民國時期實驗幾何教科書的發展及其特點

代 欽

（內蒙古師范大學 科學技術史研究院，內蒙古 呼和浩特 010022）

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民國時期實驗幾何教科書的發展及其特點

代 欽

（內蒙古師范大學 科學技術史研究院，內蒙古 呼和浩特 010022）

摘要：實驗幾何在中學幾何教育中占有極其重要的地位．它萌芽于19世紀中葉的歐洲中學數學教育中，20世紀初在英國數學家和數學教育家培利的倡導下，逐漸在歐美中學數學教育中開始普及．實驗幾何學在20世紀20年代傳入中國，1932年教育部制定的《初級中學算學課程標準》中首次設置了實驗幾何課程，并確定了其教學目標和要求，這是中國幾何教育的一大進步．當時，數學教育工作者翻譯和編寫出版十多種實驗幾何相關教科書，制作了詳細的實驗幾何教學計劃，并提出了關于實驗幾何教育教學的見解．民國時期的實驗幾何教育對今天的中小學數學教育教學具有積極的借鑒作用．

關鍵詞：民國；實驗幾何；中學數學教育

近幾年掀起了清末民國數學教育研究的熱潮，尤其是對中小學數學教科書發展史的研究成果顯著，從宏觀研究到微觀研究，出現了清末民國時期的微積分教科書[1]、中學代數學教科書[2]、中學幾何學教科書[3]、小學算術教科書、中學三角學教科書[4]、教科書作者[5]、教科書具體內容[6]等各分支學科的碩博士學位論文和大量的小論文．關于實驗幾何教科書方面，陳婷博士的學位論文的一部分《我國20世紀30年代初中實驗幾何教科書考察》[7]從一個側面很好地反映了民國時期實驗幾何教科書情況，但作者掌握第一手文獻資料只局限于汪桂榮的《實驗幾何》教科書，歷史背景的介紹和分析少，設置實驗幾何的心理學依據缺乏．基于這種情況，本文在占有豐富的相關原始文獻的基礎上，更深入地闡述民國時期實驗幾何的歷史發展背景、實驗幾何的歷史地位、實驗幾何教學的實施、內容呈現方式等方面，以便使數學教育同仁們更好地了解當時的實驗幾何教科書的編寫情況及其教學理念等．

1 實驗幾何及其歷史背景

實驗幾何這個名稱出現已有一百多年的歷史，在歐美有幾種表達術語，有實驗幾何（Experimental Geometry）、直觀幾何（Intuitive Geometry）、作圖幾何（Constructive Geometry），簡便幾何（Informal Geometry）、具體幾何（Concrete Geometry）、經驗幾何（Empirical Geometry）和實踐幾何（Practical Geometry）等．與實驗幾何相對的有理解幾何或論證幾何．

所謂實驗幾何，其性質即與原始之幾何相類，其方法乃在直接考察圖形，逕行引出結論，而未嘗企圖作邏輯之嚴格推證[8]．

德國著名數學家F·克萊因為實驗幾何下了描述性定義[9]：先用實物使學者認識各種幾何形體，及熟習各項幾何名詞，但不正式告以幾何之定義．次，使學者練習如何運用尺、圓規、量角器、三角板等，作為各種圖形，注重精確與整潔．復次，使學者根據作圖量角，發現簡單關系．

進行實驗幾何教學的目的在于使學者由觀察及實驗認識幾何形體，發現其簡單的關系，以及求幾何量的大小．學者們對實驗幾何教學提出一系列目標[9]：

（1）發展學者空間觀念（量的觀念）及空間懸想；

（2）養成學者于自然，工藝，及家庭諸方面所遇幾何形體有欣賞之能力；

（3）訓練學者如何運用直接量法及間接量法；

（4）給予學者自動研究之機會，如此可以使學者智慧日漸增進；

（5）指示學者如何使用尺，圓規，量角器，三角板等繪圖器具；

（6）使學者估計幾何量之大小；

（7）使學者自由觀察認識幾何事實；

（8）使學者有自行發現幾何關系之能力；

（9）使學者有從特別事實，推求普遍結論之能力；

（10）使學者有愛精確整潔之習慣；

（11）從游戲及職業兩方面，提起學者對于幾何之興趣；

（12）使學者認識幾何與文化之關系；

（13）為研究推理幾何及其他算學建一良好基礎．

實驗幾何產生的歷史背景可以追溯到公元前五千年到公元前三千年．正如美國數學史家H·伊夫斯所說：“幾何學的實驗研究階段稱為科學的（或者實驗的、經驗的、歸納的）幾何學．盡可能深入地探究其歷史根源，我們已經發現有關科學的幾何學的大量內容．這些幾何學看來在古代東方（地中海以東及亞洲各國）的某些先進地區，從公元前五千年到公元前三千年就已經產生了，用以滿足當時工程、農業和宗教需要．”[10]但是實驗幾何作為學校教學內容正式提出來則是19世紀中葉以后的事情．

