基于模擬實驗的假設檢驗教學

陳占壽

（青海師范大學 數學系，青海 西寧 810008）

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基于模擬實驗的假設檢驗教學

陳占壽

（青海師范大學 數學系，青海 西寧 810008）

摘要：基于單樣本T檢驗介紹了如何利用模擬實驗的方法講解假設檢驗問題．在母體分別服從正態分布和T分布的條件下，給出了T統計量在不同樣本容量下模擬得到的經驗水平和經驗勢，從而直觀地解釋了為什么要求檢驗數據服從正態分布，什么是犯第一、二類錯誤的概率以及決定錯誤概率大小的因素等問題．對比實驗結果表明，在假設檢驗問題的教學中加入模擬實驗環節可以顯著提高教學質量．

關鍵詞：假設檢驗；模擬；T檢驗；對比實驗

1 引 言

數理統計是數學、統計、金融等許多理工科專業本、專科學生的基礎必修課[1]．假設檢驗是數理統計中最主要的教學內容之一，如何教好這部分內容，培養學生假設檢驗的思想，是每一名數理統計任課教師的重要任務[2]．文獻中有許多關于假設檢驗相關問題的討論[3～5]．目前，國內外絕大多數概率論與數理統計教材中關于假設檢驗問題的理論講解基本都可總結為4步：第一步是提出原假設和備擇假設；第二步是選擇合適的檢驗統計量，并利用樣本觀測值，計算統計量在原假設成立時的值；第三步是提出顯著性水平α，并根據檢驗統計量的分布查出臨界值，確定出接受域和拒絕域；第四步是做出判斷，如果檢驗統計量的值落入拒絕域，則拒絕原假設，認為原假設不成立，否則接受原假設，認為當前的抽樣數據無法說明原假設不成立[6～8]．

根據多年的教學經驗發現，學生很容易就能夠記住假設檢驗的基本步驟，但對于假設檢驗的本質原理無法很好地理解，導致在做題時會出現許多問題．學生遇到的主要困難和出現的主要問題有：如何選擇原假設和備擇假設，為什么要選擇這個統計量，為什么要假定所抽取的樣本要服從指定分布，如果樣本不服從這種分布會出現什么問題，顯著性水平為什么就是犯第一類錯誤的概率，犯第二類錯誤的概率是多少，為什么接受原假設不能簡單地理解為原假設一定成立等．對于許多學生，任課教師要一一解釋清楚這些問題難度比較大，尤其對于學困生，傳統的教學方法效果不佳．

文獻中有許多學者調查分析了目前中國大學數學教學的現狀，發現對于大部分學生，都存在一些數學原理只知如何計算，但不知道為什么要這樣計算，更不能解釋計算結果的實際意義[9～10]．為提高概率統計教學課程的教學質量，文[11]提出了一種類比教學法，但這種方法主要針對的是概率論知識，而對于數理統計知識不易實現．若能讓學生參與到教學活動中，不僅有利于激發學生的學習興趣，提高教學質量[12]，還有利于學生創新能力的培養[13]．雖然國內出版的一些新的概率統計教材中倡導理論教學與Matlab軟件教學相結合的模式[13]，但這些教材中對于軟件的講解基本停留在如何利用Matlab軟件函數命令實現結果，無法真正促使學生參與到教學中積極思考和理解統計原理．反而容易讓學生產生既然軟件能做，自己就不需要動手計算的惰性思想．對于假設檢驗問題，研究者在教學過程中，把理論教學與計算機模擬實驗教學相結合，通過讓學生利用Matlab軟件自己編寫假設檢驗程序計算經驗水平和經驗勢的方法讓學生不僅很好地掌握了假設檢驗的基本原理，提升了學生對前述多個問題的理解程度，還提高了編程能力，達到了很好的教學效果．

文章第2節以最基本的單樣本T檢驗方法為例，介紹如何通過計算機模擬實驗的方法讓學生盡快理解假設檢驗原理，理解為什么要假定觀測樣本要服從正態分布，犯第一類、第二類錯誤的概率與樣本容量大小之間有什么關系等問題．第3節通過對比試驗的方法揭示了計算機模擬實驗教學方法在提高學生學習成績方面的顯著效果．

2 模擬實驗方法及結果

單樣本T檢驗的目的是對服從正態分布的數據，檢驗均值是否與理論均值相同，其檢驗統計量為

第一步：利用Matlab函數randn生成一組均值為μ0，容量為n的樣本．

第二步：利用生成的隨機數據計算統計量T的值，并與查到的臨界值C=tα/2(n -1)作比較，當|T|＞C時記k=k+1．這里給出的臨界值是雙側檢驗的情況，在單側檢驗問題中可相應的改變，k的初始值為0．

