極限思想在高中物理中應(yīng)用的思考

林紹湄

高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)明確提出通過(guò)物理概念和規(guī)律的學(xué)習(xí)過(guò)程，了解物理學(xué)的研究方法，認(rèn)識(shí)物理實(shí)驗(yàn)、物理模型和數(shù)學(xué)工具在物理學(xué)發(fā)展過(guò)程中的作用。考試大綱指出：高考物理在考查知識(shí)的同時(shí)注重考查能力，并把對(duì)能力的考查放在首要位置。

2015年我省高考回歸全國(guó)卷的懷抱，新的高考給我們帶來(lái)新思考，也給高考復(fù)習(xí)帶來(lái)新要求。我打開(kāi)了多年來(lái)的全國(guó)高考新課程標(biāo)準(zhǔn)理科綜合試卷，翻開(kāi)了新的考試大綱，開(kāi)始了忙忙碌碌，學(xué)習(xí)、培訓(xùn)、研討……

一個(gè)重要的物理學(xué)的研究方法——極限的思想引起了我極大的關(guān)注。極限的思想是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。對(duì)于要確定的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量，最后用極限計(jì)算得到結(jié)果。

新教材是十分重視極限的思想方法。在教材必修一第3節(jié)《速度和加速度》講解瞬時(shí)速度：當(dāng)位移足夠小（或時(shí)間足夠短）時(shí)，小球的速度變化很小，可以認(rèn)為小球在這段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)是勻速的，所得的平均速度就可以用來(lái)描述小球經(jīng)過(guò)o點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)快慢，即可近似看成經(jīng)過(guò)o點(diǎn)的瞬時(shí)速度。這是高中物理第一次接觸到極限的思想；用光電門(mén)測(cè)速度——用平均速度代表瞬時(shí)速度也是滲透極限的思想；在用v-t圖像推導(dǎo)圖像與軸圍成的面積代表著運(yùn)動(dòng)的物體的位移，推導(dǎo)出勻變速運(yùn)動(dòng)位移公式，明確指出推導(dǎo)中用到了微積分的思想，即無(wú)限分割，逐漸逼近真實(shí)狀況。在物理學(xué)的研究中常常用到這思想，也就是極限思想；在課后習(xí)題：從一張照片估算照相機(jī)的曝光時(shí)間；在教材拓展一步中：利用圖像怎樣計(jì)算變力做功采用了極限的思想。可以這么說(shuō)新教材在教學(xué)方式上采取多樣化的形式，在教學(xué)內(nèi)容上進(jìn)行系統(tǒng)化的布局充分體現(xiàn)了極限的思想在物理學(xué)中的應(yīng)用。

極限的思想在新課標(biāo)高考全國(guó)卷的出現(xiàn)是一種信號(hào)，也給我們帶來(lái)了新思考和啟發(fā)。2013年新課標(biāo)高考全國(guó)Ⅰ卷中第22題：

圖（a）為測(cè)量物塊與水平桌面之間動(dòng)摩擦因數(shù)的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖。實(shí)驗(yàn)步驟如下：①用天平測(cè)量物塊和遮光片的總質(zhì)量M.重物的質(zhì)量m：用游標(biāo)卡尺測(cè)量遮光片的寬度d；用米尺測(cè)最兩光電門(mén)之間的距離s；

②調(diào)整輕滑輪，使細(xì)線水平：

③讓物塊從光電門(mén)A的左側(cè)由靜止釋放，用數(shù)字毫秒計(jì)分別測(cè)出遮光片經(jīng)過(guò)光電門(mén)A和光電門(mén)B所用的時(shí)間△t和△t，求出加速度a；

④多次重復(fù)步驟③，求a的平均值；

⑤根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求出動(dòng)擦因數(shù)μ。

在求加速度a時(shí)，就是利用了極限的思想。

再看2013年新課標(biāo)高考全國(guó)Ⅰ卷中第25題：如圖，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L(zhǎng)。導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面。在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過(guò)程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開(kāi)始下滑，求：

（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系；

（2）金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系。

這道題的部分標(biāo)準(zhǔn)答案是：設(shè)在時(shí)間間隔（t，t+Δt）內(nèi)流經(jīng)金屬棒的電荷量為ΔQ，按定義有i=，ΔQ也是平行板電容器極板在時(shí)間間隔（t，t+Δt）內(nèi)增加的電荷量。由4式得ΔQ=CBLΔv式中Δv為金屬棒的速度變化量，按定義有a=。這種方法正是新教材中的極限思想。

極限思想在進(jìn)行某些物理過(guò)程的分析時(shí)，具有獨(dú)特的作用，恰當(dāng)應(yīng)用極限思想方法能提高解題效率，在解決一些特殊的物理問(wèn)題時(shí)，靈活利用極限法可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，思路靈活，判斷準(zhǔn)確，大大提高解題速度。解題者不僅要具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Γ乙哂胸S富的想象能力，從而達(dá)到事半功倍的效果。

2012新課標(biāo)Ⅰ卷第24題：拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具（如圖）。設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可以忽略；拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g，某同學(xué)用該拖把在水平地板上拖地時(shí)，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ。

（1）若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大小。

（2）設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的水平推力與此時(shí)地板對(duì)拖把的正壓力的比值為λ。已知存在一臨界角θ，若θ≤θ，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。求這一臨界角的正切tanθ。

其中第二問(wèn)若采用常規(guī)解法，必須先分析題中所給條件，再根據(jù)物理規(guī)律寫(xiě)出物理量間的關(guān)系，列出函數(shù)表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)知識(shí)予以判斷解答，過(guò)程復(fù)雜。采用極限法，直接讓F取無(wú)限大，即F？垌mg，則重力可以忽略不計(jì)，要想不發(fā)生滑動(dòng)則Fsinθ≤λFcosθ，易解得tanθ≤λ。θ是題中所定義的臨界角，所以有臨界角的正切為tanθ=λ。用“極限法”解題，通過(guò)尋找極端情況使解題過(guò)程的主要因素或物理量的發(fā)展趨勢(shì)迅速顯露出來(lái)，簡(jiǎn)單明了，避免了復(fù)雜的推理運(yùn)算。

通過(guò)上題分析我們可以發(fā)現(xiàn)，利用極限法大大提高了解題速度。當(dāng)題干中所涉及的某段物理過(guò)程研究的物理量的變化應(yīng)是單一時(shí)，要用該辦法解題較為簡(jiǎn)捷。用極端思想法分析問(wèn)題，關(guān)鍵在于將問(wèn)題推向什么極端，采用什么方法處理。具體來(lái)說(shuō)，首先要求待分析的問(wèn)題有“極端”的存在，然后從極端狀態(tài)出發(fā)，回過(guò)頭來(lái)再分析待分析問(wèn)題的變化規(guī)律。其實(shí)質(zhì)是將物理過(guò)程的變化推到極端，使其變化關(guān)系變得明顯，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的快速判斷。

新教材中的極限思想，給了我們新的視野、新的思路、新的方法。