轉(zhuǎn)化與化歸：解三角題的利器

漆光宗

通過對前面兩篇文章的學習，相信同學們對轉(zhuǎn)化與化歸思想已經(jīng)有了一定的了解，匈牙利著名數(shù)學家路莎·彼得在名著《無窮的玩藝》中曾指出：“數(shù)學家們往往不是對問題進行正面攻擊，而是不斷地將它變形，直到把它轉(zhuǎn)變成能夠解決的問題，”實際上，中學數(shù)學中，這種化歸方法的應用無處不在.下面就以我們剛剛學習的三角函數(shù)為例，來進一步領(lǐng)略運用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題的魅力.

一、把待求角轉(zhuǎn)化為已知角，實現(xiàn)角的變換

看來轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用應遵循從簡的原則，即轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或容易解決的問題，需要注意觀察與發(fā)現(xiàn)已知條件與所求問題的聯(lián)系，這里特別是已知角與所求角的關(guān)系，角的轉(zhuǎn)化是簡化運算的關(guān)鍵.

常見的單角化復角的變換方式有：

三角函數(shù)中的公式比較多，我們在解題時必須善于用聯(lián)系的觀點去觀察角與角之間的關(guān)系，采用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，把復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題來解決.另外三角公式中的α和β是任意的，它們可以是單角也可以是復角，同時角與角之間的關(guān)系不是固定不變的，在一定條件下它們是相互轉(zhuǎn)化的.

二、將求角的問題化歸為求三角函數(shù)值

分析 觀察結(jié)論，要求α+β，可以將目標化歸為求角α+β的某一個三角函數(shù)值，比如正弦或余弦，它們應該都是特殊值，再結(jié)合角的范圍求出角來.

為什么算正弦會多了一個值呢？在求解之前我們怎么去判斷應該算哪個函數(shù)呢？從函數(shù)角度來看這個問題，其實是已知函數(shù)值，求自變量的問題，因為a+p∈（0，π），余弦函數(shù)在（0，π）上是單調(diào)的，一個函數(shù)值只對應一個自變量，而正弦函數(shù)在（0，π）上不單調(diào)，先增后減，一個函數(shù)值對應著兩個自變量，因此應該利用單調(diào)性來做出判斷，選取恰當?shù)暮瘮?shù)加以計算.

那算正切行嗎？正切函數(shù)在（0，π）上單調(diào)嗎？增，做出圖象（如圖1），發(fā)現(xiàn)一個函數(shù)值也只對應著一個自變量.因此，只要選取滿足一個函數(shù)值對應一個自變量的函數(shù)就可以.通過這個例子，我們更能體會到，轉(zhuǎn)化與化歸還得遵循等價性.

三、利用y=sin x的圖象與性質(zhì)解決三角函數(shù)問題

一般有關(guān)三角函數(shù)的定義域與值域問題，最值問題，以及對函數(shù)單調(diào)性、周期性等性質(zhì)的研究，通常借助化歸思想，利用輔助角公式將函數(shù)解析式變形為y=Asin（ωx+φ+b（或y=Acos（ωx+φ+b）的形式，再利用前文《千變?nèi)f化終歸一》中介紹的方法將函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b（或y=Acos（ωx+φ）+b）的性質(zhì)研究轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)y=sinx（或y=cosx）的圖象和性質(zhì)解決問題.

四、部分三角函數(shù)的最值問題可化歸為二次函數(shù)最值問題來解決

分析 先利用三角函數(shù)的基本公式的變形，利用倍角公式降冪，再配方利用化歸思想將問題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的最值問題來解決.

故當sin2x=-1時y取得最大值10，當sin2x=l時y取得最小值6.

利用化歸思想解題時，轉(zhuǎn)化的途徑和方法不一定相同，但有一個共同的規(guī)律，就是在待解決的問題和已解問題之間架起一座聯(lián)系的橋梁，在解綜合題時，由于有些條件比較隱蔽，或所給的條件比較分散，或是所求的結(jié)論比較復雜，這時我們就更需要熟練運用化歸的思想，把問題轉(zhuǎn)化為我們比較熟悉的問題，從而較快地找到解題思路.