中美兩國(guó)初中數(shù)學(xué)課程的問題情境水平比較研究——以“函數(shù)”內(nèi)容為例

陳志輝

（華東師范大學(xué) 教育學(xué)部課程與教學(xué)研究所，上海 200062）

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中美兩國(guó)初中數(shù)學(xué)課程的問題情境水平比較研究——以“函數(shù)”內(nèi)容為例

陳志輝

（華東師范大學(xué) 教育學(xué)部課程與教學(xué)研究所，上海 200062）

摘要：通過改進(jìn)Yeping Li開發(fā)的課程內(nèi)容情境三維模型，建立了數(shù)學(xué)問題情境水平的六情境三維特征分析框架，并選取中美初中數(shù)學(xué)課程的“函數(shù)”內(nèi)容為例，對(duì)兩國(guó)問題情境水平進(jìn)行比較．研究發(fā)現(xiàn)，中國(guó)上海教材的數(shù)學(xué)特征比美國(guó)加州的教材高（即數(shù)學(xué)問題外部表征的復(fù)雜程度更高）．具體而言，在表征特征方面，加州教材中以非文本類的描述性表述為主的問題表征方式占絕大比例，而上海則多以文本類的敘述性表述方式為主；在任務(wù)特征方面，上海教材整體的任務(wù)要求比加州教材高，但在強(qiáng)調(diào)“概念性理解”的任務(wù)要求層次上，兩者則具有很大的一致性．并據(jù)此進(jìn)一步提出針對(duì)中國(guó)新一輪數(shù)學(xué)課程改革特別是課程設(shè)計(jì)方面的一些建議．

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}情境水平；數(shù)學(xué)特征；表征特征；任務(wù)特征；中美數(shù)學(xué)課程比較

1 研究背景

數(shù)學(xué)課程是數(shù)學(xué)教與學(xué)過程中重要的載體，數(shù)學(xué)問題在數(shù)學(xué)課程中扮演著極其關(guān)鍵的角色，而數(shù)學(xué)問題則產(chǎn)生于數(shù)學(xué)情境．?dāng)?shù)學(xué)情境在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程發(fā)揮著關(guān)鍵的作用，其質(zhì)量也將直接影響著課程的運(yùn)作效果；甚至，從長(zhǎng)期的角度來說，數(shù)學(xué)問題情境的特點(diǎn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成更是有著深刻的影響．而PISA倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”理念強(qiáng)調(diào)學(xué)生應(yīng)能對(duì)各種生活情境下的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行辨析并找到解決的策略，將所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際情境中，該理念已得到世界各國(guó)教育界的關(guān)注和重視．中國(guó)在21世紀(jì)初的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（或大綱）中均提及“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的概念，最新一輪數(shù)學(xué)課程改革文件（即《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）里則將義務(wù)教育的數(shù)學(xué)課程性質(zhì)定位為“能為學(xué)生未來生活、工作和學(xué)習(xí)奠定重要的基礎(chǔ)”[1]．

新世紀(jì)初期，國(guó)內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)問題情境方面的研究主要集中在情境教學(xué)模式的探索與問題情境創(chuàng)設(shè)策略等方面，如呂傳漢、汪秉彝等長(zhǎng)期聚焦于中小學(xué)“問題—情境”學(xué)習(xí)模式的研究[2]，并通過教學(xué)實(shí)驗(yàn)不斷進(jìn)行理性提升和教學(xué)模式的拓廣[3]；傅贏芳、張維忠等[4]對(duì)情境文化性特點(diǎn)進(jìn)行了分類探究．現(xiàn)階段對(duì)于數(shù)學(xué)課程問題情境的研究則主要是進(jìn)行概括式描述，如魯小莉[5]從PISA的視角出發(fā)，對(duì)PISA所涉及的問題情境類型的分布進(jìn)行分析；高文君、鮑建生等[6]以中美數(shù)學(xué)教材二次方程和函數(shù)的習(xí)題為例，構(gòu)造出數(shù)學(xué)問題任務(wù)要求維度上的認(rèn)識(shí)水平分析框架．綜上可見，針對(duì)問題情境的整體特性進(jìn)行深層次刻畫的研究卻較為少見．因此，以初中數(shù)學(xué)教材中“函數(shù)”章節(jié)課程內(nèi)容為依托，試圖建立起數(shù)學(xué)課程問題情境水平的模型框架，并對(duì)中美初中數(shù)學(xué)課程的問題情境水平進(jìn)行比較，以期對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)課程改革特別是數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)方面提供一些思路和建議．

