數學“難”題教學的化“易”過程

呂燕飛

【摘 要】從四個方面闡述數學“難題”教學的化“易”方法：引入具體感性材料，有效降低教學難度；劃分若干教學層次，有效降低教學難度；提煉普遍思想方法，有效降低教學難度；科學設計課后練習，有效降低教學難度。

【關鍵詞】數學 “難”題化“易” 感性材料 教學層次 思想方法 設計練習

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）01B-0110-02

數學學習進入高中階段之后，知識內容的難度明顯提升了。這給教學活動的高效開展帶來了挑戰，也被學生所感知，使其學習心理產生了一定變化。很多學生進入高中學習后，沒有做好學習狀態的轉化與銜接，導致對新的知識結構與難度級別很不適應，學習效果欠佳，最終對數學學習產生畏懼，甚至是厭惡的心理。這嚴重阻礙高中數學教學實效的提升。因此，教師有必要尋找一些合理的方式，在不改變預設教學內容的前提下降低教學難度，為學生的知識學習降低門檻鋪平道路。

一、引入具體感性材料，有效降低教學難度

學生對某個數學知識難度的感知，往往是從第一次接觸到這個知識內容的時候便開始了。正如同一個人給大家留下的第一印象，會在很大程度上影響人們對他的看法一樣。如果學生在剛剛開始和一個知識打交道時便感到很困難，接下來要想輕松地學習也就無從談起了。因此，降低高中數學教學難度的第一步，就是在知識內容的引入階段降低難度，以學生喜聞樂見并容易接受的方式將其呈現出來。

例如，在對指數函數的內容進行教學時，筆者先向學生引入了這樣一個實際情景。已知，一張白紙的厚度是0.1毫米，將它反復對折15次之后，其厚度可以超過一個身高2米的人！對于這個判斷，學生都表示難以置信。于是，筆者帶領大家依據題意列出算式：將白紙對折一次的厚度是 0.1×2=0.2（毫米），對折兩次的厚度是 0.1×22=0.4（毫米），對折到第十五此時，其厚度便應該是 0.1×215。通過計算器輔助計算，最終結果竟然是 3276.8毫米！這個出人意料的結果讓學生非常直接地從感性上對指數函數y=ax的形式與內涵都進行了初步感知，為全面教學提供了一個很好的開端。

將知識內容的呈現難度降低的方式多種多樣，上述案例所闡述的是通過引入具體感性材料的方式來降低教學難度。所謂感性材料，就是與抽象的概念理論相對的，能被大家實際感知到的事物。具體感性材料的運用，能夠很好地將看似遙不可及的數學知識變得觸手可及，大大縮短抽象理論與現實生活之間的距離，讓知識內容具體化、實際化。這樣一來，學生在初次接受知識內容時，便不會被晦澀的理論語言嚇到。入門難度降低了，下面的教學開展自然順利很多。

二、劃分若干教學層次，有效降低教學難度

同樣的教學內容，以不同的形式在課堂上予以呈現，所體現出的教學難度是具有較大差異的。也就是說，教師需要通過變換知識的展現與推進方式，來改善學生在面對知識內容時的心理狀態和對難易程度的實際感受。筆者在實際教學過程當中，對引發學生學習畏難情緒的原因進行了深入分析，最終發現，最為根本的因素還是在于教學內容的難度提升過于突兀，學生從心理上來不及適應。因此，想要降低教學難度，就要把重點放在縮短知識難度臺階的高度上。較為理想的方式就是將教學內容劃分難度梯度逐一呈現。

例如，在學習平面幾何知識時，筆者曾經向學生提出過這樣一個問題：已知橢圓的左焦點是F（-c，0），離心率是 ，點M在橢圓上且位于第一象限，直線 FM被圓所截得的線段長度是 c，。那么，設動點 P 在該橢圓上，若直線 PF 的斜率大于，則直線 OP（O是原點）的斜率的取值范圍如何？這個問題對于學生來講的難度著實不小，大家一時間不知該從何方向切入思考。于是，筆者請大家在解答這個問題前，先嘗試分別求出直線 FM 的斜率以及橢圓的方程。這個簡單的提示，將求解本題的求解難度大大降低了，前兩個問題就像是為學生所搭建起來的突破難度的解題平臺，讓大家得以在求解中得到啟發，為最終的最高難度問題的思考提供支撐。