19世紀中葉后，英國Spencer開始提倡實驗幾何，他所著“發明幾何，學者讀之，頗為生動而有興趣．”[9]20世紀初，世界數學教育改革倡導者之一——英國數學家約翰·培利（J.Perry，1850—1920）于1901年發表了關于數學教育改革的重要演講，給當時數學教育界以強烈的沖擊．他在《算學教育之討論》的報告中提出“在全脫歐氏之束縛，趨重實驗之幾何，實際之量法，采用方格之紙，注重立體之幾何，幾何之實用等”主張[11]．討論之末，培利指出：“（1）量法及幾何中之實驗法，當授于推論幾何之先，但雖在最先之步驟，亦有若干推論之法理當輸入．（2）所采用之實驗法，大可付諸教授之判斷，此等法包括吾所述初等要略中所示之一切……”[11]

美國重視實驗幾何，是在19世紀中葉．Hill所著《幾何初步課程》，注重由實在幾何形體引起兒童研究之興趣，使兒童由觀察得到幾何觀念，而不注意純粹思考，實為實驗幾何之萌芽．

1909年，Myers在First-Year Mathematics中開始以一種非正式的形式討論了實驗幾何的內容，將經驗與實驗幾何相聯系．實驗幾何根據兒童的經驗，讓兒童通過一系列的練習，如畫圖形、測量線段和角等實驗掌握幾何圖形的性質、特點等，通過嚴格的證明得出結論，并在此基礎上進入論證幾何[12]．

1911年在意大利召開了國際數學教育委員會會議，在會上意大利提出的《對于中等學校幾何學嚴密性的報告》中說：“根據數學的嚴密程度，可將幾何學的教學法進行如下分類：……C.直觀的觀察與演繹的證明，互相為用．D.直觀的經驗、實驗的方法．”[13]

值得指出的是，實驗幾何教學內容進入學校教育并不是一帆風順的，而是經過半個多世紀的爭論和陣痛后才實現的．首先，19世紀的數學教育的目的并不明確．日本著名數學教育家小倉金之助指出：“實際上，在19世紀數學教育的意義和目的還是不是那么明確．”[14]其次，實驗幾何受到傳統數學教育思想的阻力．在19世紀，“沒有目標的數學教師在最具有古老意義的形式陶冶——傳統的偶像的旗幟下，在現實中為了資格考試和入學考試進行著抽象的、形式的、無實質的、難題的教學．即使是最好的情形下，中等學校的‘數學教學的目的給人的感覺就像培養數學家那樣’”[14]．這種傳統數學教育思想對實驗幾何的阻力是可想而知的．

實驗幾何思想方法20世紀20年代隨著混合數學的翻譯引進而傳入中國，并在幾何教科書和教學中有所體現．首先，1920年開始陸續翻譯出版《布利氏新式算學教科書》（三編）中就有實驗幾何內容，但沒有明確給出實驗幾何概念．其次，1920年代國人編寫的初中幾何教科書中有實驗幾何內容，但也沒有明確其概念．如，周宣德的《現代初中教科書幾何》“編輯大意”中提出：“（2）從前的幾何教本，都是理論很詳，實用很少，學生學了幾何定理外，簡直不知道幾何有什么用處，自然沒有興趣．本書就在這種地方注意改良，隨時把定理作法等引到實用方面去．（3）初學幾何，最緊要的是開首有合宜的引導．本書第一篇里用直接量法同間接量法，漸漸引到幾何的理論方面，不但能使學生知道這種學問的必要，并可使他們認清研究的目的．”[15]又如，張鵬飛《新中華中學教科書算學》（混合數學）中提出：“本書名詞，據已知釋未知，不尚嚴格之論理，由粗而精，啟之以易；理法，藉有形以明無形，多取顯豁之圖象，先驗后證，示之以實．”[16]