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究對(duì)象

中外學(xué)生在PISA測(cè)試中的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就存在著較大差異，選取中國(guó)方面的數(shù)學(xué)課程樣本時(shí)，考慮到中國(guó)大陸只有上海地區(qū)的學(xué)生正式參與過PISA測(cè)試項(xiàng)目，因此，中國(guó)方面選取了上海教材作為代表，美國(guó)方面選取應(yīng)用廣泛的加州Glencoe/McGraw-Hill教材．由于“函數(shù)”是PISA測(cè)試“變化與關(guān)系”領(lǐng)域較有代表性的內(nèi)容之一，因此，選取“函數(shù)”相關(guān)內(nèi)容作為研究對(duì)象，選取的章節(jié)內(nèi)容見表1．

表1 上海和加州教材“函數(shù)”內(nèi)容的相應(yīng)章節(jié)選取

2.2 分析框架

2.2.1 數(shù)學(xué)情境及其水平因素的提取

國(guó)內(nèi)對(duì)“數(shù)學(xué)情境”內(nèi)涵的詮釋并沒有統(tǒng)一的說法．有研究者[7]認(rèn)為，情境是“一個(gè)人在進(jìn)行某種行動(dòng)時(shí)所處的社會(huì)環(huán)境，因此，數(shù)學(xué)情境被認(rèn)為是含有相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的情境”；也有研究者[8]認(rèn)為，數(shù)學(xué)情境指“學(xué)生從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的環(huán)境，是產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為的條件”．

綜上所述，可知對(duì)數(shù)學(xué)情境內(nèi)涵認(rèn)識(shí)的基本特征是“學(xué)習(xí)活動(dòng)的環(huán)境”（情節(jié)）以及“數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)”（思想內(nèi)涵），是整合這兩方面特征的描述，但卻都忽略了這種整合的表現(xiàn)形式．因此，在界定“數(shù)學(xué)情境”概念時(shí)，認(rèn)為整合數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)習(xí)環(huán)境的表現(xiàn)形式也包含于其內(nèi)涵中，即“通過某種信息傳遞形式（如連續(xù)文本或非連續(xù)文本等），承載一定認(rèn)知任務(wù)要求并含有相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想的環(huán)境”．

那么，數(shù)學(xué)情境應(yīng)包含哪些分析因素？

首先，對(duì)情境進(jìn)行分類，可借鑒PISA做法，PISA將數(shù)學(xué)情境按與學(xué)生生活的遠(yuǎn)近程度分為5個(gè)水平，從低到高分別是個(gè)人情境、教育情境、職業(yè)情境、公共情境和科學(xué)情境，鑒于數(shù)學(xué)課程中問題簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)，加入“無情境”作為最低水平的情境類型，因此，將數(shù)學(xué)情境劃分為以上6類．

其次，在對(duì)數(shù)學(xué)問題情境成分分析的研究中，Stigler （1986）等人[9]在對(duì)數(shù)學(xué)教科書的數(shù)學(xué)語句問題（廣義上的數(shù)學(xué)問題情境）進(jìn)行編碼分析時(shí)認(rèn)為“數(shù)學(xué)特點(diǎn)”和聯(lián)系上下文的“表征形式”是兩個(gè)重要的分析維度．Yeping Li （2000）[10]認(rèn)為以上兩個(gè)特征方面的差異性會(huì)在數(shù)學(xué)任務(wù)的要求中體現(xiàn)出來，比如數(shù)學(xué)問題所引出的學(xué)生回應(yīng)方面（例如“解釋”）和認(rèn)知方面（例如“程序性練習(xí)”）．因此，Yeping Li開發(fā)了一個(gè)針對(duì)教科書數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)的3維度分析框架，包括“數(shù)學(xué)特征”、“表征形式”和“任務(wù)要求”3個(gè)維度：其中“數(shù)學(xué)特征”包括單運(yùn)算程序要求（S）和混合運(yùn)算程序要求（M）2個(gè)層次；“表征特征”包括純數(shù)字和單詞形式的數(shù)學(xué)內(nèi)容（PM）和用圖形或故事表示的解說內(nèi)容（IC）2個(gè)層次；而“任務(wù)要求”包含“反應(yīng)類型”和“認(rèn)知要求”2個(gè)方面．Yeping Li研究表明，該模型能夠反映一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的教育目的和數(shù)學(xué)課程目標(biāo)等．

