一堂散發(fā)數(shù)學(xué)思想的習(xí)題課

余麗

去年有幸參加了區(qū)教研室組織的《一題一課，自主編題》的課堂教學(xué)評(píng)比活動(dòng)，也幸運(yùn)的獲得了區(qū)一等獎(jiǎng)的榮譽(yù)，現(xiàn)在把對(duì)這堂課的設(shè)計(jì)和反思在這里和大家分享及交流。

這是一道初一的閱讀材料題，題目是：

閱讀下面的材料：

1×2=（1×2×3-0×1×2），

2×3=（2×3×4-1×2×3），

3×4=（3×4×5-2×3×4）， 由以上三個(gè)等式相加，可得

1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20

根據(jù)以上材料，請(qǐng)你計(jì)算下列各題：

（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（寫(xiě)出過(guò)程）；

（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）= （結(jié)果可以不化簡(jiǎn)）

（3）模仿上面的材料，試計(jì)算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12的值（寫(xiě)出過(guò)程）

由于我面對(duì)的學(xué)生是民工子弟，基礎(chǔ)不太好，因此課堂的設(shè)計(jì)我想到了由淺入深。

課例展示：

1.復(fù)習(xí)鞏固

師：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了有理數(shù)的混合運(yùn)算，在遇到比較復(fù)雜的運(yùn)算題時(shí)，我們通常會(huì)運(yùn)用一些運(yùn)算規(guī)律和技巧簡(jiǎn)便運(yùn)算，比如分配律，結(jié)合律等，當(dāng)然還有一些題目需要我們尋找其中的規(guī)律，從而解決問(wèn)題。現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們做這樣一道計(jì)算題：

學(xué)生：第1小題可以去括號(hào)，有些數(shù)可以正負(fù)抵消。

師：非常好

學(xué)生：第2小題可以提取5倍，然后把括號(hào)里的數(shù)相加，也可以正負(fù)抵消一些數(shù)。

通過(guò)這兩道題讓學(xué)生體會(huì)互為相反數(shù)的項(xiàng)可以抵消的規(guī)律，以及逆用乘法分配律可以簡(jiǎn)便運(yùn)算。

2.引入

讓學(xué)生計(jì)算：

（1）1×2 （1×2×3-0×1×2）=

（2）2×3 （2×3×4-1×2×3）=

（3）3×4 （3×4×5-2×3×4）=

師：觀(guān)察以上3小題左右兩邊的運(yùn)算結(jié)果，你能得出什么結(jié)論？

學(xué)生：左邊和右邊的結(jié)果相等

學(xué)生經(jīng)過(guò)思考得出：

1×2=（1×2×3-0×1×2）

2×3=（2×3×4-1×2×3）

3×4=（3×4×5-2×3×4）

由以上3個(gè)等式相加可得：

1×2+2×3+3×4=（3×4×5-0×1×2）=×3×4×5=20

師：三個(gè)等式的左邊是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，右邊是連續(xù)三個(gè)自然數(shù)乘積組成的兩項(xiàng)的差。右邊相加后提取，括號(hào)里的項(xiàng)依次相加，正負(fù)項(xiàng)抵消后，只剩下最大項(xiàng)減最小項(xiàng)。

3.利用“裂項(xiàng)相消”規(guī)律解決問(wèn)題

根據(jù)以上運(yùn)算規(guī)律，讓學(xué)生計(jì)算下列各題：

（1）1×2+2×3+3×4……+10×11=

（2）1×2+2×3+3×4……+n×（n+1）=

對(duì)于第2題先引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比歸納得到：n×（n+1）[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]

4.提出問(wèn)題——編題

請(qǐng)你模仿上面的材料，編擬一道計(jì)算題

引導(dǎo)方向：

（1）從自然數(shù)的個(gè)數(shù)去變化；

學(xué)生：1×2×3+2×3×4+……+9×10×11

（2）從起步“1×2”去變化；

學(xué)生：2×3+3×4+4×5……+99×100

（3）從兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)到不連續(xù)的自然數(shù)；

學(xué)生：2×4+4×6+6×8……+2n·（2n+2）

（4）從整數(shù)到分?jǐn)?shù)；

四位板演的學(xué)生不僅編出了四種類(lèi)型的題目，而且還一一分析了解答過(guò)程。

5.總結(jié)

師：同學(xué)們，對(duì)于這道題的編題方法，我相信還有很多同學(xué)有更精彩的想法，同學(xué)們可以課后再討論研究一下，有想法的同學(xué)還可以寫(xiě)篇小論文呢！今后遇到類(lèi)似的項(xiàng)數(shù)比較多的計(jì)算題，可以考慮是否能用“裂項(xiàng)相消”的規(guī)律來(lái)解決。

教學(xué)反思

這節(jié)課我讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算比較，得出規(guī)律，應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)引導(dǎo)學(xué)生來(lái)編題，而且給學(xué)生明確的編題方向，可以從數(shù)字的個(gè)數(shù)，是否連續(xù)性以及是否是自然數(shù)等改變其中一個(gè)或幾個(gè)特點(diǎn)進(jìn)行改編。因此，學(xué)生在編題的過(guò)程中也精彩紛呈，四個(gè)板演的同學(xué)從不同角度進(jìn)行了改編，而且還能解答。

如何幫助學(xué)生建立并理解規(guī)律的數(shù)學(xué)關(guān)系模型，提高學(xué)生抽象思維水平，把一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法提升為一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方案，這正是我們上這類(lèi)專(zhuān)題課的目的和本源。課堂中我們要及時(shí)組織學(xué)生回溯規(guī)律形成過(guò)程，品味是如何解決復(fù)雜問(wèn)題的，引導(dǎo)學(xué)生反思“從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手——找規(guī)律——用規(guī)律”，幫助學(xué)生積累必要的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生通過(guò)這樣的學(xué)習(xí)方式，收獲的更多是學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)素養(yǎng)的提升，從而為學(xué)生可持續(xù)發(fā)展注入更多的動(dòng)力。

有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴(lài)模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。由于本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的活動(dòng)性和探究性比較強(qiáng)，所以在教學(xué)設(shè)計(jì)上，我們應(yīng)多采用學(xué)生獨(dú)立思考和小組合作交流的方式，特別是四人小組合作完成計(jì)算并展示，通過(guò)課前感知規(guī)律——情境中發(fā)現(xiàn)規(guī)律——操作中深化規(guī)律——體會(huì)中創(chuàng)新規(guī)律——生活中應(yīng)用規(guī)律這五個(gè)環(huán)節(jié)，由淺入深，層層遞進(jìn)進(jìn)行教學(xué)。

最后，我覺(jué)得自己不足的地方在于：所編的題目的深度可以再加強(qiáng)，如題目1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12，可以把數(shù)字由三個(gè)連乘，改編為多個(gè)，把連續(xù)的幾個(gè)自然數(shù)改編為等差的幾個(gè)數(shù)，自然數(shù)也可以改為任意數(shù)?？梢砸龑?dǎo)讓學(xué)生編出以下題目并計(jì)算：

a（a+d）（a+2d）……（a+kd）+（a+d）（a+2d）……（a+（k+1）d）+（a+kd）……（a+2kd）（a，d為任意數(shù)，k為整數(shù)）

我想這樣應(yīng)該更能發(fā)揮學(xué)生的積極性，更開(kāi)拓學(xué)生對(duì)這類(lèi)題目的理解等，使整節(jié)課的深度得到提升，使學(xué)生們的能力得到進(jìn)一步發(fā)展。