巧解選擇題的一些妙招

廣東 陳鎮民

巧解選擇題的一些妙招

廣東 陳鎮民

解答數學選擇題的基本要求是準確、迅速、靈活，常用方法主要有直接法和間接法兩大類．直接法是解答選擇題最基本、最常用的方法，但高考的題量較大，如果所有選擇題都用直接法解答，不但時間不允許，甚至有些題目的解答過程會變得繁雜．因此，我們還要研究解答選擇題的一些技巧，掌握一些解選擇題的特殊方法．總的來說，選擇題屬小題，解題的原則是：小題巧解，小題小做．

方法1 直接求解法

直接求解法就是由題干給出的條件出發，進行邏輯推理，直接得出結論．這種策略多用于一些定量性的問題，這是解選擇題最常用的策略．這類題可直接從題設的條件出發，根據已知條件，相關公式、公理、定理、性質等通過準確運算、嚴謹的推理、合理的驗證得出正確結論，然后與選項對照，從而作出相應的選擇．

【例1】（2015·新課標卷Ⅰ文·3）已知點A（0，1），B（3， 2），向量

A．（－7，－4） B．（7，4）

C．（－1，4）D．（1，4）

【分析】本題主要考查三角恒等變換，由于角α的位置及其余弦值確定，所以屬定量問題，適宜用直接求解法．

方法2 特例法

在求解數學問題時，如果要證明一個問題是正確的，就要證明該問題在所有可能的情況下都正確，但是要否定一個問題，則只要舉出一個反例即可．基于這一原理，在解選擇題時，可以通過取一些特殊數值、特殊點、特殊函數、特殊數列、特殊圖形、特殊位置等對選項進行驗證，從而可以否定和排除不符合題目要求的選項，再根據4個選項中只有一個選項符合題目要求這一信息，就可以間接地得到符合題目要求的選項，這是解選擇題的特殊化策略．

【例3】（2010·安徽理·10）設｛an｝是任意等比數列，它的前n項和，前2n項和，前3n項和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是（ ）

A．X＋Z＝2Y B．Y（Y－X）＝Z（Z－X）

C．Y2＝XZ D．Y（Y－X）＝X（Z－X）

【分析】由于本題中的n∈N＊，且四個等式中只有唯一成立，因而令n＝1代入檢驗．

【解】令n＝1，則X＝a1，Y＝a1＋a2，Z＝a1＋a2＋a3，代入四個選擇支進行檢驗，可知選D．

【例4】（2010·新課標卷理·4）如圖，質點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為），角速度為1，那么點P到x軸距離d關于時間t的函數圖象大致為（ ）

【分析】本題涉及質點的運動，可以結合質點運動的特殊位置與函數圖象之間的聯系來確定選項．

【例5】（2015·年新課標卷Ⅱ理·12）設函數f′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（－1）＝0，當x＞0時，xf′（x）－f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（ ）

A．（－∞，－1）∪（0，1）B．（－1，0）∪（1，＋∞）

C．（－∞，－1）∪（－1，0）D．（0，1）∪（1，＋∞）

【分析】本題主要考查抽象函數與不等式的綜合問題，因而可以通過構造符合題意的特殊函數來解決問題．

【解】令f（x）＝x－x3，則f（－1）＝0，當x＞0時，xf′（x）－f（x）＝x（1－3x2）－（x－x3）＝－2x3＜0，由f（x）＞0，即x－x3＞0，得x（x＋1）（x－1）＜0，解得x＜－1或0＜x＜1．選A．

【例6】正四面體ABCD的頂點A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線Ox，Oy，Oz上，則在下列命題中，錯誤的是（ ）

A．O－ABC是正三棱錐

B．直線OB∥平面ACD

C．直線AD與OB所成的角是45°

D．二面角D－OB－A為45°

【解】如圖，正四面體ABCD的四個頂點分別為正方體的四個頂點，不難發現直線OB∥平面ACD不成立，故選B．

方法3 極限法

極限法可以歸于直覺判斷法，具體來講，就是根據變量變化的趨勢或極限的取值情況來發現結果，要求化動為靜，在運動中尋找規律．從而可以避開抽象、復雜的運算，降低解題的難度，優化解題過程．

【分析】本題主要考查解析幾何的定值問題，可以考慮選擇點A或點B的極限位置，把動態問題轉化為靜態問題進行解決．

【例8】（2013·新課標Ⅱ理·12）已知點A（－1，0），B（1，0），C（0，1），直線y＝ax＋b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（ ）

方法4 數形結合法

根據題設條件作出所研究的曲線或有關圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷，這種方法叫數形結合法．有的選擇題可通過命題條件的函數關系或幾何意義，作出函數的圖象或幾何圖形，借助于圖象或圖形的作法、形狀、位置、性質，得出結論，圖形化策略是以數形結合的數學思想為指導的一種解題策略．

