淺談三種數學形式間關系對學生思維能力的培養

朱忠

摘 要： 數學具有抽象性、邏輯性和思維性，正是這三種特性決定了數學在當今社會處于主導地位，因此，一方面是知識的教學，另一方面是思想方法的教學，

數學學習的效果和質量，不僅表現在學生深刻而又牢固地掌握系統的數學學科的基礎知識和基本技能，而且表現在通過教學發展學生的數學思維和提高他們的數學能力。由于其自身的特點，它的邏輯體系，以及各部分之間的層次關系，極大地影響著學生思維的發展和能力的提高。

一、何謂數學思維

所謂數學思維是指人腦對事物的本質和事物之間規律性地反映在數學中的具體體現。它是數學認識活動中的核心成分，是對客觀現實中數量關系和空間形式的概括、間接的反映。數學思維過程，是通過分析綜合而在頭腦中獲得對客觀現實數量關系和空間形式全面、本質的反映過程。在分析綜合過程中，運用比較確定事物之間的異同和關系，在此基礎上，概括出具有某些特征的事物，而抽出某種事物的屬性或特征，使它們在思想上和事物本身的其他特征隔離開來，這就是抽象思維。

二、如何發展學生思維、提高數學能力

從現代觀點來看，隨著社會的飛速發展，知識要不斷更新，每個人都需要不斷學習，補充自己，適應不斷變化的形勢。因此，學習不僅僅是在理解的基礎上掌握和記憶所學的知識，更重要的是掌握探索和解決所要認識的問題的方法。這種素質的獲得要與基礎知識的教學緊密結合起來，從學習大量的知識內容中獲得思想方法，發展能力，從反復練習中學會運用這種思想方法和發展能力，這就是為什么在數學教學方法和形式中賦予習題特殊地位的原因。因此，對教師而言，無論采取什么樣的教學手段，達到什么樣的教學目的，都必須選擇一些與教學大綱的學習內容有聯系的習題，使學生通過解題有效地掌握這些內容，從而形成數學思維能力和一定的思想素質。

三、三種數學形式間關系對學生思維能力的培養

這里所說的三種形式是指一元二次方程ax■+bx+c=0，二次三項式ax■+bx+c，以及二次函數y=ax■+bx+c（a≠0）。

1.三種數學形式之間的關系

（1）從式的角度看，ax■+bx+c=0及y=ax■+bx+c為方程式，前者為一元二次方程式，后者為二次方程式，而ax■+bx+c為代數式，是二次三項式。（2）從函數角度看，ax■+bx+c與y=ax■+bx+c為二次函數，ax■+bx+c=0為方程。從函數定義上講，對于ax■+bx+c，x為一變量，ax■+bx+c為另一變量，且ax■+bx+c隨x的變化而變化，即一個代數式是其中變量的函數。即ax■+bx+c為x的二次函數，如5x■+3x+2是x的二次函數，而y=ax■+bx+c顯然y是x的二次函數。可見，著眼函數ax■+bx+c與y=ax■+bx+c是完全相同的函數，就會在坐標系中出現同一圖像，只不過ax■+bx+c是用代數式表示函數的關系，而y=ax■+bx+c是用數學解析式表示的函數關系。（3）從函數的圖像來看，ax■+bx+c=0，ax■+bx+c與y=ax■+bx+c三者處在同一圖像系統之中，這是三種數學形式是這樣的密切和融洽，把不同性融于統一性中。（4）從三者的值來看，ax■+bx+c與y=ax■+bx+c當x取全體實數時有無數個值，而ax■+bx+c=0在x取特定值時只有一個零值，在b■-4ac≥0時，ax■+bx+c=0的值是y=ax■+bx+c或ax■+bx+c眾多的函數值中的一個值，當然，當b■-4ac<0時，ax■+bx+c與y=ax■+bx+c繼續存在，而ax■+bx+c=0就無意義了。

2.理清三者關系的必要性

三種數學式在初三數學中連續出現，既有方程又有代數式，既有函數又有圖像，在初中學生思維發展上有必然性，但三種數學形式相似及概念的繁雜，給初學者的理解及實際操作上帶來了困惑，而這三種數學形式又是初中代數的重點內容，因此及時對學生進行三種關系的滲透，既是完成數學任務不可缺少的一環，又是學生思維能力培養的客觀要求。

3.三者關系對思維能力的培養

（1）對抽象概念能力的影響。要理解三種數學形式的關系，首先必須了解三種數學形式的概念，這三種概念都是從具體的內容中抽象出來的，而初中生是能夠在概念及案件里一般性的聯系和從屬關系。在學習三種數學形式時，既要在一定程度上依靠三種數學形式的具體事例，又要注意引導學生的思維逐漸擺脫哪些具體的例子，這樣對于培養學生的抽象思維是大有好處的。（2）對思維理解能力的影響。ax■+bx+c=0、ax■+bx+c、y=ax■+bx+c是初中數學的重要內容，尤其是ax■+bx+c=0貫穿了初中數學的始終，它的出現打破了初三以前一個方程只有一個根的思維定勢，其解讓我們看到了事物的多樣性和相似性，同時也讓我們看到決定一個方程根的真正因素是方程自身，是內因。很大程度上一元二次方程是為ax■+bx+c及y=ax■+bx+c的出現做鋪墊的。

總之，從初中生的思維發展規律來看，理清三種數學形式間的關系，是必要的，也是重要的。初中時期是學生思維發展的關鍵期，我們應及時有效地了解和把握這一時期，為學生的發展打下堅實的基礎。