淺析數(shù)學(xué)最值問題

馬小蕓

最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是一類綜合性較強的問題，它貫穿初中數(shù)學(xué)的始終，是中考熱點問題.它主要考查學(xué)生對平時所學(xué)內(nèi)容的綜合運用，在生活實際中常要考慮在一定條件下怎樣使成本最低，消耗最少，收益最大，方案最優(yōu)，行走路徑最短，周長面積最小等問題.這類生活問題一般可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)或線段的最小值或最大值的數(shù)學(xué)問題，通過這類問題的解決可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.下面就初中數(shù)學(xué)中有關(guān)最值問題一些常用方法做舉例介紹.

一、利用軸對稱性求最值

例1：如圖，A點是半圓上一個三等分點，B點是弧AN的中點，P點是直徑MN上一動點，⊙O的半徑為1，求AP+BP的最小值.

求某些幾何圖形中的線段的和的最小值時，可采用軸對稱變換的方法將其中一條線段變換，進(jìn)而把兩條線段合并成一條線段從而求出最值.

解析：可利用兩點之間線段最短求AP+BP的最小值.因為圓是軸對稱圖形，作點A關(guān)于直徑MN的對稱點C，連接BC交MN于P點，連接OB、OC，由∠BOC=90°得BC=，故AP+BP的最小值

例2：如圖，已知直線y=-3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax+bx+c經(jīng)過點A和點C，對稱軸為直線l：x=-1，該拋物線與x軸的另一個交點為B.

（1）求此拋物線的解析式.

（2）點P在直線l上，求出使△PAC的周長最小的點P的坐標(biāo).

（3）點M在此拋物線上，點N在y軸上，以A、B、M、N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，直接寫出所有滿足要求的點M的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

解析：如圖本題第（2）問中的求使△PAC的周長最小的點P的坐標(biāo)與例1相同就是連接點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱的B與點C，BC與直線L的交點就是所求的點P.此題仍然利用的是拋物線的軸對稱性.

二、利用垂線段最短求最值

在一些幾何問題中要求線段、周長、面積最小值時，可通過把相關(guān)線段特殊化，化為垂線段，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)從而得解.

例3：如圖AB是⊙O的弦，AB=8，⊙O的半徑為5，點M是AB上的一個動點，求線段OM的最值.

解析：當(dāng)線段OM垂直于AB時利用垂線段最短可得OM最小值等于弦心距3，當(dāng)點M與點A或點B重合時利用直徑是圓中最長的弦可得OM的最大值等于半徑5.

例4：如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合.

（1）證明：不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF；

（2）當(dāng)點E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最小）值.

解析：本題第（2）問可由△ABE ≌△ACF可得

此題（2）中可直接利用二次函數(shù)的頂點縱坐標(biāo)是其最大值；但在第（3）中由于方案A中x=35不在20

總之，無論是代數(shù)問題還是幾何問題都存在最值問題.此類問題涉及知識面廣，綜合性強，解法靈活多樣，而且具有一定的難度和技巧性.所以解決問題應(yīng)以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)，找準(zhǔn)問題的切入點，建立合適的解決問題的數(shù)學(xué)模型，尋找解決問題的捷徑，才能使問題由難轉(zhuǎn)化為易，由復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，使問題得到順利解決.