≤ x ≤ 3時，x為全體實數. 第三，當x < -2時，|3 - x| > 0，|x + 2| < 0，原方程可轉化為3 - x - （x + 2） = 5，通過解方程可得x = -2，與假設x < -2不符，故x < -2時原方程無解. 初中數學教師可引導學生運用分類討論思想進行問題的分析，并根據具體問題進行合理的分類，進而達到提高數學成績的目的.

2.2 分類討論思想在圓中的應用

圓的對稱性、圓與直線、圓與正多邊形、圓與圓之間的關系都是初中數學教學的重點內容. 分類討論思想是解決圓的對稱性以及圓的位置關系的重要且常用的解題方法，這種解題思想更能夠培養初中學生的數學思維，學生可將題目中的變量找出，并根據圖形之間的關系進行解題.

例如，初中數學教師在講解“圓的對稱性”這一章節內容時，首先為學生講解課本上的例題：已知兩個相交圓的半徑分別為5 cm和4 cm，其公共弦長為6 cm，根據已知條件解出兩圓的圓心距. 通過判斷分析可知該圖形具有不確定性，要利用分類討論思想解答這道問題；由于圓具有對稱性，因此該公共弦有可能位于兩圓心之間，也可能位于兩圓心的同側. 根據判斷可分為兩種情況，第一，當公共弦位于兩圓心之間時，根據已知條件解出兩圓的圓心距為4 + ；第二，當公共弦位于兩圓心同側時，根據已知條件解出兩圓的圓心距為4 - . 這種運用分類討論思想分析、解答數學問題的過程，能夠培養學生的思維能力，提高學生獨立解決問題的能力，符合初中學生的身心發展特點.

2.3 分類討論思想在三角形問題中的應用

對于初中學生來說，有些復雜的三角形問題，也會用到分類討論思想. 當題目所給的已知條件不能夠用一般方法解答時，只有運用分類討論思想才能解出來，如已知某等腰三角形的兩條邊的長度，求該三角形的周長與面積. 由于不知道三角形的腰與底邊長到底是哪個，需要運用分類討論法進行假設. 例如：已知某直角三角形的兩條邊長分別為4 cm與3 cm，求出該直角三角形第三條邊的長度. 第一，三角形兩直角邊為4 cm與3 cm，可得第三條邊為5 cm；第二，三角形的斜邊長度為4 cm，一直角邊為3 cm，另一直角邊為cm.

分類討論思想是初中數學解題的關鍵，初中學生要明確掌握分類討論思想的技巧，能夠根據統一的標準科學合理地進行對象分類，并根據分類逐步解出數學問題. 加強初中生運用分類討論思想，能夠培養學生的數學思維，提高學生獨立思考、解決問題的能力.