基于Kalman-ARIMA模型的大壩變形預測

薛 洋，楊 光，許 雷(.河海大學水利水電學院，南京 20098；2.河海大學水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，南京 20098)

變形是水工建筑物運行狀態的重要效應量，也是最主要的監測量[1,2]，變形能夠直觀可靠地反映大壩的結構性態和安全狀況[3]，因此，變形預測是大壩安全監測系統的關鍵組成部分，也是防汛調度的關鍵，對及時掌握大壩變形狀態、確保大壩安全運行具有十分重要的作用[4,5]。在壩工實際問題中，影響大壩變形的因素極為復雜，除庫水壓力(水位)外，還有溫度、降雨、滲流、施工、地基、周圍環境和時效等[1,2]多種非線性因素，從而使得準確有效地對大壩變形進行預測具有一定的難度。目前，常用的大壩變形預測方法有多元線性回歸分析法、有限元方法、灰色GM模型、模糊聚類分析法、遺傳算法和時間序列分析法等。其中，基于三大經典監控模型(統計模型、確定性模型及混合模型)的變形預報與評價應用得最為廣泛，但其存在參數確定困難、所建數學模型較為復雜、要求線性方程組非奇異與無病態且與大壩實際變形狀況相吻合[6]等缺點，難以滿足大壩變形預測的精度要求。

大壩變形監測數據序列一般呈現出顯著的非平穩性和周期性，并且在監測過程中，易受自動化監測資料噪聲污染。為提高大壩變形預測精度，及時準確地反映大壩變形狀態，本文提出Kalman-ARIMA模型，即先利用卡爾曼濾波法對變形監測數據序列進行降噪處理，剔除隨機干擾噪聲(包括干擾噪聲和動態噪聲)，使得監測數據能夠更準確地反映大壩變形的實際狀況，然后利用自回歸差分滑動平均混合模型(ARIMA模型)對濾波后的數據進行大壩變形預測，從而達到提高能大壩變形預測精度的目的。

1 卡爾曼濾波法

卡爾曼濾波是一種從與被提取信號有關的觀測量中通過算法估計出所需信號的濾波算法[7,8]。目前，該方法廣泛應用于動態數據處理過程中，它具有最小無偏差性，并且能夠最大限度地剔除數據中包含的隨機干擾誤差即噪聲污染，得到真實值的最優估計[9]。大壩變形監測序列可以看作是一個隨機離散系統，隨機線性離散系統的卡爾曼濾波方程表達式為：

xk+1=Ak+1 | kxk+wk

(1)

zk+1=Ck+1xk+1+vk+1

(2)

式中：xk為tk時刻狀態向量；zk+1為tk+1的觀測向量；Ak+1|k為tk時刻至tk+1時刻的狀態轉移矩陣；Ck+1為tk+1時刻的觀測矩陣；wk為系統噪聲向量；vk+1為觀測噪聲向量。

系統噪聲向量wk和觀測噪聲向量vk的統計特性滿足以下條件：

(3)

式中：Q(k)為系統噪聲向量的方差矩陣；R(k)為觀測噪聲向量的方差矩陣；δkj為狄克拉函數，當k=j時，δij=1，當k≠j時，δkj=0。

(4)

Pk=[I-KkCk]Pk|k-1

(5)

其中：

(6)

Pk|k-1=Ak|k-1Pk-1ATk|k-1+Qk-1

(7)

Kk=Pk|k-1CTk[CkPk|k-1Ck+Rk]-1

(8)

式(4)～(8)即為隨機線性離散系統卡爾曼濾波的基本方式。

2 ARIMA模型

ARIMA模型又稱博克斯-詹金斯模型，是一種時間序列預測方法。近些年，該模型廣泛應用于大壩變形預測領域，它不僅可以考慮變形監測數據在時間序列上的依存性，還可以考慮數據受到隨機干擾的波動性，從而能夠較為準確地進行大壩變形的預測。時間序列基本模型包括自回歸模型(AR)、移動平均模型(MA)和自回歸滑動平均模型(ARMA)[10]，這3種模型都是針對平穩時間序列而言的，而大壩變形監測數據一般都是非平穩的，包含長期趨勢、季節波動、循環波動和不規則變動，故需要對原數據進行有限次差分處理后產生一個平穩的時間序列，再進行建模。ARIMA模型正是基于此思想對非平穩數據進行處理與建模的，ARIMA(p,d,q)中，AR代表自回歸模型，MA代表滑動平均模型，I表示差分，p為自回歸階數，d為差分次數，q為滑動平均階數，其數學表達式為：

