江蘇省南通市2015年數學中考壓軸題解法之我見

顧徐亞

[摘要]本文對江蘇省南通市2015年數學中考第28題進行了深度解析，其中重點分析了第（2）問的三種解法，從不同的思維角度探討了該問題的普通解法和特殊解法，目的是找到壓軸題的一般解法和教法.

[關鍵詞]生態教學；數形結合

試題已知拋物線y=x²-2mx+m²+m-1（m是常數）的頂點為P，直線Z：y=x-l.

（1）求證：點P在直線l上.

（2）當m=-3時，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，與直線l的另一交點為Q，M是x軸下方拋物線上一點，∠ACM=∠PAQ，求點M的坐標.

（3）若以拋物線和直線Z的兩個交點及坐標原點為頂點的三角形是等腰三角形，直接寫出所有符合條件的m的值.

簡析本題以二次函數相關知識為背景，在知識層面考查學生對二次函數的頂點式的理解，如何用配方法求二次函數的頂點坐標，如何確定一個點是否在函數圖象上；在方法層面考查了二次函數的公式法、配方法、一元二次方程的解法等；在思想層面考查了數形結合、分類討論、方程等思想；在思維品質方面著重考查了學生思維的敏捷性、深刻性和獨創性.本題設計思路較為新穎，解法多樣，其中第（2）問的解決與否與第（3）問沒有任何聯系，考查了學生的生態解題能力.總之，這道題對學生數學素養的考查是多向的，區分度很強，是一道較好的壓軸題，

解法

問題（l）：解法1：利用配方法配成頂點式y=（x-m）²+m-l，所以P（m，m-l）.將點P的坐標代入y=x-1中可知左、右兩邊相等，故點P在l上，

解法2：利用頂點坐標公式直接算出頂點坐標，從而代人檢驗（此處可以算出頂點橫坐標后，將其代入二次函數解析式算出頂點縱坐標亦可）.

問題（2）：解法1：如圖2，作PF⊥x軸于點F，作QG⊥x軸于點G，作ME⊥y軸于點E，由題意可得當m=-3時點P（-3，-4），Q（-2，-3），A（-5，0），B（-1，0），C（O，5）.

由以上各點的坐標易得∠QAG=45°=∠A CO=∠CAD.

因為∠ACM=∠PAQ，

所以∠QAG+∠PAQ+∠APF=∠ACO+∠ACM+∠ECM=180°.

所以∠APF=∠ECM.

又∠AFP=∠CEM=90°，

所以△AFP∽ △MEC.

所以

設點M（a，a²+6a+5），則AF=2，PF=4，ME=-a，CE =5-（a²+6a+5）=-a²-6a，代入上式解得a₁=0（舍），a₂=-4，從而得到M的坐標為（-4，-3）.

解法2：如圖3，將上述坐標均標記到網格中，利用網格的特性可以快速找到答案.當∠ACM=∠PAQ時可以發現此時直線CM恰好過點N（CN為右上角矩形的一條對角線），而N點的坐標為（一1，3），由此可以求出直線CN的解析式，進而與二次函數聯立方程組求出M點的坐標.

解法3：如圖4，由所解得的坐標易得△APQ為直角三角形且兩條直角邊之比為1：3.

故可由點A向直線CM作AH⊥CM于點H，過點H作HD⊥y軸于點D，過點A怍AI⊥DH-點I.

因為∠ACM=∠PAQ，又∠AQP=∠AHC=90°.

所以△AQF∽△CHA，從而有AH：HC=1：3.

又由所作圖形易得△AIH∽△HDC， 所以

不妨設點I（-5，y），則HD=-3y，HI=5+3y，CD=15+9y，從而有OD=AI，即15+9y-5=-y，解得y=-l.得日（-3，-1）進而可求直線CM的解析式，再求點M的坐標，

問題（3）：由（1）的點P的坐標為（m，m-1），再求得點Q的坐標為（m+l，m）. 進行分類討論，如：①OQ=OP；②PO=PQ；③QO=QP

利用兩點間距離公式列方程求解即可.

所要特別說明的是本問題與問題2無任何聯系，學生可根據自己的情況自由作答.

關于壓軸題教學的幾點思考：

壓軸題從來就不是孤立的數學題，它在考查學生的數學綜合素質的同時也在考驗我們數學教師的課堂教學能力、綜合駕馭知識的能力，尤其要讓學生能夠在教師的教學中將數學知識吸收消化進而轉變成自己的解題能力，所以在教學時需要做到以下幾點：

（1）化整為零，分散教學.將壓軸題常見的解題方法、思想進行總結歸類，在平時的教學中逐步滲透，幫學生進行知識的梳理和歸類，讓他們形成一種規范，一方面減輕了學生過重的學業負擔，另一方面又能大幅度地提高學生的解題能力.

（2）先易后難，生態教學，本道考題的最后一問與學生難以突破的第（2）問沒有任何關聯，但反饋的信息表明大部分學生并沒能跳過第（2）問直接解決最后一問，說明我們教師在教學時需要有意識地引導，甚至必要時強制放棄部分難題而去先完成較為簡單的問題.事實上，學生在解決較容易題之后也能更好地投入到難題的思考中去，一方面思維越練越活躍，另一方面容易題都解決后去做難題也無后顧之憂，學生更能夠全力以赴.

（3）數形結合，并聯教學.本題的第（2）問是學生最難以突破的一個問題.筆者提供的三種解答中，自己最欣賞的還是第二種，究其原因，不僅是這種方法最簡單，更是因為這種方法才是真正的數形結合.筆者認為真正的數形結合是使數學簡單化而非復雜化.所以我們教師在教學時需要有意識地將數與形的教學齊頭并進、彼此聯系著進行對比教學，讓學生有選擇地去弄清數與形的關系，從而形成一種什么時候用“數”，什么時候用“形”的一套自己掌握的法則.

（4）重點知識，反復教學，二次函數的教學歷來是初中數學的重頭戲，其教學的成功與否關系到初中數學學習的成功與否，所以必須不惜時間與代價全力以赴做好該知識點的教學與訓練，教學中需要教師做到二次函數的配方法、頂點式、對稱性、待定系數法等知識點的反復練習，使學生達到熟能生巧的程度.endprint