當我們想要登上一個很高的地方時，可以借助臺階，將一個較大的高度分為幾個小高度分步完成。接連邁幾個高度適中的臺階，其難度遠遠要比一下子邁上一個能力范圍以外的高度要輕松多了，同樣是達到了相等的高度，效率卻提高了很多。劃分難度層次進行課堂教學，正是運用了這個道理。與其要求學生一步到位去接受難度很大的知識內容，不如將較高的難度進行分割。分層次予以接受，學生的思維壓力自然減輕很多，教學效果也就隨之提升了。

三、提煉普遍思想方法，有效降低教學難度

高中階段出現的很多難題，其主要難在學生缺乏對數學思想方法的掌握。從具體知識內容當中尋找思想方法的影子，并將之抽象提煉出來，形成針對某一類問題的解答方式，是高中數學學習區別于從前的一大特點。也就是說，想要把高中數學學好，重點在對思想方法的宏觀把握上，這也是降低解題難度的關鍵。掌握了方法，以之調控整個思維發展，再復雜的題目都可以得出清晰的思路，反之，學生會被大量的知識內容擾亂思路，導致解題無從下手。

例如，在對線性規劃的內容進行教學時，筆者并沒有直接告知學生應當如何解決相關問題，而是先請學生嘗試解答一道比較典型的題目：

已知，變量 x，y 滿足約束條件，那么，z=2x-y 的最小值是多少？

很多學生看到這個問題毫無解答思路。于是，筆者不斷啟發學生結合不等式的含義，嘗試將已知條件在平面直角坐標系當中予以體現。大家開始大膽以圖形的方式對題目條件展開“翻譯”，最終成功找到了 z=2x-y 所代表的區域（如圖1所示）。在這部分內容的教學過程中，之所以花時間讓學生親身來感受，不僅為了教會大家解答線性規劃問題本身，而是將數形結合的重要思想植根于學生頭腦當中。這種思想方法將是學生日后學習解題的有力武器，具有普遍的適用意義。

在以前的學習過程中，學生的學習重點始終集中在對一個個具體知識點的理解上，很少將其上升到系統方法的高度上。對普遍思想方法的提煉，實現了高中數學學習思維科學高效的升華。在這個過程中，教師需要起到積極的引導啟發作用，幫助學生找到方法提煉的訣竅，得以自主降低問題解答的難度。

四、科學設計課后練習，有效降低教學難度

每次知識教學完成之后，課后練習都是必不可少的一個環節。這不僅是鞏固所學知識的有效途徑，而且更是降低教學難度的有力輔助。筆者通過加強對課后練習的科學設計，讓學生在完成作業的過程中，更加靈活、深刻地理解了知識。有此作為基礎，相關教學開展的難度自然得到降低。

例如，筆者曾經在課后作業中為學生布置了這樣一道練習題：已知，實數x，y 滿足，那么，x的取值范圍是什么？這道題目看似簡單，但其解答過程當中卻實現了多種知識方法的結合。學生需要先令，對已知條件進行換元，通過化簡變換最終得出的結論。隨后，還需要以此得出，點（a，b）的軌跡是以（1，2）為圓心，為半徑的圓在 a，b≥0 的部分（如圖2）。由此，題目所求可以根據圖象所示順利得出。一道作業題中，卻同時包含了對學生多種知識內容與解題方法的考察。對這道題的理解與把握，無疑是對既有所學的深入推進。

在設計課后練習時，筆者經常會有意識地將習題形式進行創新設計，盡可能地讓知識練習密度增加，節約練習時間。同時將練習內容設計得靈活且有深度，讓大家在最少的作業中得到最大的能力提升。堅實的知識基礎是順利學習的根本驅動力。以作業的途徑為隨后新知識的學習打好基礎，對于降低整個教學過程的難度來講是很有必要的。

不少師生認為，高中階段數學教學難度的提升是由知識內容本身的難易程度決定的，只要按照計劃內容進行教學，就沒辦法左右這個難度。實則不然。經過長時間的教學實踐后發現，決定教學難度的因素除了知識內容本身之外，還有教師的教學方法。通過采取科學巧妙的方式，將知識內容生動靈活、循序漸進地呈現出來，并由教師及時點撥，對所學知識進行升華與鞏固。學生在接受知識的過程中感到順利很多的同時，還能夠很快站在更高的學習視角上看待知識內容，實現高中數學學習的優質和高效。這種教學思路不僅適用于某一道難題的解答，而且更應當將之普及于整個高中數學的教學過程里，讓學生得以在最低的思維難度中最好地掌握知識。

（責編 盧建龍）