自由度等于1的χ測驗與u測驗的數學關系

辛淑亮++++郭新梅

摘 要： 針對統計教科書上χ■測驗與u測驗關系模糊不清的情況，本文用3個事例進行了χ■測驗、矯正的χ■■測驗、u測驗、矯正的u■測驗.結果表明，對于k=2和2×2的次數資料，自由度df=1時，可以用χ■測驗；也可以用u測驗.數學關系為：χ■=u■；χ■■=u■■；χ■■=χ■■；χ■■=u■■.

關鍵詞： 假設測驗 自由度 χ■測驗 u測驗

在科研實踐中，許多試驗結果用百分率表示，如殺蟲率、發芽率、坐果率、合格率等.這些百分率系由統計某一屬性的個體數目求得，屬間斷性的計數資料.這類數據假設測驗的方法主要分兩類：百分率數據用u測驗；計數資料用χ■測驗.很多統計學書介紹了相關的假設測驗方法[1-5]，但是都沒有說明兩種假設測驗的關系.同時，我們在使用相關教材時發現書中出現了一些有待商榷的例題.針對這些問題，我們利用相關教材中的例題，對兩種假設測驗的關系進行了數學推導，以明確χ■測驗與u測驗的數學關系.

1.單個百分率測驗與適合性χ■測驗的關系

例1：用基因型純合的糯玉米和非糯玉米雜交，按遺傳學原理，預期F■植株上糯性花粉粒的P■=0.5，現在一視野中檢視20粒花粉，得糯性花粉8粒，問此結果和理論百分率P■=0.5是否相符[1]？

解法1：k=2組次數資料的適合性χ■測驗

假設H■：總體分布符合1∶1，對HA：總體分布不符合1∶1.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

理論次數E■=20×0.5=10

E■=20×0.5=10

χ■=（8-10）■/10+（12-10）■/10=0.8

df=2-1=1

x■■=3.84

統計推斷：實得χ■<χ■■，故概率P>0.05.接受H■：總體分布符合1∶1的理論分布，差異不顯著.

解法2：k=2組次數資料的適合性χ■■測驗

χ■分布是連續性的，而次數資料則是間斷性的.由間斷性資料算得的χ■值有偏大的趨勢，尤其是自由度df=1時，用連續性分布作χ■測驗時，容易發生第一類錯誤.故在假設測驗時，進行連續性矯正，采用矯正的χ■■測驗.

解：假設H■：總體分布符合1∶1，H■：總體分布不符合1∶1.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

χ■■=（|8-10|-0.5）■/10+（|12-10|-0.5）■/10=0.45

df=2-1=1

χ■■=3.84

統計推斷：實得χ■■<χ■■，故概率P>0.05.接受H■：總體分布符合1∶1的理論分布，差異不顯著.

解法3：單個百分率的u測驗

在理論上，這類百分數應按二項分布進行假設測驗.但是，如果樣本容量n較大，p不過小，np和nq皆大于5時，二項分布趨近正態分布.因而，可以將百分數資料做正態分布處理，作近似u的測驗.

解：假設H■∶P=0.5，H■∶P≠0.5.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

■=8/20=0.4

■ ■=■=0.111803

u=（0.4-0.5）/0.111803=-0.89443

u■=1.96

統計推斷：實得|u|0.05.接受H■∶P=0.5，差異不顯著.

解法4：單個百分率的u■測驗

因為二項分布的百分率系由計數某一屬性的個體數目計算得來，屬于間斷性的二項分布.用連續性的正態分布作u測驗時，容易發生第一類錯誤.所以在假設測驗時，進行連續性矯正，采用矯正的u■測驗.

解：假設H■∶P=0.5對H■∶P≠0.5

顯著水平α=0.05

測驗計算：

u■=（|0.4-0.5|-0.5/20）/0.111803=0.67082

u■=1.96

統計推斷：實得u■0.05.接受H■∶P=0.5，差異不顯著.

綜上所述，適合性χ■測驗與單個百分率u測驗的關系：

對于二項分布即k=2的次數資料，自由度df=2-1=1，適合性χ■測驗與單個百分率測驗有如下數學關系：

u■=（-0.89443）■=0.8=χ■

u■■=0.67082■=0.45=χ■■

u■■=1.96■=3.84=χ■■

u■■=2.576■=6.64=χ■■

u■■=χ■■

由此可見，當自由度df=1時，兩尾u測驗與一尾χ■測驗相對應.

圖1 k=2組次數資料和2×2表次數資料的統計方法

2.兩個百分率測驗與獨立性χ■測驗的關系

例2：調查經過種子滅菌處理與未經種子滅菌處理的小麥發生散黑穗病的穗數，得相依表1，試分析種子滅菌與否和發生散黑穗病多少是否有關[1]？

表1 防治小麥散黑穗病的觀察結果2×2表

解法1：2×2表次數資料的獨立性χ■測驗

解：假設H■：獨立，H■：不獨立.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

理論次數E■=76×210/460=34.69565

E■=76×250/460=41.30435

E■=384×210/460=175.3043

E■=384×250/460=208.6957

χ■=（26-34.69565）■/34.69565+（50-41.30435）■/41.30435

+（184-175.3043）■/175.3043+（200-208.6957）■/208.6957

=4.803676

df=（2-1）（2-1）=1

χ■■=3.84

統計推斷：實得χ■>χ■■，故概率P<0.05.否定H■接受H■：不獨立，差異顯著.

