聚焦“基本數學活動經驗”

顧繼玲

（南京師范大學 教師教育學院，江蘇 南京 210097）

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聚焦“基本數學活動經驗”

顧繼玲

（南京師范大學 教師教育學院，江蘇 南京 210097）

摘要：數學活動經驗是經歷數學活動過程沉淀下來的，因此數學活動經驗的內容應從數學活動過程角度進行梳理．基本的數學活動經驗主要是：在數學化的過程、問題解決的過程和反思的過程中所積累的數學活動經驗．

關鍵詞：過程；數學活動經驗；數學化；問題解決；反思

《義務教育數學課程標準》（2011年版）將“雙基”發展為“四基”，即“基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”．其實在《義務教育數學課程標準》（實驗稿）中就已提及“數學活動經驗”，認為數學知識包括數學事實、數學活動經驗，將“數學活動經驗”作為主觀性知識納入數學知識的范疇，但在《標準》（2011年版）中將“數學活動經驗”明確地提出來，并和其它3個方面并列為數學課程目標，使它的作用和地位更加凸顯．正因為此，關于數學活動經驗的理論和實踐成為當前數學教育、教學研究的熱門話題．除了“數學活動經驗”的理論探討外，研究者思考更多的是數學教學中有哪些數學活動經驗值得關注？哪些是基本的數學活動經驗？又該如何幫助學生積累這些數學活動經驗？這里試提出自己的想法．

1 已有研究評述

查閱相關文獻可以發現，目前研究主要集中在數學活動經驗的內涵、特征、類型、教育價值、促進學生積累數學活動經驗的教學策略等方面，從具體論述中不難發現有一個特別的現象，即關于數學活動經驗的特征、教育價值、教學策略方面不同專家學者的觀點基本一致，但關于其內涵及類型則眾說紛紜．如：

“知識說”：“數學活動經驗屬于學生的主觀性數學知識的范疇，它形成于學生的自我數學活動過程之中伴隨著學生的數學學習而發展反映了學生對數學的真實理解”[1]，“數學活動經驗主要是一種個體知識”[2]．

“認識說”：“個體的數學活動經驗是對以往數學活動經歷在認知方面的感性概括（自覺或不自覺）”[3]，所謂基本數學經驗，當是指在數學目標的指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識”，“大體上可以有以下不同的類型：直接數學活動經驗、間接數學活動經驗：創設實際情景構建數學模型所獲得的數學經驗、專門設計的數學活動經驗、意境聯結性數學活動經驗”[4]．

“整體說”：“所謂某一個學科的基本活動經驗，其實質在于，圍繞特定的課程教學目標，學生經歷了與學科相關的各類基本活動之后，所留下的直接感受、體驗和感悟”、“學生的基本活動經驗包含以下3類基本內容：體驗性內容；策略性內容；模式性、方法性內容”[5]，“數學活動經驗分為靜態和動態兩個層面．從靜態上看，數學活動經驗是知識，從動態上看，數學活動經驗是過程，是經歷”[6]；“數學活動經驗是指學習者在參與數學活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應用意識”[7]；“數學活動經驗是學生從經歷的數學活動過程中獲得的感受、體驗、領悟以及由此獲得的數學知識、技能、情感與觀念等內容組成的有機組合性經驗”[8]．

究其原因，還是“經驗”惹的禍，“經驗”在教育學、心理學和哲學中都有一席之地，本身就有不同解釋，再加上對“活動”、“數學活動”的不同詮釋，出現眾多界定和認識就不足為怪了．當然，內涵不清并不能阻擋人們研究的腳步，在眾多文獻中不乏精彩的觀點，但是否意味著對數學活動經驗的內涵就可以棄之不顧呢，答案是顯然的．事實上，正因為內涵的界定不清，使人們在實踐中有點無所適從，或抓不住重點，或干脆不予理會，針對此，有學者發出這樣的呼吁“需要研究什么是‘基本數學活動經驗’”[9]．