【解】分別作出函數h（x）＝x與函數g（x）＝4sin（2x＋1）的圖象，要使函數f（x）在區間中不存在零點，即兩函數h（x）與g（x）的圖象沒有交點，故選A．

【例10】（2014·新課標Ⅰ理·12）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（ ）

C．6D．4

【分析】本題主要考查空間幾何體的三視圖，意在考查

考生的識圖能力、空間想象能力及運算求解能力．

【解】如圖，設輔助正方體的棱長為4，三視圖對應的多面體為三棱錐A－BCD，最長的棱為故選C．

方法5 逆向思維法

在解選擇題時，四個選項以及四個選項中只有一個是符合題目要求的都是解題的重要信息．逆向化策略是把四個選項作為首先考慮的信息，解題時，要“盯住選項”，著重通過對選項的分析、考察、驗證、推斷進行否定或肯定，或者根據選項之間的關系進行邏輯分析和篩選，找到所要選擇的，符合題目要求的選項．

A．－2 B．2

C．－1 D．1

【分析】本題考查對新定義符號的理解及圖象對稱性，應考慮畫圖象，由于t的值未知，圖象不容易確定，所以可以從選項入手．

【解】根據圖象，t＝－2時，函數f（x）的圖象關于直線x＝1對稱（圖①）；t＝2時，函數f（x）的圖象關于直線x＝－1對稱（圖②）；t＝－1時，函數f（x）的圖象關于直線x＝對稱（圖③）．選D．

方法6 估算法

有些選擇題由于條件的限制有時沒必要進行精確運算，而只要依賴于估算就可以解決．估算實質上也是一種數學意識，它以正確的數理為依據，通過合理的觀察、比較、判斷、推理，從而做出正確的選擇，因此，估算也是一種能力．

【例12】用1，2，3，4，5這五個數，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數的個數為（ ）

A．24 B．30

C．40D．60

【解】由1，2，3，4，5這五個數，組成沒有重復數字的三位數共有A35＝60個，其中偶數的個數不超過一半，故選A．

方法7 推理分析法

推理分析法是通過邏輯推斷思維過程，分析各個選項之間的邏輯關系，從而否定干擾項，肯定正確選項的方法．

【例13】（2010·廣東文·10）在集合｛a，b，c，d｝上定義兩種運算和如下：

A．aB．b

C．cD．d

【分析】此類新定義問題，需要根據定義逐步進行推導．

【例14】（2015·廣州市一模理·8）已知i是虛數單位，C是全體復數構成的集合，若映射f：C→R滿足：對任意z1，z2∈C，以及任意λ∈R，都有f（λz1＋（1－λ）z2）＝λf（z1）＋（1－λ）f（z2），則稱映射f具有性質P．給出如下映射：

①f1：C→R，f1（z）＝x－y，z＝x＋yi（x，y∈R）；

②f2：C→R，f2（z）＝x2－y，z＝x＋yi（x，y∈R）；

③f3：C→R，f3（z）＝2x＋y，z＝x＋yi（x，y∈R）；

其中，具有性質P的映射的序號為（ ）

A．①②B．①③

C．②③D．①②③

【解】設z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，x1，y1，x2，y2∈ R，則λz1＋（1－λ）z2＝λx1＋（1－λ）x2＋［λy1＋（1－λ）y2］i，對于①，f（λz1＋（1－λ）z2）＝λx1＋（1－λ）x2－［λy1＋（1－λ）y2］，λf（z1）＋（1－λ）f（z2）＝λx1－λy1＋（1－λ）x2－（1－λ）y2＝λx1＋（1－λ）x2－［λy1＋（1－λ）y2］，所以f（λz1＋（1－λ）z2）＝λf（z1）＋（1－λ）f（z2），①是具有性質P的映射．

對于②，f（λz1＋（1－λ）z2）＝［λx1＋（1－λx2）］2－［λy1＋（1－λ）y2］，λf（z1）＋（1－λ）f（z2）＝λx21－λy1＋（1－λ）x22－（1－λ）y2＝［λx21＋（1－λ）x22］－［λy1＋（1－λ）y2］，顯然，不是對任意λ∈R，f（λz1＋（1－λ）z2）＝λf（z1）＋（1－λ）f（z2）成立，所以②不是具有性質P的映射．

結合選項，應選B．

【例15】如圖，一個箱子的每個面都是矩形且邊長都是整數，若它的主對角線XY＝9，請問這個箱子的體積最大可能值是什么？（ ）

A．81B．90

C．108D．112

（作者單位：廣東省廣州市教育研究院）