銳角三角函數錯題分析

盧定波

在求銳角三角函數值時，有的同學由于對銳角三角函數的定義理解不清，或特殊角的三角函數值混淆，或胡編亂湊，或在非直角三角形中直接求解，或想當然，或審題錯誤等，易出現一些自己察覺不到的錯誤，走進了解題的誤區.為了讓同學們不重蹈覆轍，現舉例加以剖析，幫同學們學好這一重要知識點.

一、 定義理解不清

【錯解】cosA==，選擇C.

【分析】學生誤認為cosA=而出錯.

【正解】∵△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，根據勾股定理AC==4，∴cosA==.故應該選擇D.

二、 特殊角的三角函數值混淆

例2 計算cos30°的值是______.

【錯解】cos30°=×

=.

【分析】特殊角30°的正弦值與余弦值混淆不清. 熟記三角函數的特殊值是解題的關鍵.三角函數如下表：

【正解】cos30°=×=.

三、 胡編亂湊出錯

例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，則sin=_______.

【錯解】因為sinA===，所以sin=.

【分析】本題錯在將∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦值的一半.實際上，∠A的一半的正弦值與∠A的正弦值的一半是不相等的.如sin90°=1，而sin45°=，而不等于1的一半.本題正確的解法是先求得的值，然后再求其正弦值.

【正解】因為sinA===，所以∠A=60°，所以=30°，所以sin=.

四、 在非直角三角形中直接求解出錯

例4 在如圖2所示的4×8網格中，每個小正方形的邊長都是1，點A、B、C在格點上，則tan∠CAB=_______.

【錯解】由勾股定理得BC==5，AB=3，tan∠CAB==.

【分析】錯解忽略了求一個銳角的三角函數必須將這個角放在直角三角形中進行求解這一前提條件，而△ABC是非直角三角形.

【正解】過點C作CD⊥AB交AB的延長線于點D，如圖3所示.在Rt△ADC中，CD=4，AD=6，

所以tan∠CAB===.

五、 想當然出錯

例5 已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別a、b、c，且a=13，b=12，c=5，求sin∠B.

【錯解】根據銳角三角函數的定義知sin∠B==.

【分析】從sin∠B=>1來看，計算是錯誤的，分析錯解的原因，主要是受思維定勢的影響，不能靈活應用銳角三角函數的定義.要求sin∠B的值，需要先確定△ABC是否直角三角形，如果是，應先確定直角和∠B的對邊，然后再利用定義求解.

【正解】因為b2+c2=a2，所以△ABC為直角三角形且∠A=90°，所以sin∠B==.

六、 審題出錯

例6 如圖4，在菱形ABCD中，DE⊥AB于點E，cosA=，BE=4，則tan∠DBE的值是_______.

【錯解】在Rt△ADE中，cosA==，所以AE=3，AD=5，由勾股定理得DE=4.所以tan∠DBE==.

【分析】直角三角形三邊的比是3∶4∶5，不一定三邊的長分別就是3，4，5.而是設三邊的長分別為3x，4x，5x，再利用其他條件進行求解比較合適.在本題中，由cosA==而“牽強”地認為AE=3，AD=5，這是錯誤的. 本題的另一錯誤是誤認為tan∠DBE=，把求tan∠DBE當作求tan∠DAE.

【正解】∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB，

∵cosA=，BE=4，DE⊥AB，

∴可設AD=AB=5x，AE=3x，

則5x-3x=4，x=2，

即AD=10，AE=6，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：

DE==8，

在Rt△BDE中，tan∠DBE===2.

（作者單位：江蘇省鹽城市大豐區大中鎮新團初級中學）