類比教學法在函數教學中的應用

唐乃洋

【摘要】類比學習法是數學教學中的有用方法，它符合學生的認知規律，是學習新知識的階梯。正比例函數、一次函數、二次函數類似的知識點很多，不論是新授還是復習，用類比教學法，是深刻理解它們之間聯系和區別的最有效方法。

【關鍵詞】研究 方法 類比

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）02-0139-01

類比方法是學生學習新知識一種思維方法，它可以幫助學生理解知識點的概念、圖像、形式、性質等，達到理解它們之間的聯系與區別的目的。這樣既可以加強學生快速掌握新知識，又有利于培養學生良好的思維品質。

所謂“類比教學”，就是對有相似之處的知識進行比較，看看它們有哪些相同點和不同點，并且通過它們的相似點來類比新知識，特別是新舊知識有相似聯系的，如果不反復地歸類比較，指出知識間的異同，認清它們的本來面目，就有可能混淆，作業就會出錯。我們知道越容易混淆的知識，放在一起學習，反而不會混淆，更會進一步掌握新知識。下面我以一次函數與二次函數為例來談談類比法在數學教學中應用。

在學習數學知識時，對新知識運用類比方法學習，能達到溫故而知新，深刻理解、增強記憶的目的。

在學習正比例函數、一次函數、二次函數時，我先讓學生回顧已經學習過的函數研究方法，來學習后一個函數，比較它們的系數、取值范圍和解析式的不同，明確在運用時的注意事項。讓學生認識到它們的研究方法都是：特殊到一般、數形結合、分類討論。研究內容都是：圖像特征（形狀、位置、重要的點）、性質（畫圖、觀察圖像）。

1.函數表示方法類比

我們在初中階段課本介紹的函數表示方法，一般是：（1）列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變量與函數之間的對應規律。（2）解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數之間的相依關系，但有些實際問題中的函數關系，不能用解析式表示。（3）圖像法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數關系。

2.一次函數、二次函數特例類比

把一次函數和二次函數特例放在一起進行類比，一是符合學生的認知規律，從簡單到復雜，二是讓學生了解它們的研究方法，為學習y=kx+b（k、b是常數，k≠0），y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）打下基礎。

一次函數y=kx+b（k、b是常數，k≠0），當b=0時，y=kx+b即y=kx，一次函數就變成了正比例函數，所以說正比例函數是一種特殊的一次函數。

分類畫圖，觀察圖像：k>0，圖像經過第一、三象限；k<0，圖像經過第二、四象限，b>0，圖像經過第一、二象限；b<0，圖像經過第三、四象限。

二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）的特例是y=ax2（a≠0），當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。|a|越小，則拋物線的開口越大。

分類畫圖，觀察圖像：對稱軸、頂點坐標、開口大小、開口方向、增減性。

3.二次函數解析式類比

正比例函數、一次函數解析式都是一種表達形式，反比例函數有三種表達形式，二次函數也有三種表達形式，學生最容易混淆，不知道什么情況用什么表達式好。我們在上課時要把二次函數的三種表達式放在一起，讓學生進行類比，并指出它們的運用點。二次函數的一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0），一般是知道三點坐標，就可求出系數a，b，c。頂點式：y=a（x-h）2；+k，拋物線的頂點P（h，k），知道頂點坐標和圖像上一點的坐標就可求出二次函數的解析式。交點式：y=a（x-x1）（x-x2），僅限于與x軸有交點A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線 。

4.畫圖方法類比

不論是正比例函數、一次函數、反比例函數還是二次函數，畫圖方法都是描點法，畫圖的一般步驟都是：列表、描點、連線，所以完全可以把它們放在一起進行類比，學生也不容易忘記。當然還可以平移作圖，例如一次函數y=kx+b（k、b是常數，k≠0）的圖像，就可以通過平移y=kx的b單位得到。y=ax2（a≠0，a是常數）沿x軸平移h個單位得到y=a（x-h）2，把y=a（x-h）2沿y軸平移k個單位就得到y=a（x-h）2+k的圖像。

5.性質類比

性質類比，我們可以對函數解析式中的關鍵系數進行分類研究，然后讓學生從圖像上觀察它們所具有的性質。

正比例函數y=kx（k是常數，k≠0），當k>0時，直線y=kx經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，直線y=kx經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小。

一次函數y=kx+b（k是常數，k≠0），它的圖像是經過（0，b）和（-■，0）兩點的一條直線。直線y=kx+b可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）。當k>0時，圖像經過第一、三象限；當k<0，圖像經過第二、四象限，b>0，圖像經過第一、二象限；b<0，圖像經過第三、四象限。

二次函數可以分類進行討論，用列表法對a>0，a<0時，它們的圖像、增減性、最值情況進行比較，從而讓學生在類比中，更加清醒地認識它們的性質。

6.方程與函數關系的類比

任何一元一次方程都可以轉化為ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以一次函數可以轉化為：當y= 0時，求相應的自變量的值。從圖像上看，就是求直線y=ax+b與坐標軸的交點。同樣道理，當y=0時，二次函數就變為關于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0。 當Δ=b2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。當Δ= b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。Δ= b2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。

7.對稱軸類比

二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）的對稱軸，不是在y軸的左側就是在y軸的右側，所以我們可以把它們放在一起進行類比。當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。常數項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0，c）。

不論是一次函數還是二次函數，它們的知識點總是與圖形相對應，我們在學習二次函數的時候，一定要注重數形結合，才能讓學生深刻地理解函數知識。我們在進行類比時，可以橫向類比，也可以縱向類比，只要新舊知識有類似之處、有易混易錯之處，都可以進行類比，都能加深學生印象，類比方法在復習總結中作用更大。