先直觀感知，再精密驗證
——“f［f（x）］”型函數問題處理技巧

吉林 林逸凡

先直觀感知，再精密驗證
——“f［f（x）］”型函數問題處理技巧

吉林 林逸凡

對于函數f（x），若f（x0）＝x0，則稱x0為函數f（x）的“不動點”；若f［f（x0）］＝x0，則稱x0為函數f（x）的“穩定點”．高考中對不動點和穩定點的性質進行研究討論的“f［f（x）］”型函數問題，是常見的經典題型．

1．標準答案：思維成品難共鳴

【例題】（浙江大學自主招生）設M＝｛x｜f（x）＝x｝，N＝｛x｜f［f（x）］＝x｝．

（Ⅱ）f（x）為單調遞增時，是否有M＝N？并證明．

【答案】（Ⅰ）略．（Ⅱ）M＝N．用反證法證明：

①若f（x0）＞x0，由于f（x）為單調遞增函數，所以f［f（x0）］＞f（x0），即x0＞f（x0），矛盾；

②若f（x0）＜x0，由于f（x）為單調遞增函數，所以f［f（x0）］＜f（x0），即x0＜f（x0），矛盾．

綜合①②可知，f（x0）＝x0，因此x0∈M，與假設矛盾，所以假設不成立，故M＝N．

【評注】對于抽象函數問題，因為沒有給出具體的解析式，因此對其性質理解起來本就十分困難．標準答案僅僅是出題人思維活動過后的成果展示，雖然邏輯上滴水不漏，結構上完美無瑕，但正因其過于嚴絲密合、渾然天成，有時反而有種“無從下口”的感覺，不能體會解題思路的形成過程，難以產生“共鳴”，特別是第二問中，“反證法”的思想是一個最大難點，是很難想到的．

2．思路形成：先出草圖再潤色

如果f（x0）≠x0，不妨把f（x0）記為y0，則y0＝f（x0），y0≠x0，用y0表示f［f（x0）］＝x0這個條件就成了：f（y0）＝x0．

現在已經有了下列條件：y0＝f（x0）、f（y0）＝x0、y0≠x0、f（x）單調遞增．

觀察這兩個條件：y0＝f（x0）、f（y0）＝x0，發現點（y0，x0）和點（x0，y0）都在函數f（x）的圖象上，可以畫出草圖如圖：

其中點（y0，x0）和點（x0，y0）這兩個點應該是關于直線y＝x對稱的．

這個函數圖象顯然不滿足題意，因為題中要求函數是單調遞增的，這樣畫不管怎么樣肯定有一段區間上單調遞減．這是在當y0≠x0時，畫出的大致草圖，當y0＝x0時，點（y0，x0）和點（x0，y0）重合，縮成了直線y＝x上的一個點，這個時候函數f（x）就可以是在定義域上單調遞增的了．

現在就大概明白了單調遞增這個條件是怎么回事了，它原來是要求（y0，x0）和（x0，y0）這兩個點不會分別出現在直線y＝x的兩側，也就只能重合了．至此已經可以輕松自然地按著這個思路繼續完成例題的證明，對這道題的設計思路也有了更為深刻的理解，并且形成一個小結論：對于一個單調遞增的函數來說，它的不動點和穩定點應該是完全一樣的．

再回過頭來看這道題的解題過程，在做這類f［f（x）］型問題時，一般的處理方法是：

令f（x）的一個函數值為y0＝f（x0），然后再把這個函數值y0視為一個新的自變量，代回f（x），再根據實際條件解題．

例如在這道題中，根據f［f（x）］＝x的條件，（y0，x0）和（x0，y0）都在f（x）的圖象上．

3．效果驗收：牛刀小試露鋒芒

“f［f（x）］”型函數是常見題型，接下來通過以下幾道變式練習進行進一步的加強和鞏固，由于都是選擇和填空的小題，證明過程不要求很嚴密，重點在抓處理這類問題的“感覺”．

A．［1，e］ B．［e－1－1，1］

C．［1，e＋1］ D．［e－1－1，e＋1］

【解析】已知f［f（y0）］＝y0，則y＝f（x）過（f（y0），y0）和（y0，f（y0）），兩者若不是同一個點，則關于y＝x對稱，又函數是增函數，不可能有這種情況，所以，設g′（ln2）＝3－2ln2＞0，則g（t）是增函數，則a∈［g（0），g（1）］＝［1，e］．

4．觸類旁通：思路大同走天下

在掌握基本技巧以后，除了“f［f（x）］”型函數問題，處理類似的“f［g（x）］”型函數問題也不在話下，如變式4．

【變式4】若函數f（x）和g（x）都是定義在實數集R上的函數，且方程x－f［g（x）］＝0有實數解，則g［f（x）］不可能是（ ）

【解析】令y＝g（x），代入條件f［g（x）］＝x中，∴f（y）＝x，∴有g［f（y）］＝g（x）＝y，故方程g［f（x）］＝x有實數解，即系數b，c滿足x2＋bx＋c＝x有實數解即可，x2＋（b－1）x＋c＝0，Δ＝（b－1）2－4c≥0，除了B選項，均滿足條件．

【反思】對抽象函數的性質探究，不妨先通過“形象但不夠嚴密”的手段，從題設條件（出發點）和結論（目的地）入手，通過對自己發起一系列低起點、多步驟的問題串，對解題形成一個大致思路，再著手解決具體問題，通過不斷修飾完善，使解題步驟連貫起來，變得嚴密．經歷“由特殊到一般，再由一般到特殊”的思維過程，對這類型的題目形成整體的把控能力，舉一反三觸類旁通，達到知識與方法的遷移，做到舉一反三、觸類旁通．手中有糧，心中不慌，面對難題，不再犯怵．

（作者單位：吉林省長春市吉大附中實驗學校高中部）