基本不等式解題“五先五后”策略

陜西 李 歆（特級教師）

基本不等式解題“五先五后”策略

陜西 李 歆（特級教師）

基本不等式是高中數學的重要內容，是求解函數最值和證明不等式的重要工具，也是高考中常考的重要知識點．但同學們在解題時，因對基本不等式的“內涵”理解膚淺，對數學問題的“題情”識別不清，導致二者之間的“嫁接”鏈條缺失，造成解題的出錯率往往較高，有鑒于此，本文介紹基本不等式解題的“五先五后”策略，供同學們復習時參考．

一、先變形，后拆項

二、先判斷，后添項

【點撥】（1）“1”的代換法是數學中最常用的一種解題方法，此解正是通過的巧妙實施，才使解題順利通暢，達到了“山重水復疑無路，柳岸花明又一村”的效果．

三、先放縮，后疊乘

【分析】這是一個數列不等式，通常用數學歸納法證明，但從k到k＋1難度較大，注意到不等式左邊每一項中的分數分母依次相差2，可考慮依次先將前面分數的分子變為后面分數的分母，然后利用基本不等式放縮后再用疊乘的方法解決．

以上各式兩邊分別相乘，得

【點撥】數列不等式的證明，是高考考查的熱點和重點．解這類問題，要從不等式內在的結構特點入手，尋找突破口．此解通過把不等式左邊乘積中的各項，分別轉化為兩個數的平均數的形式，從而為應用基本不等式搭起了一個平臺，使問題解決精彩絕妙．

四、先分離，后消元

【例4】已知x，y∈R＋，且x－y＝xy，x－4y－a＝0，求實數a的取值范圍．

【分析】實數a在條件等式x－4y－a＝0中，可知a＝x－4y，但此式含有兩個未知數x和y，可由另一個條件等式x－y＝xy中把x或y分離出來，然后代入求解．

【點撥】此題也可以利用“1”的變形技巧求解：由x－y＝ xy，得，則，以下略．

五、先引參，后代入

（作者單位：陜西省武功縣教育局教研室）