綜上所述，確定數(shù)學(xué)情境為6種類型，且將每類數(shù)學(xué)情境的分析因素確定為“數(shù)學(xué)特征”、“表征特征”和“任務(wù)特征”3個(gè)維度，得到關(guān)于數(shù)學(xué)問題情境水平的分析框架．

2.2.2 分析框架的改進(jìn)和具體化

Yeping Li研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于問題情境各個(gè)特征的層次劃分仍存在一定的局限．因此，研究根據(jù)研究?jī)?nèi)容對(duì)該模型進(jìn)行必要的調(diào)整和改進(jìn)，綜合了Yeping Li、鮑建生[11]等人的研究，對(duì)各個(gè)維度上的層次水平進(jìn)行劃分，確立了描述數(shù)學(xué)問題情境水平的六情境三維特征分析模型，見表2．

表2 數(shù)學(xué)問題情境水平分析框架

例如對(duì)《上教本·八年級(jí)下》中一道習(xí)題：某公司急需用車，但暫時(shí)無力購(gòu)買，于是準(zhǔn)備與出租車公司簽訂合同．以每月行駛x千米計(jì)算，甲出租車公司的月租車費(fèi)用是y1元，乙出租車公司的月租車費(fèi)用是y2元，如果y1=f(x)、 y2=g(x)，這兩個(gè)函數(shù)的圖像如圖1所示，那么：

圖1 出租車費(fèi)用函數(shù)圖像

（1）每月行駛多少路程時(shí)，兩家公司的租車費(fèi)用相同？

（2）每月行駛多少路程時(shí)，租用甲公司的車合算？

（3）如果每月用車的路程約為2 300千米，那么租用哪家的車合算？

依上述分析框架，對(duì)該問題進(jìn)行編碼如下：首先對(duì)情境類進(jìn)行判別：由于問題情境涉及某類公司的開銷策略，因此可將其情境類編碼為職業(yè)情境（OL）．然后，對(duì)該問題情境3個(gè)維度的特征進(jìn)行判別：數(shù)學(xué)特征水平方面，由于整個(gè)問題的外部表征中沒有包含運(yùn)算，因此確定為水平1 （NC-1）；表征特征水平方面，由于問題表述形式為故事情節(jié)加圖像說明，因此確定其表征特征為水平4（SC-4）；任務(wù)特征水平方面，由于該題的考察要求是考察直線交點(diǎn)的含義、一次函數(shù)解析式的求解以及對(duì)于一次函數(shù)的應(yīng)用問題，因此確定其任務(wù)特征為水平3（PS-3）．

為確保分析框架的科學(xué)性，對(duì)PISA2012、SSAT Math試題和上海市2013年中考數(shù)學(xué)試題的數(shù)據(jù)進(jìn)行了檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)所建立的模型對(duì)數(shù)學(xué)問題情境的描述與刻畫基本符合初始假設(shè)和客觀實(shí)際．在對(duì)中美教材中的問題進(jìn)行編碼時(shí)采用小組多人編碼，對(duì)有異議的編碼進(jìn)行討論并最終統(tǒng)一意見，確保編碼和判別的科學(xué)性與客觀性．

3 研究結(jié)果

根據(jù)以上分析框架對(duì)兩國(guó)相應(yīng)課程內(nèi)容的問題一一進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析，得到以下研究結(jié)果．

3.1 數(shù)學(xué)問題情境類別比較

兩個(gè)版本中涉及函數(shù)的課程內(nèi)容中，加州版教材的題例（694）遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于上教版教材（238），但從例題所占的比重上看，則是上教版的比重較高．對(duì)題例進(jìn)行一一判別，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見表3．

表3 加州和上海“函數(shù)”問題情境類統(tǒng)計(jì)