從《標準》（2011年版）總目標的呈現形式及《標準》解讀來看，其設定的數學活動經驗含義明顯要高于知識、技能，因此“知識說”顯得片面或易引起誤解，“認識說”顯得不夠清晰，“整體說”又容易讓人產生泛化之感，感覺“數學活動經驗”包羅萬象，以為反正數學教學本身就是一種數學活動，經驗必定蘊含和產生于其中，就無所謂關注了，“如果把抽象思維、數學證明、探究解題都算作‘數學活動’，那就過于泛化．整個數學教學都是‘數學活動’，沒有特定價值了”[4]．無可否認，活動是經驗的來源，形成于人們的頭腦之中，看不見，摸不著，但經驗的內容究竟有哪些？從何梳理？

2 基于過程的數學活動經驗

專家學者們在給數學活動經驗分類時，有的按照經驗的不同類別分類，有的按照學生參與數學活動的不同種類分類，有的按照布盧姆教育目標分類理論中的3個學習領域分類，……要么過于宏觀，要么過于細微，宏觀往往缺乏操作性，細微往往會難盡全，你提出“運算的活動經驗”，我就可以提出“證明的活動經驗”．研究者認為數學活動經驗的提法和一般的經驗相比有其特殊性，如一般經驗強調動手實踐獲得直接經驗，顯然數學更多的應是思維操作，既然數學活動經驗是經歷數學活動過程沉淀下來的，何不從數學活動過程角度去分析界定呢？

弗賴登塔爾將數學學習活動概括為：實際問題抽象為數學問題；數學問題的邏輯組織（符號化）；數學原理的驗證、推廣（形式化、邏輯化）；數學理論的應用（反思、應用）．在此過程中，數學化的過程、問題解決的過程（包括應用）和反思的過程是尤為重要，“數學化”的過程體現了數學的來由，“問題解決”的過程體現了數學的思考和數學的應用，“反思”的過程則體現了數學的整體性和系統性．

“人們的數學活動經驗是在做數學的過程形成的”[10]“數學活動經驗是過程與結果相結合的產物”[2]，“數學活動經驗”的設定是對過程性目標的進一步彰顯，關注過程的數學教學，并不是指所有的學習內容都要讓學生經歷過程，而是一些重要的過程，上述3個過程無疑是重要的活動過程，因此，應關注這些活動過程中數學活動經驗的積累，研究者認為這些即為基本數學活動經驗．

2.1 在數學化的過程中積累數學活動經驗

問題源于情境，“情境”是提出數學問題的背景．從學生的生活經驗和數學經驗出發創設問題情境，從中引出數學問題，可以讓學生感受數學由無到有的過程，由此，學生不單可以得知數學產物的來歷，更可掌握數學的獨特思維和語言運用模式，體會數學與生活的聯系，積累認識數學的經驗．

案例：線段、射線、直線[11]

（1）展現現實生活中的數學現象，如繃緊的琴弦、黑板的邊沿、手電筒、探照燈所射出的光線、筆直的鐵軌， 抽象得到線段、射線、直線．——數學概念可以從實際生活抽象而來！

（2）如果你想將一根細木條固定在墻上，至少需要幾個釘子？將細木條抽象為一條直線，釘子看成點，你得到什么結論？——動手操作活動可以幫助我們發現圖形的某些性質！

（3）下圖中哪棵樹高？哪支鉛筆長？窗框相鄰的兩條邊哪條邊長？你是怎么比較的？與同伴進行交流．

怎樣比較兩條線段的長短？

——兩條線段長度相差很大，直接觀察就可以了．觀察難以判斷，可以將一端重合進行比較，也可以用刻度尺分別測量進行比較．數學與生活經驗是如此地一致！

這些經驗必定會影響到學生后續的學習，如平行、垂直也是從實際生活抽象而來，我們可以尋找到很多實例；通過畫垂線發現“平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”，通過折紙發現某些圖形的對稱性；角和線段相比雖是不同的數學對象，但其大小比較方法又何嘗不是一樣呢！