2 實驗幾何的歷史地位

追溯幾何學的歷史淵源會發現：非演繹事實的探究引導了演繹原理的探究，這也是實驗幾何產生和發展的源頭．從幾何學的教育價值來看，其不僅要成為智力訓練的幾何，而且應該是實踐工具的幾何，于是實驗幾何在數學教育中有其特殊的歷史價值．

（1）實驗幾何對于混合數學的實施有一定的貢獻．混合數學強調算術、代數、幾何等學科的相互融合，如實驗幾何中面積部分，關于求積之事項，涉及與算術、代數的密切聯系，更好地實現了由代數學習向幾何學習的過渡．

（2）實驗幾何教科書的內容選擇直觀，通過讓學生獨立觀察實驗，容易引起學生對于幾何學習的興趣，并且內容的組織符合學生學習的心理，通過學生觀察、實驗認識幾何圖形及其性質，一改以往幾何教科書以定理證明開篇的現狀，通過觀圖察理的方法，引導學生思考并為之后分析法的引出奠定基礎．

（3）實驗幾何教科書中強調學生教學儀器（工具）的使用，不僅使學生養成準確敏捷地使用數學工具的習慣，而且養成了在數學學習中不斷實驗的態度，進一步明了實驗是科學研究（論證）的重要途徑．

（4）實驗幾何的非演繹性更有助于加強數學知識的實用性，同時實驗幾何教學的實施可以通過多種非演繹的途徑獲得對幾何性質的認識，其教學材料是以觀察和實驗的學習方式達到對于某種幾何性質的認識和應用于實踐的目的，這些經驗對于教科書的改革具有借鑒作用．

3 實驗幾何教學的實施

1932年，教育部制定了《初級中學算學課程標準》，課程設置方面在第二學年第一學期設置實驗幾何，每周2學時，第二學期（周2學時）及第三學年兩個學期（周3學時）設置幾何（作者注：“幾何”指論證幾何）．另外，高中第一學年第二學期（周3學時）和第二學年第一學期（周4學時）設置論證幾何．實驗幾何教學實施至1949年．1949年10 月1日中華人民共和國成立后不久于1950年6月頒布了《數學精簡綱要（草案）》，包括“初中幾何精簡綱要”（草案）．根據該草案編寫的《初中幾何教科書》中將“實驗幾何”一詞改為“經驗幾何”，并要求僅講到等分線段為止，其余均刪去．從1952年以后初中幾何中沒有實驗幾何內容，這是初中幾何教育的一個倒退．《初級中學算學課程標準》的“教材大綱”中制定實驗幾何部分包括：“平面幾何圖形；基本作圖題；用量法發見直線形，圓等之特性；三角形作圖題及圖解法；平面形之度量；空間幾何圖形；立體面積及體積之度量．”[17]該標準在“實施方法概要”中指出：“幾何事項本為直觀教材，故應從實驗幾何入手，俾易于引起學生興趣而輸入明確之基本觀念．教授實驗幾何，應使學生自動作圖度量．在立體幾何中，更應自作紙板或他種模型．無論平面或立體，凡關于度量之簡單公式，應用實驗方法驗明之．”[17]在課程標準中設置實驗幾何內容、教材大綱和實施方法概要之后，數學教育工作者紛紛進入實驗幾何教學研究行列中，研制教學細案，編寫教科書等．例如，1933年江蘇省教育廳修訂初中算學科教學進度表[18]，其中“實驗幾何”教學進度如表1．

4 實驗幾何教科書案例

1932年在課程標準中設置實驗幾何內容后，先后出現了多種實驗幾何教科書，有的以“實驗幾何”命名，有的以“初中幾何”命名．民國時期與實驗幾何有關的教科書的出版情況如表2所示．

表1 第二學年第一學期“實驗幾何”教學進度表

表2 部分與實驗幾何有關的教科書

由表2可知，設置實驗幾何內容的幾何教科書有多種，教科書之間雖然有些差別，但是實驗幾何教科書的編寫理念、內容設置及相關的特點之間的差異甚小．有些作者在編寫出版教科后又編寫與之配套的教科書詳解，便于學生自學．例如，張幼虹出版《修正新課程標準適用實驗初中算術》后又編撰《實驗初中算術習題演習指導》（1941年），并油印發行．為了便于更好地闡明實驗幾何教科書特點，主要以俞鵬、石超的《修正課程標準適用初中新幾何（上）》（以下簡稱“實驗幾何”）為個案分析實驗幾何教科書的編排理念、編排形式以及特點等．

