基于SVM的大壩可靠度分析響應面方法

鄭鵬翔，陳 敏(. 中國電建集團華東勘測設計研究院有限公司，杭州 3004；. 河海大學水利水電學院，南京 0098)

0 引 言

結構可靠度計算可以用來評價結構的安全性和可靠性，結構的變量輸入與響應量之間的聯系，往往需要經過復雜數學計算，而大壩尤其是超靜定結構高拱壩的極限狀態功能函數往往是隱式的，難以通過數學計算得到。響應面方法RSM(Response Surface Method)[1]常被用來有效解決功能函數為隱式的結構可靠度計算中。用響應面進行可靠度分析時，最關鍵的問題就是響應面重構方法和重構函數的選擇[2]。目前，最常用的重構函數為二次多項式，然而二次多項式不能逼近任意精度的響應面，用其計算結構可靠度的精度也是有限的，因此，尋找一種能逼近任意精度響應面的重構函數和重構方法具有重要意義。

近年來，常用的能夠逼近任意精度非線性問題的方法有人工神經網絡[3](Artificial Neural Network，ANN)和支持向量機[4](Support Vector Machine，SVM)方法。其中，ANN存在拓撲結構難以確定、容易陷入局部最優和過擬合等缺點，用其確定的響應面計算的結構可靠度在精度和穩定性上均存在一定的缺陷。SVM能夠克服上述神經網絡問題，并且能有效解決小樣本、高維度的非線性問題。本文利用SVM來重構響應面函數方程，針對復雜大壩的輸入變量和響應量難以計算的問題，采用有限元法，通過正交試驗設計有限個樣本點，將樣本點的輸入變量作為SVM的輸入，有限元計算結果為SVM的輸出，通過SVM對小樣本的學習構建響應面重構函數，結合一次二階矩法計算結構可靠度。

1 支持向量機

通過正交試驗設計的樣本點具有小樣本的特點，而支持向量機對于小樣本的非線性問題具有出色的擬合能力。支持向量機的核心是核函數，即內積函數，基本思想是通過核函數將原本在低維空間中線性不可分的樣本映射到高維空間中，從而變得線性可分[5]。

假設給定訓練樣本集：(x1,y1),(x2,y2),…,(xi,yi)∈(Rn×R)，支持向量機的決策函數如下：

(1)

s.t.yi=ωTφ(xi)+b+ξi,i=1,2,…,l

(2)

式中：ω為權向量；ξ為松弛變量，ξ≥0；C為懲罰變量；l為樣本數。

通過Lagrange變化可得：

?L?ω=0, ?L?b=0, ?L?ξ=0,?L?α=0

可得：

定義滿足Mercer條件的核函數k(x,xi)，消去ξi和ω后，得到如下方程組：

(4)

式中：e=[1,1,…,1]T;I為單位矩陣；α=[α1,α2,…,αl]T；Qij=K(xi,xj)，i,j=1,2,…,l。

SVM的核心是核函數，核函數的選擇和核參數的確定至關重要，本文采用具有較好統計性能的RBF核函數[6]：

K(xi,xj)=exp(-g‖x-xi‖2),g>0

(5)

式中：g為高斯核參數。

最后可得到模型如下：

(6)

懲罰因子C和核參數g的選取關系到SVM模型的精度，本文用改進的PSO算法[7]對懲罰因子和核參數g進行尋優。

2 基于SVM的大壩可靠度分析響應面方法

2.1 SVM偏導數推求

SVM的最終表達式如式(6)所示，其偏導數取決于核函數的類型。本文選取的核函數為RBF核函數，其構造的響應面方程對應的一階偏導數如下：

(7)

2.2 基于SVM的響應面方法

傳統的結構可靠度響應面方法通過循環重構展開點附近的局部響應面和搜索設計點進行迭代計算，本文利用SVM進行響應面的重構，運用驗算點法(JC法)計算設計點和結構的可靠度，基本步驟如下：

(1)假定初始展開中心點X(1)(x(1)1,x(1)2,…,x(1)2)，通常取各變量的均值。

(2)通過正交試驗原理設計有限個具有代表性的訓練樣本。各隨機變量在ui±3σ內選擇，ui為第i個隨機變量的均值，σi為第i個隨機變量的均方差。若各隨機變量服從N(u,σ)的正態分布，其值在±3σ區間外的概率不大于0.13%[8]。