當然，對數學化應包括兩個方面：一方面是對客觀現實的數學化，另一方面則是對數學本身的數學化．上面的案例可能更為突出第一個方面，也是以前關注不夠的．對數學本身的數學化，同樣要構建合適的活動去讓學生經歷這個過程．如為了讓學生體會幾何公理化思想，某些教材采用了兩階段的處理方式——先實驗幾何，后證明幾何．在實驗幾何階段，《標準》中“圖形與性質”所要求的幾何命題基本上都通過各種實驗方式獲得；到了證明幾何階段，再按《標準》的要求，建立一個局部公理體系，對一些結論進行證明，這樣可以讓學生初步體會公理化的思想，證明需要一個邏輯的起點，步步有據才行．再如在教學中還可以讓學生嘗試定義數學概念或定義數學運算，體會構造數學的過程，也可讓學生感受數學本身的數學化．如設a、b都表示數，可以定義新的運算△，規定a△b＝4×a-3×b，同樣可以定義其他運算※，規定a※b＝a×b+(a-b)．經歷這樣的過程，學生可以體會到一種運算實際就是兩個數與一個數的一種對應方法，對應法則不同就是不同的運算．當然，這個對應法則應該是對任意兩個數，通過這個法則都有一個唯一確定的數與它們對應．只要符合這個要求，不同的法則就是不同的運算．原來數學是可以構造的！

2.2 在問題解決的過程中積累數學活動經驗

“積累數學活動經驗，需要從學生已有的經驗和直觀開始，讓學生經歷思考的過程，從中領會和感悟并形成一定的思維模式．”[12]在問題解決的過程中，學生要主動地運用相關數學知識和方法來解釋或解決問題，尤其是遇到一個新的情境問題，該如何思考？有哪些策略可以選擇？此時數學活動經驗的提取和遷移得以體現．

案例：探索三角形全等的條件[13]

怎樣判斷兩個三角形全等？利用兩個三角形全等的定義需要知道6個條件．但是，是否一定需要6個條件呢？條件能否盡可能少呢？一個條件行嗎？兩個條件、3個條件呢？

探究什么？探究思路怎樣？選用什么樣的探究方法？探究兩個三角形全等的條件，可以從條件由少到多，并按角和邊進行分類，可以用畫一畫、剪一剪、比一比的方式展開探索．

在活動的過程中，學生不僅得到了“邊邊邊”等的條件，同時體會了分析問題的一種方法，積累了數學活動經驗．事實上這些活動的經驗對其以后的學習是非常重要的，如在學習三角形相似的條件時，學生必定會聯想起三角形全等時所采用的探索思路和方法．令人欣喜的是，在網上發現有學生的小論文“探索四邊形全等條件”[14]，思路和方法與教材中的設計完全一致，雖是模仿，但試想在課堂上如果沒有讓學生經歷這樣的問題解決的過程，學生會有這樣的研究問題的意識和解決問題的策略嗎？研究者覺得很難．

與一般教學內容相比較而言，數學綜合與實踐活動和數學探究活動是展現問題解決過程的很好形式．數學綜合與實踐活動的內容具備綜合性、實踐性和探索性，其目標并非新知識的習得，它以“解決問題”的活動為主線，滲透探究性學習的思想和方法，培養學生的數學素養和數學能力是最終目的．正因為此，《標準》（2011年版）提出“數學綜合與實踐是積累數學活動經驗的主要載體”[15]．數學探究活動的核心則是學生的主動探究，通過學生的“操作、觀察、猜想、討論、說理、歸納、應用”等手段，讓學生主動探究數學概念、法則、性質和定理等，展示自己的想法，勇于創新，不斷增強學生的主體意識，提高學生的主體參與能力，不僅使學生掌握知識，更使學生獲得問題解決的能力．在其中，學生必將積累大量的數學活動經驗．