根據(jù)表3可以做出其比重分布圖，見圖2．從圖2可發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)版本的題量雖然有著很大的差異，但在問題情境的分布上卻有著一定的相似性，特別是“無情境”問題比重（加州比重為60.37%，上海為62.61%）有很高的一致性，說明兩個(gè)版本對(duì)于數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)上絕大部分（約五分之三）都不含情境．“個(gè)人情境”方面，加州（5.48%）大約是上海（2.94%）的2倍，說明了加州課程在數(shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)上比上海對(duì)學(xué)生的個(gè)人生活方面的情境的關(guān)注度較高；在“教育情境”方面，上海（19.75%）遠(yuǎn)遠(yuǎn)多過于加州（7.06%），說明上海課程創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境時(shí)較多關(guān)注學(xué)生的教育（環(huán)境）生活；另外3類情境，加州都占據(jù)了一定的優(yōu)勢(shì)．

按PISA強(qiáng)調(diào)的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”（即關(guān)注各種真實(shí)的情境）所提出的5類情境，對(duì)兩個(gè)版本中問題包含“數(shù)學(xué)情境”的分布情況進(jìn)行對(duì)比，可得到更加明顯的結(jié)果，見圖3．從圖3可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)版本基本都包含了這5類情境，但是兩個(gè)版本在數(shù)學(xué)問題情境創(chuàng)設(shè)的側(cè)重點(diǎn)上有較大差異：加州版本的教材在5類情境的創(chuàng)設(shè)中比較注重“公共情境”（10.95%）和“職業(yè)情境”（8.07%），而這兩方面是上海教材數(shù)學(xué)問題情境中比較欠缺的題材（上海教材中該兩類之和才達(dá)到8%）；上海教材中對(duì)于數(shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)偏愛“教育情境”類型（在所有包含情境的37.39%中占了19.75%），而關(guān)于其它類的數(shù)學(xué)問題情境考慮較少，特別是“個(gè)人情境”和“公共情境”兩類問題情境，其比重均在3%以下．

圖2 問題情境類比重分布圖

圖3 問題情境類雷達(dá)圖

3.2 數(shù)學(xué)問題情境水平比較

3.2.1 數(shù)學(xué)問題情境整體水平比較

首先，根據(jù)模型的賦值標(biāo)準(zhǔn)對(duì)加州和上海教材上相應(yīng)內(nèi)容的問題情境特征水平分別進(jìn)行評(píng)分，為了不失科學(xué)性，在評(píng)分過程中使用多人評(píng)分的方法，并對(duì)存在疑問的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行討論，以確保對(duì)問題的數(shù)學(xué)特征、表征特征和任務(wù)特征所處的水平進(jìn)行可靠的描述，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表4．由此獲得兩個(gè)版本教材的3方面特征的均值，并依此得到加州和上海數(shù)學(xué)課程函數(shù)內(nèi)容的問題情境總體水平比較曲線圖，見圖4．

由圖4可以看到，加州和上海教材中函數(shù)部分內(nèi)容的問題情境總體水平上各自有著鮮明的特點(diǎn)，因此兩者之間也存在著很大的差異．

首先，從縱向上看，加州教材的數(shù)學(xué)問題情境的3個(gè)特征中，其表征特征值（2.122 5）最高，而其他兩方面即數(shù)學(xué)特征和任務(wù)特征的均值則大致持平，上海教材則是以數(shù)學(xué)特征（2.701 7）最為突出，而表征特征的值反而是當(dāng)中最小的．其次，從橫向上看，上海教材除了在表征特征均值比加州小以外，其它兩方面的特征均值都比加州高．表征特征方面（1.550 4）則比加州（2.122 5）要低出約30%，而數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)特征值（2.701 7）比加州（1.677 2）高出約61%，任務(wù)特征也要比加州高出約25個(gè)百分點(diǎn)．

數(shù)據(jù)內(nèi)容反映了加州數(shù)學(xué)教材在數(shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)時(shí)表征方式更加具體和生動(dòng)，但數(shù)學(xué)表達(dá)式方面復(fù)雜度以及問題的任務(wù)要求不高；上海教材在問題情境中數(shù)學(xué)表達(dá)式的復(fù)雜程度較高，任務(wù)要求方面也相對(duì)高一些，而表征表達(dá)方式則整體傾向于描述性表征，形象性運(yùn)用表征方式較少．