第三步：將第一、第二步循環M次，并計算值k/M，稱為經驗水平，即犯第一類錯誤的頻率．

當計算統計量T的值時建議讓學生自己編程計算，而不要用現成的函數命令[7]，這有助于學生更好地記住這個統計量．在以上步驟中只需要讓學生明白每循環一次就相當于做了一次假設檢驗，由于檢驗數據就來自均值為0μ的正態分布，所以當|T|＞C時說明檢驗犯了第一類錯誤．當樣本容量n和循環次數M足夠大時，經驗水平與顯著性水平會非常接近．為了讓學生明白樣本容量n和樣本所服從分布對于檢驗結果的影響，在第一步中可以分別通過改變n的值和生成其它分布的隨機數據重新做模擬來觀察經驗水平的變化．

表1給出的是取μ0=1，α=0.05，分別通過生成標準正態分布，自由度為2、5、10、20的t分布，當樣本容量n分別取10、20、30、50、100時，經10 000次循環得到的經驗水平值．從表1可以看出，當檢驗數據來自正態分布時，在各種樣本容量下，經驗水平都很接近檢驗水平（即顯著性水平）．而對于不同自由度的t分布，經驗水平與顯著性水平間的差距較大，這說明當檢驗數據不服從正態分布，而服從t分布時，犯第一類錯誤的概率不再是給定的顯著性水平，而且自由度越小，犯錯誤的概率不受控性越高．通過觀察和分析這些結果，就很容易讓學生理解顯著性水平的意義，并明白要求檢驗數據服從正態分布的原因．此外，還有利于學生探索不同自由度t分布的特征．需要指出的是，要讓學生理解一種檢驗方法犯第一類錯誤的概率不是越小越好，而應該是越接近檢驗水平越好．

為了讓學生理解什么是犯第二類錯誤的概率，以及犯第二類錯誤的概率與樣本容量間的關系．在前述第一步的模擬實驗中生成均值為μ1≠μ0的隨機數據，并在μ0=1原假設下做檢驗．此時，由于原假設為假，所以比值k/M（稱為經驗勢）越接近1，說明這種檢驗方法越好，即犯第二類錯誤的概率1-k/M越小．表2和表3分別給出的是μ1取1.5 和2時的模擬結果．從表中可以看出，樣本容量越大時經驗勢越高，即犯第二類錯誤的概率越低，且檢驗數據越接近正態分布，檢驗勢越高，這也從另一個方面解釋了為什么要求檢驗數據滿足正態性要求．比較兩個表中的數據，還可看出檢驗數據的真實均值與原假設的均值差異越大，經驗勢越高，即犯第二類錯誤的概率越低．通過這些結果的觀察和分析，可以讓學生很直觀的理解什么是犯第二類錯誤的概率以及影響它大小的一些因素．此外，還可以通過改變正態分布方差的大小來觀測經驗水平與經驗勢的變化規律，從而進一步加深學生對于假設檢驗原理的理解．這部分模擬結果不再一一列出．

表1 經驗水平

表2 1μ=1.5時的經驗勢

表3 1μ=2時的經驗勢

3 對比實驗

為檢驗上述方法的教學效果，以青海師范大學2011級兩個數學專業本科班學生作對比實驗，其中A班79人作為實驗班，利用模擬實驗教學的方法講解假設檢驗一章的內容，B班80人作為對照班，采用教材中介紹的傳統教學模式．這兩個班級是在入學時按高考成績分班，各班學優生、普通生和學困生的比例基本相同，且大學所有課程都是由相同教師教課，各科平均成績接近．調查發現兩個班級在大學期間的各方面表現都基本相似，能夠滿足對照實驗的要求．為進一步說明實驗的公平性和有效性，首先通過獨立樣本T檢驗法分析了兩個班第一學期概率論課程的期末成績，檢驗結果表明兩個班的概率論成績無顯著差異．教學內容完成后，用相同的卷子分別在兩個班進行了測試，對測試成績的T檢驗p值小于0.001，即兩個班的成績具有顯著差異，發現實驗班的平均成績比對照班提高了8.6分．說明這里提出的模擬實驗教學法確實能夠更好地提高教學質量．

為進一步比較兩種教學方法對于不同層次學生的教學效果，首先將各班第一學期概率論成績分為60—69，70—79，80—89，90分以上4組（分別記為Level 1、2、3、4），利用方差分析方法分析各層次學生的學習成績提高程度是否有顯著差異．方差分析結果表明A班的p值小于0.001，B班的p值為0.007，所以認為不論新教學方法還是普通教學方法，對不同層次的學生成績提高程度都有顯著差異．

為具體區分各層次的差異程度，進一步做兩兩分析．分析結果表明，試驗班成績只有60—69與70—79層次之間的成績提高無差異，其余各層次間都有顯著差異，這說明新教學方法對于不同層次學生的成績提高程度有不同的效果．對照班成績的兩兩分析結果表明，除了60—69分的學生與其余各層次的學生成績提高程度有差異外，其余各層次學生的成績提高程度無顯著差異．將每位學生的測試成績與概率論成績之差稱為提高的分數，如圖1分別是實驗班和普通班第一學期概率論成績與提高分數間的散點圖，由于兩幅圖中的擬合直線都有負的斜率，這說明不論新教學方法還是傳統教學方法，對于成績越差的學生，成績提高程度越明顯，成績越好的學生成績提高程度越小，且新教學方法的提高程度更顯著．

