機械專業分析力學的教學內容和授課方法探討

郭空明　朱應敏　王芳林

摘要：分析力學由于其理論性強，數學背景濃厚，不但許多工科專業需要開設，物理、數學等理科專業也需要開設。由于分析力學內容非常廣泛，不同專業開設此門課程的教學內容必然有不同的側重點，授課方式也應有所區別。本文針對機械專業分析力學課程存在的問題，對其教學改革進行了研究，主要探討了如何根據專業特點選取合理的教學內容，以及如何更好地在課堂環節上講授這些內容。

關鍵詞：機械專業；分析力學；教學內容；授課方法

中圖分類號：O342 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）11-0174-02

一、分析力學課程特點和內容

分析力學是經典力學的一個分支，其嚴格定義目前尚未有一致性結論[1]。一般認為分析力學是以廣義坐標為手段，虛位移原理和動力學普遍方程為理論基礎，運用數學分析的方法研究力學問題的一門學科[2]。1788年，拉格朗日重要著作《Mécanique Analytique》的出版，標志著分析力學的初步形成。之后在各國學者的推動下，分析力學取得了長足的發展，并且有了更豐富的內涵和外延。

分析力學學科具有以下特點：（1）以標量的“能量”以及廣義坐標、廣義力為中心；（2）不考慮理想約束力，因此比起牛頓力學，更適于處理約束系統；（3）高度數學化，有理論深度；（4）應用廣泛，已超出經典力學范疇。

分析力學學科包含如下內容：拉格朗日力學、哈密頓力學、動力學變分原理、微振動理論、剛體動力學、天體力學、穩定性理論、Noether定理、Birkhoff系統、幾何力學等。其中，傳統工科分析力學的授課內容一般為前三部分，而理科分析力學的內容要更為廣泛一些。

二、機械專業分析力學課程存在的問題

對于機械專業來講，其研究對象為受約束的機構，研究內容為機械振動和機構動力學等。對于機械振動，分析力學可使其建模方法更加規范化；對于機構動力學，由于其存在大量的約束，采用分析力學方法建模更加便捷。因此，機械專業分析力學課程的開展是非常必要的。

目前對于機械專業的分析力學課程，還存在一些值得探討的問題。首先，這門課程一般只作為選修課，課時有限，授課時必須有所取舍和側重；其次，工科學生的數學基礎相對理科學生略顯薄弱，但課程中存在一些數學背景深厚的概念，因此需要在課程的嚴謹性和易懂性之間取得一定的平衡；最后，分析力學即使在力學課程中也是一門基礎學科，因此在授課時應注意將其知識與其他力學課程中的知識串聯在一起，而不是孤立地講授。

下文針對這些問題，討論了機械專業分析力學課程內容的設置，并闡述了筆者在講解一些重要內容和知識點時相比傳統的授課方法進行的具體改進。

三、機械專業分析力學課程的內容設置和講授方法

上文提到，機械專業分析力學的應用領域主要在結構和機構動力學，因此，課程的設置應偏重于拉格朗日力學，尤其是第二類拉格朗日方程。

（一）第一章 緒論

講述近代力學發展史、分析力學的大致定義、分析力學的特點。在近代力學發展史講授中，要突出分析力學尤其是拉格朗日力學的地位，提高學生對課程的重視性。講述分析力學特點時，要明確指出其最大特點是適合處理約束系統，以區別理論力學所學的知識。

（二）第二章 分析運動學

這部分屬于基礎知識，授課內容靈活性不大，講授內容包括：約束、等時變分、虛位移和自由度、廣義坐標、運動學問題的分析法。

對于第一部分約束，筆者相比其他一些傳統教材，加入了判斷微分約束是否可積的方法。因為學生在接觸到微分約束不一定是非完整約束這個結論的時候，很自然地會產生一個問題：究竟哪些微分約束才是可積的？該部分的內容填補了這個空白。

第二部分內容等時變分實際上在這里講授顯得較早，但是該部分內容作為基礎，可以使得下一部分內容虛位移中變分符號的出現不顯得太過突兀。另外通過學習變分的運算法則，學生才能夠從坐標的約束方程得到各虛位移之間的約束方程。

第三部分內容與傳統授課相比，筆者主要針對自由度這個概念將學生所學知識橫向比較。對于自由度的概念，學生在許多課程中都有學習，但不同課程由于研究對象不同，對其定義也會有所偏差。例如，振動力學由于不涉及非完整約束，就可以把自由度定義為描述系統位形的最少坐標數。另外還要對學生強調，自由度數與所研究的問題側重點有關，例如四連桿機構有一個自由度，但如果考慮連桿的彈性振動，則有無限個自由度。

第五部分內容運動學問題的分析法是大部分傳統教材所沒有的，內容主要參考了教材[3]。通過學習這部分內容可以基于坐標之間的關系得到速度之間的關系，避免了采用理論力學的基點法。這樣一來，即使學生理論力學基礎較差，也不會太過影響這門課程的學習。