Φ(B)▽dxt=Θ(B)εt

(9)

其中：

Φ(B)=1-Φ1B-Φ2B2-…-ΦpBp

(10)

Θ(B)=1-Θ1B-Θ2B2-…-ΘpBp

(11)

▽=1-B

(12)

式中：xt(t=1,2,3,…)為時間序列；εt為均值是0，方差是σε的正態白噪聲過程；Φi(i=1,2,…,p)和Θj(j=1,2,…,q)為模型的待估系數；B為后移差分算子。

3 大壩變形預測的Kalman-ARIMA模型

3.1 卡爾曼濾波處理分析

大壩變形監測數據屬于隨機線性離散系統，本文采用(α-β)卡爾曼濾波模型[11]，即將監測點的變形和變形速度看成狀態參數，由于大壩變形量比較小，其加速度也很小，故將變形加速度看成動態噪聲向量，則狀態方程和觀測方程為：

(14)

3.2 時間序列分析與建模

時間序列模型常用的建模方法有Box-Jenkins法、Pandit-Wu S.M法(也稱為DDS法)以及長自回歸、白噪化法等，針對大壩變形監測數據，可采用Box-Jenkins法建立ARIMA模型[12,13]，其步驟如下：

(1)平穩化。運用差分法或將數據先進行對數變換再進行差分運算，提取大壩變形監測數據序列中的確定性信息，使其自相關函數呈現指數衰減(即拖尾)的特征以達到平穩的目的。

(2)識別并估計模型，包括模型識別、模型定階及參數估計。模型識別是在一定標準下(如序列是零均值過程)，根據樣本自相關函數(ACF)和樣本偏自相關函數(PACF)的形式，結合殘差方差圖、最佳準則函數(AIC準則、SBC準則和BIC準則)等定階法，確定ARMA模型的p、q值。然后利用矩估計、最小二乘估計或極大似然估計法對所建ARMA模型進行參數估計。

(3)診斷，包括模型的適應性檢驗和參數的顯著性檢驗。模型的適應性檢驗的實質為檢驗被估模型殘差的獨立性。若殘差序列為白噪聲序列，說明擬合模型準確刻畫了時間序列過程，顯著有效；若殘差序列不是白噪聲序列，說明擬合模型不顯著，相關信息有殘留，則返回步驟(2)，重新估計p、q值并建模，再進行參數檢驗。參數的顯著性檢驗，即檢驗模型中每一個未知參數是否顯著為零。當變量的參數不顯著時，將該變量從模型中剔除，重新進行(2)。

(4)預測。通過診斷檢驗的模型即可用于大壩變形預測。

診斷這一步驟極為必要，樣本的自相關函數和偏自相關函數只對時間序列ARMA(p，q)過程的識別起指導作用，尤其當p，q都不為0時，識別難度較大，還需借助系統的物理背景和先驗知識及實驗技巧和經驗。

4 工程實例分析

某水電站位于皖南長江支流青弋江上游，是一座綜合性中型水利水電樞紐工程。樞紐包括大壩、溢洪道、泄洪中孔、泄水底孔、發電廠房和筏道。大壩是一座同心圓變半徑的混凝土重力拱壩，壩頂高程為126.3 m，最大壩高為76.3 m，壩頂弧長419 m，壩頂寬8 m，最大壩底寬53.5 m。經過一次大壩安全監測系統更新改造后，該工程具備了一套以變形觀測為主的大壩觀測系統。大壩共布置了16個倒垂線測點用來監測壩基和F11、F32大斷層及兩壩肩巖體的變形。本文選取處于8號壩段的一個測點從2013年1月1日到2013年5月27日的位移觀測值進行分析，共計147個位移值。其中將前137個實測值作為已知數據，后10個實測值作為未來實際位移值。首先對已知數據進行卡爾曼濾波處理，再對濾波后的數據建立ARIMA模型，并進行未來10個位移的預測，然后把位移預測結果與單純用ARIMA模型對原數據進行預測的結果作對比，從而驗證本文提出的Kalman-ARIMA模型在大壩變形預測上的合理性和適用性。

利用3.1節所述的針對大壩變形數據的卡爾曼濾波法對已知位移數據進行濾波處理，結果如圖1所示，并統計已知位移值與濾波值之間的殘差，發現絕大多數殘差值在±0.01 mm以內，而且濾波值反應的變化規律與實測位移值基本一致，說明該卡爾曼濾波過程是對原始觀測位移數據進行了一個很好的平滑處理，剔除噪聲的效果較好[14]。