解法2：2×2表次數資料的獨立性χ■■測驗

解：假設H■：獨立，H■：不獨立.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

χ■■=（|26-34.69565|-0.5）■/34.69565+（|50-41.30435|-0.5）■/41.30435+（|184-175.3043|-0.5）■/175.3043+（|200-208.6957|-0.5）■/208.6957=4.267135

df=（2-1）（2-1）=1

χ■■=3.84

統計推斷：實得χ■■>χ■■，故概率P<0.05.否定H■接受H■：不獨立，差異顯著.

解法3：兩個百分率u的測驗

解：假設H■：P■=P■，H■：P■≠P■.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

■■=26/76=0.342105

■■=184/384=0.479167

■=（26+184）/（76+384）=0.456522

■=1-0.456522=0.543478

S■=■=0.062536

u=（0.342105-0.479167）/0.062536=-2.19173

u■■=1.96

統計推斷：實得|u|>u■■，故概率P<0.05.否定H■接受H■，兩者差異顯著.

解法4：兩個百分率的u■測驗

解：假設H■：P■=P■，對H■：P■≠P■.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

u■=（|0.342105-0.479167|-0.5/76-0.5/384）/0.062536=2.065705

u■=1.96

統計推斷：實得u■>u■，故概率P<0.05.否定H■接受H■：P■≠P■，差異顯著.

綜上所述，獨立性χ■測驗與兩個百分率u測驗的關系：

對于2×2表的次數資料，自由度df=（2-1）（2-1）=1，獨立性χ■測驗與兩個百分率u測驗有如下數學關系：

u■=（-2.19173）■=4.803676=χ■

u■■=2.065705■=4.267135=χ■■

u■■=1.96■=3.84=χ■■

u■■=2.576■=6.64=χ■■

由此可見，當自由度df=1時，兩尾u測驗與一尾χ■測驗相對應.u測驗的兩尾臨界值與χ■測驗的一尾臨界值相等，即u■■=χ■■.

3.討論

對于例1，在教材中是這樣進行假設測驗的■.

解：假設H■∶P=0.5，HA∶P≠0.5.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

np=20×0.5=10

S■=■=2.19089

t■=（|8-10|-0.5）/2.19089=0.684653

df=20-1=19

t■=2.093

統計推斷：實得t■0.05.接受H■，差異不顯著.

因為根據無效假設，可以計得■ ■.而且已知σ時，無論樣本大小，都可以用u測驗.所以，上述計算中選用t測驗不合適，t■■=0.684653■=0.46875≠χ■■.這里應用S■的計算公式不妥當.下面用事例間接證明.

例3：某食品廠的一條生產線上的產品組成指標為：一級品∶二級品=7∶3.現隨機抽取了20個產品做檢驗，得一級品13個，二級品7個.問其產品組成比例是否達到一級品占70%的生產指標[2]？

對于例3，在教材中是這樣進行假設測驗的[2].

解：假設H■：P≥0.7，H■：P<0.7.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

■=13/20=0.65

■ ■=■=0.10247

u■=（|0.65-0.7|-0.5/20）/0.10247=0.243975

u■=1.645

統計推斷：實得u■0.05.接受H■，差異不顯著.

可以證明，u■■=1.645■=2.706=χ■■，說明u測驗的一尾臨界值u■■與χ■測驗的一尾臨界值χ■■相等，即u■■=χ■■.

4.結論

（1）對于k=2組次數資料，可以用適合性χ■測驗；也可以用單個百分率的u測驗.

（2）對于2×2表的次數資料，可以用獨立性χ■測驗；也可以用兩個百分率的u測驗.

（3）百分率u測驗與χ■測驗的數學關系為：u■=χ■.

（4）百分率矯正的u■測驗與矯正的χ■■測驗的數學關系為：u■■=χ■■.

（5）測驗的兩尾臨界值與χ■測驗的一尾臨界值間，有如下數學關系：u■■=χ■■.

（6）測驗的一尾臨界值與χ■測驗的一尾臨界值間，有如下數學關系：u■■=χ■■.

參考文獻：

[1]蓋鈞鎰.試驗統計方法[M].北京：中國農業出版社，2000：91，135.

[2]王欽德，揚堅.食品試驗統計與統計分析[M].北京：中國農業大學出版社，2010：62.

[3]辛淑亮.現代農業試驗統計[M].北京：中國統計出版社，1999.

[4]莫惠棟.農業試驗統計[M].上海：上海科學技術出版社，1984.

[5]劉權.果樹試驗統計及統計[M].北京：中國農業出版社，1997.

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