（三）第三章分析靜力學

這部分內容設置靈活性同樣不大，講授內容包括：廣義力、虛位移原理、拉格朗日-狄里克雷定理。

第二部分虛位移原理的使用范圍本應是“理想約束、雙面約束、實位移是虛位移中的一個”。但是學生對于“實位移是虛位移中的一個”這個表述一般不易理解。因此可以放寬為“理想約束、雙面約束、定常約束”，這樣并不影響學生應用該原理。對于例題的設置，可以選用一些材料力學和結構力學求解梁支座約束力的題目，以體現分析力學的基礎性。

第三部分拉格朗日-狄里克雷定理是虛位移原理在保守系統中的具體應用。對于平衡穩定性的概念，可以引入材料力學的壓桿穩定性和流體力學中繞流物體的穩定性進行類比，使學生認識到這是一個具有普遍意義的概念。

（四）第四章分析動力學

傳統分析動力學需要講授哈密頓正則方程及相關概念，但是哈密頓正則方程主要優勢在于研究物理領域，對于機械振動和機構動力學，正則方程用處較小。而正則方程延伸出的諸多概念如正則變換、泊松括號等，學生學習起來太過抽象。因此筆者認為機械專業可以不講授哈密頓正則方程相關內容。因此這一章的講授內容包括：動力學普遍方程、第二類拉格朗日方程、動能的結構、微振動、初次積分、第一類拉格朗日方程、Routh方程。

本章第二部分第二類拉格朗日方程是分析力學課程最重要的內容。第二類拉格朗日方程的推導過程較為煩瑣，學生會感到枯燥，但仍然不可或缺。因為這部分公式的推導為接下來的內容如動能的結構、初次積分等打下了基礎，同時對學生的邏輯思維能力也是一個提升。在例題方面，筆者建議設置一些電路系統和機電耦合系統，這樣可以使學生意識到該方程的普適性。另外，學生在學習這部分內容時，常犯的一類錯誤就是眼高手低，尤其是求導、正負號等很容易出錯。因此一定要讓學生獨立完成一定量的課堂練習。

第三部分內容動能的結構雖然略顯抽象，但考慮到旋轉機械動力學是機械領域的一個重要研究方向，仍然有必要進行講授。這部分內容也為第四和第五部分內容打下了基礎。

第四部分內容微振動主要講授如何得到非線性振動的線性化方程。筆者發現在許多工科的振動力學教材中，雖然都提到了把動能寫成速度的二次型，勢能展開為坐標的二次型，就可以得到線性化的振動方程，但并沒有給出一種規范的方法，因此添加了這部分內容。這部分內容主要參考了理科教材[4]。

第五部分內容是分析力學求解動力學方程的古典方法。雖然目前求解動力學方程往往采用數值方法，但并不代表該部分內容就不重要了，因為初次積分代表系統存在守恒量，在一些特殊條件下代表具體的力學量的守恒，如能量守恒、角動量守恒等，具有明確的物理意義，而不僅僅是數學上的抽象概念。另外需要對學生強調初次積分和約束的區別，雖然形式相似，但前者是由動力學方程得到的，而后者是純粹的運動學概念。

（四）第五章動力學變分原理

動力學存在多種形式的變分原理，筆者在授課時只選擇了工程中常用的兩個變分原理，一是高斯最小拘束原理，二是哈密頓原理。前者在機構分析中應用較多，而后者在彈性振動中應用廣泛。這一章的講授內容包括：高斯原理、泛函與變分法、哈密頓原理。

第二部分泛函與變分法的講授主要是為哈密頓原理打基礎。雖然學生只需記住公式便可運用哈密頓原理，但實際上對于接觸最多的有限自由度系統，直接使用第二類拉格朗日方程會比哈密頓原理方便得多，因此哈密頓原理主要是講述一種思想而非具體方法，所以一定要講授泛函和變分法的概念。對于哈密頓原理，其泛函的宗量較為抽象，可以引入簡支梁的應變能（宗量為撓度）作為類比，便于學生理解。

第三部分的哈密頓原理與第二類拉格朗日方程等價，但使用起來需要分部積分，沒有直接采用后者方便，學生往往會有一種印象，認為哈密頓原理用處不大。因此筆者授課時引入了簡支梁的振動方程作為例題，雖然推導過程比較煩瑣，但可以使學生了解到，哈密頓原理可以處理第二類拉格朗日方程不能處理的問題，而不僅僅是數學形式上更簡潔。

四、結論

分析力學作為一門古老的學科，內涵外延非常豐富，針對不同本科專業的授課內容應具有不同的側重點，授課方式也應有所不同。本文針對機械專業分析力學課程存在的一些問題，闡述了教學內容和方法上的具體改進。在教學內容中，充分考慮機械專業工科特點，刪減了一些偏理科專業的內容。在教學方法上，一方面注重與其他課程的聯系，突出分析力學的基礎性。另一方面兼顧了課程的嚴謹性和學生的理解能力。實踐證明收到了良好的教學效果。

參考文獻：

[1]梅鳳翔.分析力學的定義和內容——分析力學札記之二十五[J].力學與實踐，2015，37（2）：238-242.

[2]力學詞典編輯部.力學詞典[M].北京：中國大百科全書出版社，1990.

[3]劉延柱，楊海興，朱本華.理論力學[M].第2版.北京：高等教育出版社，2001.

[4]金尚年，馬永利.理論力學[M].第2版.北京：高等教育出版社，2008.