圖1 概率論成績與提高分數散點圖

影響一個班級成績的因素可能有多個方面，由于課程的設置，無法獲取更多的成績數據，導致這里只以一次期末考試成績做了對比實驗，可能會出現一次檢測未必具有一般性的問題．但從直觀因素比較可知，兩個班級的各方面環境都很接近，且兩個班級的概率論成績無顯著差異，所以基本可以認可實驗得出的結論，認為基于模擬實驗的假設檢驗教學方法確實能更好地幫助學生理解和掌握這部分知識．研究者在這兩個班級教授《多元統計》課程時，也的確能感覺到實驗班的學生對于假設檢驗原理理解得更加透徹．

4 總 結

以單樣本T檢驗為例，介紹了如何通過計算機模擬實驗教學的方法講解假設檢驗問題，分別模擬了正態分布和幾個不同自由度的t分布在不同樣本容量下的經驗水平和經驗勢，通過模擬結果形象具體地解釋了為什么要求檢驗數據要服從正態分布，并揭示了犯第一類、第二類錯誤的概率與樣本容量間等因素的關系．最后通過在兩個班級作對比實驗的方法說明了基于模擬實驗的教學方法在提高教學效果方面的功效，并具體分析了這種教學方法對于各類層次學生成績的改進效果．雖然這里只以單樣本T檢驗做了比較分析，在教學中可按相同的方法模擬其他假設檢驗問題，并可進一步研究這種基于模擬實驗的教學方法在改進參數估計、方差分析等知識點方面的效果．

［參 考 文 獻］

[1] 李雙．《概率論與數理統計》教材與實踐[J]．數學教育學報，2012，21（5）：84-87．

[2] 張艷艷．大學數學文化課程中培養隨機性數學思維的實踐研究[J]．數學教育學報，2013，22（5）：86-90．

[3] 尹江麗．數理統計課程教學方法探討[J]．數學教學研究，2013，（1）：65-67．

[4] 張建俠，鞠銀．假設檢驗功效的蒙特卡羅模擬[J]．統計與決策，2012，（4）：83-84．

[5] 郭寶才，孫利榮，關于假設檢驗中的幾個問題的探討[J]．統計與決策，2010，（6）：10-11．

[6] 王明慈，沈恒范．概率論與數理統計[M]．北京：高等教育出版社，1999．

[7] 魏宗舒．概率論與數理統計（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，2007．

[8] 湯大林．概率論與數理統計[M]．天津：天津大學出版社，2004．

[9] 伍建華，江世宏，戴祖旭，等．大學數學教學的現狀調查和分析[J]．數學教育學報，2007，16（3）：36-39．

[10] 劉喆，高凌飚，黃淦．數學師范生數學素養現狀的調查研究[J]．數學教育學報，2012，21（5）：23-28．

[11] 彭紅軍，梁艷．概率論與數理統計課程的全程類比教學研究[J]．數學教育學報，2012，21（1）：95-97．

[12] 胡啟宙，孫慶括．高師數學教學論課程中參與式教學模式的構建[J]．數學教育學報，2013，22（3）：77-79．

[13] 付軍，朱宏，王憲昌．在數學建模教學中培養學生創新能力的實踐與思考[J]．數學教育學報，2007，16（4）：93-95．

[14] 張德豐．MATLAB概率論與數理統計分析[M]．北京：機械工業出版社，2010．

[責任編校：周學智]

Teaching Hypothesis Test Based Simulation

CHEN Zhan-shou
(Department of Mathematics, Qinghai Normal University, Qinghai Xi’ning 810008, China)

Abstract:This paper introduces how to teach hypothesis test problem via simulation based on single sample T test.The simulated empirical sizes and powers of T statistic for different sample size under the normal distribution and T distribution are reported.These results can explain intuitively why one should assume the data must follow normal distribution, what are type I and type II error probabilities, and what factors can influence them.Parallel test indicates that it will improve the teaching quality significantly to add simulation experiment when teach the topic about hypothesis test.

Key words:hpothesis test; simulation; T test; parallel test

作者簡介：陳占壽（1982—），男，青海互助人，教授，博士，主要從事數理統計教學及相關研究．

基金項目：國家自然科學青年基金——基于sieve bootstrap方法的長記憶過程變點分析與應用研究（11301291）；2013年青海師范大學教研項目——概率統計課程中的計算機模擬實驗教學研究

收稿日期：2015–09–20

中圖分類號：O212.1

文獻標識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）01–0031–03