表4 兩國(guó)教材“函數(shù)”內(nèi)容的數(shù)學(xué)問題情境三維特征水平

圖4 加州和上海“函數(shù)”內(nèi)容問題情境總體水平對(duì)比

3.2.2 數(shù)學(xué)問題情境各特征水平比較

總體的特征只能了解到兩個(gè)教材中問題情境水平各個(gè)特征的概況，還不能觸及到具體的內(nèi)容，因此，仍需要對(duì)每一個(gè)特征的具體內(nèi)容展開探究．

圖5顯示，加州教材中問題表征上數(shù)學(xué)表達(dá)式中以不包含運(yùn)算的占絕大多數(shù)（61.38%），而少數(shù)包含運(yùn)算的幾乎都比上海同等步驟的少，三步運(yùn)算的比重就已經(jīng)極少（只有3.17%）；而上海教材中函數(shù)部分的數(shù)學(xué)表達(dá)式不含運(yùn)算的只有不到三分之一的比例（30.67%），這意味著大多數(shù)問題的表征過程都包含了運(yùn)算，包含運(yùn)算的比例最多為兩步運(yùn)算（22.69%），運(yùn)算步數(shù)最多達(dá)到四步以上，且該部分所占比重大約是加州教材的5倍之多．

對(duì)數(shù)學(xué)特征水平分布的比較結(jié)果發(fā)現(xiàn)，加州和上海數(shù)學(xué)課程的“函數(shù)”內(nèi)容中問題情境的數(shù)學(xué)特征存在著較大的差異，其中很大部分的原因是兩個(gè)版本的教材在函數(shù)內(nèi)容結(jié)構(gòu)安排有著很大的不同：加州教材的“函數(shù)”內(nèi)容編寫較為細(xì)致，許多知識(shí)點(diǎn)都被單獨(dú)列為一節(jié)的內(nèi)容，如變量、斜率等概念，因此在單節(jié)課程中對(duì)于單一概念的問題設(shè)計(jì)，其運(yùn)算步驟的長(zhǎng)度則相對(duì)有限；而上海教材在函數(shù)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)安排上較為緊湊，單獨(dú)一節(jié)課程中所要涉及的概念數(shù)目相對(duì)較多，概念發(fā)生聯(lián)系的機(jī)會(huì)較大，于是關(guān)于運(yùn)算的長(zhǎng)度也就相對(duì)較長(zhǎng)，而且上海課程目標(biāo)中對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能很重視，數(shù)學(xué)表達(dá)式的復(fù)雜度也就隨著增加．

圖5 數(shù)學(xué)特征水平分布比較

從圖6中可以獲知，加州教材“函數(shù)”內(nèi)容中問題的表征以圖表類表征方式居多（達(dá)到39.77%），使用純數(shù)字或短語的次之（約38.47%）；而上海相應(yīng)課程內(nèi)容中卻以純數(shù)字或短語占據(jù)絕大多數(shù)的比例（約總量的三分之二左右），這個(gè)比例比加州同等類型高出約27個(gè)百分點(diǎn)，而圖表表征形式的比重只有13.03%，還不到加州同等形式的三分之一．在另外兩種表征類型上，兩個(gè)版本的比重相當(dāng)．

圖6 表征特征水平分布比較

以上數(shù)據(jù)分析說明，加州教材對(duì)問題表征使用最多的表征方式是用圖表進(jìn)行描述性表征，而上海教材在這方面使用最多的是用數(shù)字或短語和情節(jié)進(jìn)行敘述性表征．不同表征方式對(duì)學(xué)生的能力有著不同的影響，習(xí)慣敘述性表征形式的學(xué)生擅長(zhǎng)于在沉思中進(jìn)行內(nèi)部表征；而習(xí)慣可視化表征形式的學(xué)生解決問題時(shí)其進(jìn)行外部表征也就越好．Brenner等人（1999）的研究[12]表明，在問題解決時(shí)使用可視化進(jìn)行表征的能力上，美國(guó)學(xué)生要比中國(guó)的學(xué)生表現(xiàn)得更好．