4.1 編寫理念及編排形式

實驗幾何的內容設置在理解幾何部分之前，民國時期的實驗幾何教科書大多是根據西方實驗幾何內容編排而成．理解幾何按照點、線、面、體的順序展開，而實驗幾何則是按照體、面、線、點的順序展開．具體如下：首先，用直觀物體描述立體的含義，如講臺、粉筆盒等都是立體．其次，立體的界面叫做面，面有平面和曲面．再次，兩面的相交處叫做線，線有直線和曲線．最后，兩條線的相交處叫做點[19]．其他實驗幾何教科書也采用這種定義順序，但各自在表述上有所差異．

實驗幾何的這種以體、面、線、點的順序定義和學習幾何的思想方法，是典型的直觀教學方法，而裴斯泰洛奇曾清晰而深刻地闡述了直觀教學法．換言之，實驗幾何與自主探究、發現等教學法有機地結合在一起．

在“實驗幾何”的“編輯大意”中提出了實驗幾何教學理念[19]：

（1）注意學者手眼與儀器的熟練，以養成其準確敏捷的習慣．

（2）養成學生實驗的態度，使知實驗為研究事物的重要方法．

（3）使學生明了歸納方法，并能自由應用．

（4）使學生對于幾何圖形的基本觀念及平面立體的度量，能確切明了，并能應用．

實驗幾何的另一重要理念是為理解幾何的學習奠定基礎，正如《測驗中心平面幾何學》“編輯大意”中所說：“第一單元實驗幾何學，搜集各種富有興趣之實驗材料，為學習理解幾何之準備．”[20]

4.2 內容特點

“實驗幾何”的主要內容涉及量法（包括各種度量）及作圖問題，其中量法部分主要包括線段、角、垂線及平行線、圓、各種幾何體的面積和體積．

“實驗幾何”內容的設置由以下幾個部分組成．

（1）在“幾何學基礎”中介紹幾何學、點、線、面、體、直線、平面、平面幾何學、角、直角與垂線、平角、補角、銳角與鈍角、周角與共軛角、優角與劣角、角的單位、二面角等基本概念方法均為通過學生的直觀觀察或實驗測量來實現．

（2）作圖工具和作圖題．

（3）用量法發現直線形及圓的特性．

（4）作圖題和圖解法．

（5）平面形和立體的度量．

“實驗幾何”以問答題、實驗題和練習題的次序展開．實驗題有28組，問答題有11組，練習題有14組，每組題又由若干小題組成．認為沒有必要探究的地方只設置問答題和練習題，如“幾何學基礎”和“基本作圖”中只有問答題和練習題．而“用量法發現直線形及圓的特性”一章中先給出相關的幾何概念，然后通過一些實驗題，讓學生按照提示去實驗，最終以命題的形式歸納出相關的幾何性質．實驗題中涉及有目的性的探究實驗及作圖過程中無目的性的實驗．

4.2.1 平面幾何案例

如書中探究“兩直線相交對頂角相等”時，就是有目的性的實驗，具體如下[19]：

實驗題一（P20）（如圖1）：

圖1

（1）畫相交兩直線．

（2）用量角器把四只角a, b, c, d都量出，看∠a同∠b的關系怎樣？∠c同∠d的關系怎樣？

（3）再任意畫相交兩直線，把對頂角剪下了，看他們能不能一一疊合？

根據這個實驗，可知：

§27.二直線相交，對頂角相等．

由此可見：上題中屬于指向性地直接考察對頂角的大小關系，像這樣有目的性的實驗題中多提及“根據這個實驗”或“根據上法多作實驗”等字句，最終以命題的形式歸納出相應的幾何性質．

另外，“實驗幾何”特別注重作圖方法，通過作圖發現各種幾何圖形的性質．其中有些作圖題指向性明確可直接得出性質（如實驗題二），有些作圖題是在作圖過程中或根據作圖結論得出相關的幾何性質（如書中實驗題四）．

