馬小蕓

最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是一類綜合性較強的問題,它貫穿初中數(shù)學(xué)的始終,是中考熱點問題.它主要考查學(xué)生對平時所學(xué)內(nèi)容的綜合運用,在生活實際中常要考慮在一定條件下怎樣使成本最低,消耗最少,收益最大,方案最優(yōu),行走路徑最短,周長面積最小等問題.這類生活問題一般可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)或線段的最小值或最大值的數(shù)學(xué)問題,通過這類問題的解決可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.下面就初中數(shù)學(xué)中有關(guān)最值問題一些常用方法做舉例介紹.
一、利用軸對稱性求最值
例1:如圖,A點是半圓上一個三等分點,B點是弧AN的中點,P點是直徑MN上一動點,⊙O的半徑為1,求AP+BP的最小值.
求某些幾何圖形中的線段的和的最小值時,可采用軸對稱變換的方法將其中一條線段變換,進(jìn)而把兩條線段合并成一條線段從而求出最值.
解析:可利用兩點之間線段最短求AP+BP的最小值.因為圓是軸對稱圖形,作點A關(guān)于直徑MN的對稱點C,連接BC交MN于P點,連接OB、OC,由∠BOC=90°得BC=,故AP+BP的最小值
例2:如圖,已知直線y=-3x+3與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y=ax+bx+c經(jīng)過點A和點C,對稱軸為直線l:x=-1,該拋物線與x軸的另一個交點為B.
(1)求此拋物線的解析式.
(2)點P在直線l上,求出使△PAC的周長最小的點P的坐標(biāo).
(3)點M在此拋物線上,點N在y軸上,以A、B、M、N為頂點的四邊形能否為平行四邊形?若能,直接寫出所有滿足要求的點M的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
解析:如圖本題第(2)問中的求使△PAC的周長最小的點P的坐標(biāo)與例1相同就是連接點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱的B與點C,BC與直線L的交點就是所求的點P.此題仍然利用的是拋物線的軸對稱性.
二、利用垂線段最短求最值
在一些幾何問題中要求線段、周長、面積最小值時,可通過把相關(guān)線段特殊化,化為垂線段,根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)從而得解.
例3:如圖AB是⊙O的弦,AB=8,⊙O的半徑為5,點M是AB上的一個動點,求線段OM的最值.
解析:當(dāng)線段OM垂直于AB時利用垂線段最短可得OM最小值等于弦心距3,當(dāng)點M與點A或點B重合時利用直徑是圓中最長的弦可得OM的最大值等于半徑5.
例4:如圖,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF為正三角形,點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動,且E、F不與B、C、D重合.
(1)證明:不論E、F在BC、CD上如何滑動,總有BE=CF;
(2)當(dāng)點E、F在BC、CD上滑動時,分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化?如果不變,求出這個定值;如果變化,求出最大(或最小)值.
解析:本題第(2)問可由△ABE ≌△ACF可得
此題(2)中可直接利用二次函數(shù)的頂點縱坐標(biāo)是其最大值;但在第(3)中由于方案A中x=35不在20 總之,無論是代數(shù)問題還是幾何問題都存在最值問題.此類問題涉及知識面廣,綜合性強,解法靈活多樣,而且具有一定的難度和技巧性.所以解決問題應(yīng)以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo),找準(zhǔn)問題的切入點,建立合適的解決問題的數(shù)學(xué)模型,尋找解決問題的捷徑,才能使問題由難轉(zhuǎn)化為易,由復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單,使問題得到順利解決.