從圖7中可以清楚地發(fā)現(xiàn)，加州教材“函數(shù)”部分的內(nèi)容在任務(wù)特征水平分布上以“識(shí)記型練習(xí)”（45.24%）和“概念性理解”（44.52%）的任務(wù)要求為主，至于任務(wù)要求較高部分所占比例很少（后兩項(xiàng)比重之和只有10%左右）；而上海在任務(wù)較高水平（“問題解決”和“問題探究”）的比重則占了30%左右，這一部分大約是加州同等任務(wù)水平的3倍，而在加州所占比例位居首位的“識(shí)記型練習(xí)”上僅有25%左右，“概念性理解”水平所占比例最大（43.70%），這一比例和“問題探究”所占比例均與加州同等任務(wù)水平大致持平．

對(duì)以上數(shù)據(jù)的分析說明兩個(gè)版本在“函數(shù)”內(nèi)容中數(shù)學(xué)問題的任務(wù)要求方面既存在共性，又有著各自鮮明的特點(diǎn)．兩個(gè)版本的內(nèi)容都在“概念性理解”所占比例相差無幾，而且是各自任務(wù)特征水平中的重要比例部分，說明兩地教材在問題任務(wù)的要求上都強(qiáng)調(diào)了“概念性理解”水平；而存在差異的地方是加州教材除了重視“概念性理解”以外，還特別重視“識(shí)記型”的任務(wù)，而上海教材所側(cè)重的卻是更高要求的“問題解決”方面的任務(wù)特征．對(duì)照上文宏觀比較分析的結(jié)果，這種差異很大程度上折射出兩國(guó)（地）課程標(biāo)準(zhǔn)在“函數(shù)”內(nèi)容上目標(biāo)要求的區(qū)別．

圖7 任務(wù)特征水平分布比較

4 結(jié)論與啟示

4.1 結(jié) 論

通過數(shù)學(xué)問題情境水平的比較，可以獲知加州和上海課程在同一內(nèi)容上對(duì)于數(shù)學(xué)問題設(shè)置體現(xiàn)出不同的特點(diǎn)．總體而言，在數(shù)學(xué)特征方面，上海教材中數(shù)學(xué)問題表述的復(fù)雜度往往比加州的高，有研究[13]表明，數(shù)學(xué)問題難度中的一個(gè)重要的維度是精確性，而運(yùn)算步驟的長(zhǎng)度會(huì)影響計(jì)算的精確性，可見，從運(yùn)算步驟長(zhǎng)度比較的結(jié)果上看，上海教材計(jì)算難度的要求比加州更高．而表征特征方面，加州教材對(duì)問題的表征方式較上海具體化，問題的表征方式多以非文本類的描述性表述為主，而上海則多以文本類的敘述性表述為主，由于表征方式對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)表征能力（如對(duì)圖表的解讀[14]）的影響也是明顯的，這也是之所以“西方學(xué)生在解決問題時(shí)較多地采用可視性表征方式（圖示等），而中國(guó)學(xué)生較多地使用符號(hào)表征方式”的原因之一[15]．在任務(wù)特征上，兩個(gè)版本的課程在強(qiáng)調(diào)“概念性理解”具有很大的一致性，但略微不同的是加州課程在強(qiáng)調(diào)概念理解以外更加重視“識(shí)記型”任務(wù)而上海教材則更加重視“問題解決”任務(wù)類型，這體現(xiàn)了兩國(guó)課程對(duì)學(xué)生認(rèn)知要求的差異[16]．

4.2 啟 示

由此可以得到的教育啟示有如下幾個(gè)方面：

首先，在數(shù)學(xué)課程改革特別是問題情境類型設(shè)置方面，由前文對(duì)數(shù)學(xué)問題情境水平的因素分析發(fā)現(xiàn)不同情境類可以體現(xiàn)出課程題材和國(guó)家或地區(qū)文化的關(guān)聯(lián)性．有研究者[4]指出，由于中國(guó)對(duì)應(yīng)用題中存在的廣泛的文化現(xiàn)象未給予應(yīng)有的重視，以至于在應(yīng)用題中出現(xiàn)了一些高重復(fù)率的情境或是不合理的題目等現(xiàn)象．研究發(fā)現(xiàn)，上海教材在問題情境類的設(shè)置上除了無情境類型以外，與加州的側(cè)重點(diǎn)有著很大的不同，尤其是“教育情境”類型偏多，而這在一定的程度會(huì)導(dǎo)致題目的高重復(fù)率、過于數(shù)學(xué)化和不合理等現(xiàn)象．這說明中國(guó)（上海地區(qū)）的數(shù)學(xué)課程改革尤其在針對(duì)問題情境類的選取上應(yīng)多關(guān)注各種情境的合理安排．