實驗題二：過不在一直線上的三點作一圓．（P63）（如圖2）

圖2

已知：三點A、B、C不在一直線上．求作：過A、B、C的圓．

作法：1.連接AB，BC．2.作AB的垂直二等分ED，再作BC的垂直二等線FG，相交于O．3.用O做圓心，OA（或OB，OC）做半徑作圓，即得．由這作圖法可知：過不在一直線上的三點，僅能作一圓．

由這個作圖法，可知：

§98.過不在一直線上的三點，僅能作一圓．

事實上，該作圖過程頗有啟發性，如給出一部分圓弧后，學生可以應用這種作圖法使圓弧擴展為完整的一個圓．

實驗題四：“直角三角形三邊相互的關系”的學習．（P76）（如圖3）

圖3

作直角三角形各邊上的正方形，若各邊能量得整數的，則如圖（1），知斜邊上正方形的面積，等于余二邊上正方形面積和；若不能量得整數的，則如圖（2），用割補法，也得同樣結果．

設AB=c，BC=a，CA=b，則得[畢氏定理] c2=a2+b2．

4.2.2 立體幾何案例

民國時期，在初中實驗幾何中適當安排了立體幾何的一些基本概念和幾何體的表面積和體積的內容．首先，通過二平面的位置關系，給出了二平面平行和二平面相交的概念，其中二平面相交產生二面角的概念，并給出了二面角的定義．在此基礎上，介紹了直線與平面的平行和相交關系，在相交關系中介紹直線與平面的垂直關系．其次，基于上述概念，介紹立體的度量、表面積與側面積、直六面體、體積單位、直角柱、直圓柱、直錐體、直錐臺、球等概念的基礎上，用實驗的方法推導出直六面體、正立方體、直角柱、直圓柱、直角錐、直圓錐、直錐臺、球等的體積公式和表面積公式．

例如，推導直圓錐的體積和表面積公式時表述如下（P88—89）（如圖4）：

用泥、石膏或面粉做等底、等高的直圓錐，再把這些泥、石膏或面粉來做一個底和直圓錐底相等的直圓柱，恰好和前面的直圓錐等底又等高．故得：

圖5

又如，該題在汪桂榮編著的《實驗幾何學》（正中書局，1936年）中是按照如下方式處理的（P117—118）（如圖5）：

以上兩個案例是關于同一個問題的不同解決方法，富有趣味性和實踐性．第一個案例是使學生通過動手操作對同底同高的不同幾何體之間的轉換，第二個案例是讓學生通過倒米對同底同高的不同容器體積之間的比較．總之，通過實驗讓學生從已知的圓柱體體積公式到未知的圓錐體體積公式，從而使他們掌握了兩者之間的關系．

4.3 練習題與習題的安排

最后設置練習題，練習題分為兩種：一種是對幾何定義學習的鞏固練習，如針對三角形的定義及其分類，提出一系列的相關問題；一種是對實驗題得出的結論進行延伸或變式練習．多數的實驗幾何教科書都是采用這樣的設置，但仍有一些教科書還設置了誘導題，例如何時慧編《何氏初中幾何》，在新授課內容之前設置與該節內容有關的誘導題作為引入環節的內容．

不同初中幾何學教科書的練習題或習題中安排了大量有趣的作圖題，目的在于使學生熟練掌握作圖方法并加深對作圖原理的理解，同時培養學生的幾何學審美能力．如這些教科書安排如下作圖題：

圖6

5 結 語

“實驗幾何”教科書的發展也反映了實驗幾何教學的發展狀況．可以從4個方面思考實驗幾何教學問題．

首先，實驗幾何并不是到初中以后突然出現的東西，而是小學的幾何知識就有實驗幾何的特點．如各種幾何形體的直觀認識和特殊形體的面積、體積的計算等．但是到初中后，通過實驗從經驗上把握幾何概念．小學的不自覺的實驗幾何到初中的實驗幾何，再過渡到理論幾何是一種循序漸進的過程．值得指出的是，中學的理論幾何教學并不是完全拋棄實驗幾何的教與學的方法，而是在理論幾何學習中也適當地需要實驗幾何方法．