2.3 在反思的過程中積累數學活動經驗

弗賴登塔爾指出，“反思是重要的數學活動，它是數學活動的核心和動力”[16]．新的數學觀念形成后，學習者就會試圖用新的觀念去重新認識已經積累起來的知識、技巧、方法和規律，把它們納入剛剛建立起來的認知結構，這是一個反思過程．

一方面可以形成對數學內容系統的活動經驗．具體數學內容之間存在著相互聯系，但對許多重要數學知識的認識往往都不是一次完成的，需要在不同的學習階段，從不同的角度，不斷地對它們進行重組和反思．例如，對函數的認識，最初學生初步感受變化的過程、量與量之間的依存關系、“對應”現象，經歷研究函數基本性質的過程，嘗試根據函數的基本特征做預測的活動；其次，可以讓學生從事函數內容的實質性學習：理解函數的基本概念（自變量、定義域等），畫函數的圖象，研究其相關的性質，借助函數的知識和方法解決問題；再次，讓學生了解不同函數之間的聯系，函數與其它數學內容（如方程、不等式等）的實質性聯系，進而構建函數在初中數學知識系統中的地位．目前一些教材在章后都設置了“回顧與思考”、“小結與思考”等欄目，以問題的形式鼓勵學生自己梳理所學的內容，并力圖在不同內容之間尋找聯系，也就是關注了數學內容系統的建構活動經驗的積累．

另一方面可以形成對數學研究系統的活動經驗．“數學知識系統又可分為數學內容系統和研究系統．數學內容系統，關注具體數學內容之間的聯系，如概念的網絡系統和命題的網絡系統；而研究系統，則關注某個概念、命題或者學習主題的具體研究過程與方法，如面對平行四邊形這樣一個研究對象，需要研究哪些（定義、性質、判別等），這些知識之間按照什么研究順序展開，如何研究等．”[17]目前對此方面普遍關注不夠．事實上這兩者是分不開的，這就如同數學內容和數學方法，數學內容中體現了數學方法，數學方法又以數學內容為載體，因此不僅要關注數學內容系統的建構，同時要關注數學研究系統的建構，這樣才能形成對數學的整體認識．

對于數學研究系統的建構，一方面要關注學習內容的本質或一般性的規律，如要說明n邊形的內角和等于(n-2)·180°，根據三角形內角和定理，把一個多邊形分成幾個三角形，問題就解決了．但分割的方法除了利用對角線把多邊形分成幾個三角形外，還可以有新的分法，如在多邊形內任取一點，連接各頂點，也可以在多邊形邊上取一點，連接各頂點，不同的分割方法更能使學生認識知識的本質：不管點取在何處，只要將多邊形分成多個三角形即可．再如，對于給定的某種正多邊形，它能否拼成一個平面圖形，而不留一點空隙？顯然問題的關鍵在于分析能用于完整鋪平地面的正多邊形的內角的特點：當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角360°時，就鋪成一個平面圖形．另一方面要關注相似或并列的學習內容的類比研究，可以要求學生在學習之前回憶先前內容的研究思路和方法，鑒于新學習內容與先前學習內容諸多相似之處，提出自己對此內容的研究順序和研究方法．

案例：特殊平行四邊形

在學習特殊平行四邊形有關內容之前，學生已經學習過平行四邊形的概念、性質和判定，在學習過程中利用各種手段，如直觀操作、圖形的平移、旋轉和軸對稱，以及簡單的說理和初步的推理，逐步探索平行四邊形的對邊、對角、對角線的有關性質以及平行四邊形的常用判別方法，積累了一定的數學活動經驗．因此在學習特殊平行四邊形內容之前，可以提出如下一些問題，讓學生自主建構后續學習內容的知識系統．