其次，在數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)方面，一方面，針對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)課程宏觀情況（如探究課類型單一、數(shù)量較少等），對(duì)探究課的設(shè)計(jì)應(yīng)給予一定程度的重視，數(shù)量上應(yīng)有所增加，這將有助于學(xué)生進(jìn)行課外的探究．更重要的一方面是數(shù)學(xué)問題情境水平的創(chuàng)設(shè)，通過對(duì)數(shù)學(xué)問題情境因素分析發(fā)現(xiàn) ，數(shù)學(xué)問題情境包括數(shù)學(xué)特征、表征特征和任務(wù)特征這3個(gè)要素，因此在進(jìn)行數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)于問題情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)充分考慮這些特征因素的情況，使學(xué)習(xí)材料更加科學(xué)合理．研究發(fā)現(xiàn)，中國(guó)數(shù)學(xué)課程問題情境的表征特征方面存在著過分偏重于敘述性而外部表征方式單一，忽略描述性表征方式的問題，若長(zhǎng)期下去，將在很大程度上阻礙學(xué)生圖表解讀能力發(fā)展．因此，在課程問題情境的創(chuàng)設(shè)上須從整體上合理地把握好數(shù)學(xué)、表征與任務(wù)3個(gè)特征因素的水平層次．

最后，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方面，課堂的問題情境除了滿足具備數(shù)學(xué)科特點(diǎn)以外，應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)與其他學(xué)科文化之間的融合以及與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系．?dāng)?shù)學(xué)“素養(yǎng)”的能力要求使學(xué)生應(yīng)在各種情境下?lián)碛羞\(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，而課堂是影響學(xué)生這種思維品質(zhì)的重要學(xué)習(xí)場(chǎng)所，因此，課堂上老師所創(chuàng)設(shè)問題情境無疑比書本上更加直接和富有感染力，在更大程度上潛移默化地影響學(xué)生“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的水平，課堂中不應(yīng)只關(guān)注較為理想化的封閉式的場(chǎng)景，而應(yīng)適當(dāng)注意非理想化和開放的數(shù)學(xué)情境，才能發(fā)揮學(xué)習(xí)者的創(chuàng)造力，更好地促進(jìn)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展．

［參 考 文 獻(xiàn)］

[1] 中華人民共和國(guó)教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

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[責(zé)任編校：張楠]

Comparative Study of the Level of Mathematical Problem Situation in School Mathematics Curricula between China and USA——A Case of Content of Function

CHEN Zhi-hui
(Institute of Curriculum and Instruction in Faculty of Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

Abstract:In this study, the author tries to establish a three-dimensional analytical framework of six math problem situations to evaluate the level of problem situations in mathematical course.The new framework is based on Yeping Li’s three-dimensional model of mathematical course content.Then the author takes the middle school’s “Function” course in China and America as a sample and makes a comparison of the two courses.The study shows that the level of the textbook’s mathematical characteristics in Shanghai is much higher than that in California-higher mathematical characteristics means the external representation of the math problem is more complex.Specifically, California textbook mainly uses descriptive representation such as non-text form as the main style of representation of mathematical question, while Shanghai textbook mainly uses narrative presentation such as text form; as for the characteristics of task, Shanghai textbook demands more than California textbook in general.But when it comes to the task of emphasizing “conceptual understanding”, both textbooks are almost at the same level.

Key words:level of problem situation; mathematical feature; representational feature; performance feature; comparative studies on mathematics curriculum between China and USA

作者簡(jiǎn)介：陳志輝（1987—），男，廣東普寧人，博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)教育國(guó)際比較和數(shù)學(xué)教師教育研究．

收稿日期：2015–10–05

中圖分類號(hào)：G40-059.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004–9894（2016）01–0005–05