其次，從實驗幾何到理解幾何的教學也具有教育心理學理論的支撐．正如布魯納指出：“單靠右手性的秩序、理性和紀律，人類的精神永遠不會走向完善．”[21]這里強調了操作、行動、經驗和直覺思維在學習中的重要意義．實驗幾何教學、理論幾何教學應該對應于布魯納所提倡的數學學習和數學教學的兩種方法．第一種方法為經驗總結法，或叫做揭示本來面目法，其目的就是發現和揭示在實際問題解決中某些典型性的抽象性質．……在數學教學中，也同樣運用實際問題或具體的體現物來為學習者的后來抽象學習奠定經驗基礎．數學教學第二種方法就是直接對謎題的性質進行探索，也就是探索數學本身．……第二種方法不關心數學理念和數學關系代表什么或從哪兒起源的，而更愿意關心數學的基本原理，像關心語句的語法那樣[21]．關于這方面，著名教育家裴斯泰洛奇早已有精辟論述：“分析的方法就是用問題引出事實，而不是用理論來陳述事實；就是說明問題的原委，而不是單純地就事論事；就是引導人們動腦筋去創造，而不是停留在滿足于別人的創造上．……（幾何學）它不是指掌握某些圖形和數據的某些性質或比例，而是推理的精確、創造的才華，事實上它們是通過熟悉那些練習而獲得的，它們使智力獲得從事各種活動的資格．”[22]又指出：“對感覺已經清晰理解了的物體進行邏輯性的調查研究后明顯地發現，它的第一個促進因素就是我們利用了所獲得的計數和測量的能力，因此，在數目和形狀的簡化練習中，將會找到獲取那一方面能力的最好方法．我們也明白為什么‘要素方法’理論把數目和形狀進行簡易的心理學化的處理，連同對語言作類似的處理，看作我們培養思維能力的最普遍、最有效的手段，同時，這也是與大自然相適合的．”[22]

再次，民國時期在初中幾何中適當安排了立體幾何內容．在當今中小學數學教育改革中，在小學和初中數學中適當地安排立體幾何的一些簡單概念和原理，對小學、初中與高中數學的銜接具有積極意義，同時對培養學生空間想象能力具有重要促進作用．今天，雖然在課程標準中提出了培養學生空間想象能力的要求，但是現實的教學實踐中體現得并不理想．研究者近幾年在全國不少地方為“國培”小學數學教師作了數十次講座，多次給小學數學教師們提出了臺灣小學生的練習題：“植4棵樹，使它們彼此之間距離相等，如何做？”他們的回答情況讓人失望，當場正確回答者寥寥無幾．他們常常從平面視角思考該問題，很少從空間的角度考慮問題．施教的老師的情況尚且如此，更何況學生呢？

最后，從國際幾何教育視野看，發達國家實驗幾何教育方興未艾，而理論幾何不同程度地被減弱．例如，日本的小學和初中數學中實驗幾何內容占一定的比例．在日本折紙在幾何教學中經常被采用，這也是實驗幾何的一種表現．中國數學教育研究者開始關注折紙幾何等問題，已經出現關于這方面的論著．總之，要加強實驗幾何教材的研究和開發，以便更好地適應幾何教育的發展．

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[責任編校：周學智]

Development and Features of Experimental Geometry Textbooks in the Republic of China

DAI Qin
(Science and Technology History Research Institute of Inner Mongolia Normal University, Inner Mongolia Hohhot 010022, China)

Abstract:Experimental geometry plays a critical role in the geometry education of secondary school.It developed from the mathematics education in European secondary schools in the mid-19th century and gained its popularity in the secondary school mathematics education in Europe and America with the proposal of Paley in the early 20th century, a British mathematician and mathematics educator.It was introduced into China in 1920s, and in 1932 its curriculum was set for the first time in The Mathematics Curriculum Standard for secondary School by Ministry of Education, and its teaching objects and requirements were clarified, which is views as a great progress in the geometry education in China.At that time, the mathematics educators translated, compiled and published over 10 textbooks relevant to experimental geometry, made detailed teaching plans and gave some practical teaching proposals.As to the present mathematics education in primary and secondary schools the experimental geometry in the Republic of China era has a positive reference.

Key words:the Republic of China; experimental geometry; mathematics education in secondary school

作者簡介：代欽（1962—），男，蒙古族，內蒙古科右中旗人，教授，博士生導師，主要從事數學教育與數學史研究．

基金項目：2012年高等學校博士學科點專項科研基金聯合資助課題——中國中學數學教科書整理研究（1902—1949）（20121502110001）；2010國家社科基金重大項目——中國百年教科書整理與研究（10&ZD095）子課題——百年中小學數學教科書的變遷研究

收稿日期：2015–09–18

中圖分類號：G40-055

文獻標識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）01–0015–06