（1）平行四邊形有哪些性質和判定？

（2）平行四邊形的性質和判定是從平行四邊形的哪些方面描述的？（對邊、對角、對角線）

（3）在小學里我們學過哪些特殊的平行四邊形？（矩形、菱形、正方形）它們和平行四邊形有什么區別和聯系？

（4）基于先前的活動經驗，你想研究特殊平行四邊形的哪些方面？（定義、性質、判定）你打算采用怎樣的研究方法？

這樣的反思，一方面復習了先前的學習內容，另一方面統整了后續的內容，讓學生在學習之前就對研究的內容和研究方法有明確的意向．

反思不僅可以幫助學生形成對知識和方法的整體性認識，同時反思的過程也是數學活動經驗內化的過程．“學生經歷或參與了數學活動并不是就能自動地獲得充足的數學活動經驗，它還需要學生主動地對活動過程進行反思、總結和交流，及時概括所獲得的經驗，使已得經驗條理化和系統化．”[18]

3 可以研究的問題

“數學活動經驗”是一個較新的研究課題，很多理論與實踐研究亟待開展．拋出一些問題，供大家探討．

教師如何幫助學生發展數學活動經驗？顯化數學活動經驗？

學生在積累數學活動經驗后有什么特征和表現？

如何進行數學活動經驗的水平劃分和評價？

不同內容領域帶給學生的數學活動經驗有何差異？

經驗也會有局限性，數學活動經驗的局限性會有哪些表現？如何解決？

……

［參 考 文 獻］

[1] 黃翔，童莉．獲得數學活動經驗應成為數學課堂教學關注的目標[J]．課程·教材·教法，2008，（1）：42．

[2] 王新民．論數學活動經驗的基本內涵及其形成條件[J]．課程·教材·教法，2013，（11）：55．

[3] 馬復．論數學活動經驗[J]．數學教育學報，1996，5（4）：23．

[4] 張奠宙，竺仕芬，林永偉．“基本數學經驗”的界定與分類[J]．數學通報，2008，（5）：4-5．

[5] 孔凡哲．基本活動經驗的含義、成分與課程教學價值[J]．課程·教材·教法，2009，（3）：33-34．

[6] 單肖天，景敏．數學活動經驗及其對教學的影響[J]．課程·教材·教法，2008，（5）：42．

[7] 王新民，王富英，王亞雄．數學“四基”中“基本活動經驗”的認識與思考[J]．數學教育學報，2008，17（3）：18．

[8] 仲秀英．學生數學活動經驗的內涵探究[J]．課程·教材·教法，2010，（10）：52-56．

[9] 張奠宙，趙小平．需要研究什么是“基本數學活動經驗”[J]．數學教學，2007，（5）：封底．

[10] 徐章韜．青浦經驗：數學活動經驗的教育表達[J]．數學教育學報，2008，17（5）：6．

[11] 義務教育課程標準實驗教科書·數學 七上[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[12] 郭玉峰，史寧中．數學基本活動經驗：提出、理解與實踐[J]．中國教育學刊，2012，（4）：43．

[13] 義務教育課程標準實驗教科書·數學 七下[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[14] 探索四邊形全等條件[EB/OL]．http://www.docin.com/p-587199476.html

[15] 義務教育課程標準（2011年版）解讀[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[16] 張奠宙．數學教育學[M]．南昌：江西教育出版社，1991．

[17] 章飛．將數學知識系統的建構納為學習對象[J]．數學教育學報，2008，17（5）：65．

[18] 仲秀英．促進學生積累數學活動經驗的教學策略[J]．數學教育學報，2010，19（5）：37．

[責任編校：周學智]

Focus on the Basic Experience in Mathematics Activities

GU Ji-ling
(College of Teacher education, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China)

Abstract:Students accumulate experience in the process of mathematics activities.So the contents of the experience in mathematics activities should comb from the perspective of the process.In this paper, we point out the basic experience in mathematics activities.It contains the experience in the process of mathematization, problem solving and reflection.

Key words:process; experience of mathematics activities; mathematization; problem solving; reflection

作者簡介：顧繼玲（1971—），女，江蘇建湖人，副教授，博士，主要從事課程與教學論研究．

基金項目：教育部北京師范大學基礎教育課程研究中心課題——初中數學教師理解教材及創造性使用教材的研究（1411012）

收稿日期：2015–10–08

中圖分類號：G420

文獻標識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）01–0034–04