(3)將訓練樣本的輸入變量代入有限元計算，可得到各樣本對應的效應量。將樣本輸入變量作為SVM的輸入，有限元計算結果作為SVM的輸出，進行學習訓練可得到SVM響應面方程式(6)。為了消除量綱的影響，對輸入變量和效應量進行歸一化處理：

X′=0.1+0.8(X-Xmin)/(Xmax-Xmin)

(8)

式中：Xmax、Xmin為每組樣本數據的最大值與最小值。

(4)采用驗算點計算SVM響應面方程式的結構可靠度β，偏導數由式(7)求得。

3 實例分析

為驗證上述理論，本文以文獻[9]中的實例進行該重力壩壩踵抗拉強度結構可靠度計算。該重力壩為1級水工建筑，設計年限為100年，大壩壩高99 m，壩頂寬7 m，擋水壩段的上游面垂直，下游面88 m壩高以上部分垂直，以下部分為1∶0.75的斜坡，壩基面水平。圖1為該重力壩的有限元模型，壩基面向下巖體取1倍壩高，向上游距壩踵、向下游距壩址也取1倍壩高。假設基巖彈性模量無限大，其他基本隨機變量統計參數見表1。

圖1 某大壩有限元模型Fig.1 The finite element model of the dam

根據重力壩壩踵破壞的失效模式，可以建立極限狀態方程如下：

Z=σ-g(H1,γc,α)=σ-[σ]

(9)

式中：[σ]為壩踵拉應力，該值由有限元計算得到。

根據正交試驗設計隨機變量為5水平的學習樣本：[ui-3σi,ui-1.5σi,uii,ui+1.5σi,ui+3σi]，該例中，共有3個變量因子，因此可得到25組隨機樣本，對這25組隨機樣本進行有限元結構計算，得到相對應的壩踵拉應力值。

表1 隨機變量及統計參數Tab.1 The random variables and statistical parameters

對25組SVM學習樣本根據式(8)進行歸一化處理，對歸一化后的樣本用SVM學習訓練，其中核參數采用改進的PSO算法進行尋優，得到最終的模型如表2所示，SVM學習結果見表3，學習樣本的均方誤差FMSE用式(10)進行計算，復相關系數R用式(11)表示。

(11)

表2 支持向量機參數表Tab.2 The parameters of the support vector machine

表3 支持向量機預測結果Tab.3 The predicting results of the support vector machine

由表2和表3可以看出，SVM的預測值與有限元的計算值較接近，可以用SVM訓練結果作為結構響應面的重構函數。

生成SVM結構響應面重構函數后，利用驗算點法計算該大壩壩踵抗拉強度的可靠度，并與文獻[9]中的計算結果進行比較，如表4。根據材料力學公式可求出該壩踵拉應力強度功能函數：

Z=σ+99.6γc-9.01αH1-1.55H1-1.84×10-3H31

(12)

根據式(12)用驗算點計算得到的該壩踵可靠度為3.123。

表4 結構可靠度計算結果Tab.4 The predicting results of the support vector machine

由表4可以看出，SVM響應面法結合驗證點法的結構可靠度計算結果與JC法更為接近，而用SVM-Monte-Carlo法計算的該重力壩壩踵失效概率為JC法的兩倍多，顯然SVM響應面法的計算結果較SVM-Monte-Carlo法的計算結果更為合理，這是因為大壩失事的概率很小，用Monte-Carlo法計算需要計算較多的次數，如果循環計算次數太少，則不能保證計算的結果可靠性。

4 結 語

本文利用支持向量機對小樣本、非線性的數據具有較好擬合能力，通過有限元計算有限個樣本的效應量，建立輸入變量與效應量之間的聯系，構造了基于SVM響應面函數表達式，然后利用驗算點法求得結構的可靠度，基于上述算法的可靠度分析方法一來解決了對于復雜水工結構工程難以求出顯示極限狀態功能函數的問題，二來不需要進行大量的重復計算，大大降低了計算工作量，提高了計算精度。

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