極限是“近似值”嗎？

【摘要】極限是高等教學的重要方法，也就是有限數學向無窮小分析數學過渡的關鍵所在，對極限準確無誤的理解，對學習高等數學有著深遠的意義。

【關鍵詞】極限 無窮小 悖論

【中圖分類號】G71 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）01-0131-02

首先看一個數學悖論。如圖在一條筆直的路上，運動之前，汽車在A點，人在B點汽車運動的速度為V，人運動的速度為U，設V>U，汽車和人從各自的位置按各自的速度同時同向作勻速直線運動。當汽車到達B點時人到達C點，汽車到達C點時，人不在C點已到達D點，如此下去，車與人的距離在逐漸縮小因為V>U，即：|AB|>|BC|>|CD|>……即汽車與人越來越近這一點是肯定的，請問如此下去車能超過人嗎？客觀實際當然汽車能超人。可上面給出的數學模型汽車又不能超過人，只是車與人無限接近。下面通過數學中的極限理論給予說明。這就是數學史上最著名的阿基里斯學論；公元前五世紀，芝諾發表了最著名的阿基里斯悖論，他提出烏龜在阿基里斯1000米處開始，阿基里斯的速度是烏龜的10倍，比賽開始后，阿基里斯1000米用時間t，烏龜領先100米，當阿基里斯跑完下一個100米，烏龜領先他10米，當阿基里斯跑完下一個10米，烏龜領先1米……芝諾認為阿基里斯可以繼續逼近烏龜，但當決不可能追上它。這個問題困擾人類上千年，直到十八世紀瑞士數學這家歐拉發表著名的《無窮小分析引論》，阿基悖論才得于徹底解決。數學分析的歷史表明，很多變化狀態的比較復雜的變量，都可以轉化成一