圖1 位移實測值與卡爾曼濾波值對比Fig.1 Comparison of the observed and kalman filter values

根據3.2節所述ARIMA模型的建立方法對位移實測值進行建模，模型參數p,d,q分別為0,1,1。對卡爾曼濾波后的位移數據進行建模，模型參數p,d,q分別為0,1,0。利用ARIMA(0,1,1)模型對實測數據進行預測，利用ARIMA(0,1,0)模型對卡爾曼濾波后數據進行預測，結果見表1和圖2。可以看出，對位移實測值進行卡爾曼濾波處理，然后再進行ARIMA模型的建立并預測，可以有效地減小預測值與實際原位移之間的殘差絕對值和殘差標準差，從而提高大壩位移的預測精度，產生這個效果的主要原因可以分析為：卡爾曼濾波過程可以剔除觀測過程中隨機干擾噪聲對監測數據的影響，使得濾波后的數據更加逼近真實值，對大壩較為真實的位移值進行建模可以較為準確地反應壩體力學機理對位移的影響，從而可以更加精確地進行變形預測。由此說明，Kalman-ARIMA模型應用在大壩變形預測上是合理有效的。

表1 實測數據預測值與卡爾曼濾波后數據預測值對比Tab.1 Comparison of the predictive values between observed and kalman filter data

圖2 兩種方法的殘差絕對值對比Fig.2 Comparison of the absolute residuals from the two methods

5 結 語

卡爾曼濾波是一種對動態觀測數據進行實時處理的有效辦法，可以剔除觀測過程中隨機干擾噪聲對數據精度的影響，從而可以獲得更加接近真實值的觀測數據。本文提出卡爾曼濾波與ARIMA模型相結合的預測方法，即利用卡爾曼濾波對大壩原始變形數據進行濾波處理，再根據對濾波后的數據進行建模計算并預測。結合具體大壩位移觀測數據分析，結果表明，Kalman-ARIMA模型能夠有效地剔除大 壩位移數據中的隨機干擾噪聲，并得到比較精確的預測結果，因此，該模型在大壩變形預測方面具有推廣價值。

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[1] 吳中如．水工建筑物安全監控理論及其應用[M]．南京：河海大學出版社，2003．

[2] 顧沖時，吳中如．大壩與壩基安全監控理論和方法及其應用[M]．南京：河海大學出版社，2006．

[3] 何金平．大壩安全監測理論與應用[M]．北京：中國水利水電出版社，2010．

[4] 沈細中，張文鴿，馮夏庭．大壩變形預測的ANFIS 模型[J]．巖土力學，2006，27(增)：119-122．

[5] 張 豪，許四法．基于經驗模態分解和遺傳支持向量機的多尺度大壩變形預測[J]．巖石力學與工程學報，2011，30(增2)：3 681-3 688．

[6] 李守巨，劉迎曦，劉玉靜．基于進化神經網絡混凝土大壩變形預測[J]．巖土力學，2003，24(4)：635-638．

[7] 張志鵬，王偉平，鄭海超．卡爾曼濾波及其在時間序列預測中的應用[J]．儀表技術，2010,(7)：37-39．

[8] 顏可珍，張 鄒，林 峰．卡爾曼時間序列模型預測路面平整度指數[J]．路基工程，2012,(4)：1-3．

[9] Sinopoli B, Schenato L, Franceschetti M, et al. Kalman filtering with intermittent observations[J]. Automatic Control, IEEE Transactions on, 2004,49(9):1 453-1 464.

[10] 潘迪夫，劉 輝，李燕飛．基于時間序列分析和卡爾曼濾波算法的風電場風速預測優化模型[J]．電網技術，2008，32(7)： 82-86．

[11] 王 利，李亞紅，劉萬林．卡爾曼濾波在大壩動態變形監測數據處理中的應用[J]．西安科技大學學報, 2006,26(3)：353-357．

[12] 張樹京，齊立心．時間序列分析簡明教程[M]．北京：清華大學出版社，2003．

[13] 肖枝洪，郭明月．時間序列分析與SAS應用[M]．武漢：武漢大學出版社，2012．

[14] 王井利，張春哲．自適應卡爾曼濾波在地鐵監測中的應用[J]．沈陽建筑大學學報：自然科學版，2014,(2)：263-268．